Ich werde den werten Herren Kollegen nichts Neues bringen.
Ich habe bei der Wahl des Themas eher an die Herren und Damen Studenten gedacht, die jetzt auch zahlreich teilnehmen.
Sie sind ja, Sie haben ja sozusagen die Quantentheorie mit der Muttermilch eingesogen.
Sie wissen es sehr gut, was die Gesetze des Photoelektrischen Effektes sind und des Compton-Effektes,
wo ja da die Lichtquanten fast handgreiflich zur Sicht kommen.
Und es ist Ihnen vielleicht schwer zu verstehen, wie, als man die Gesetze des Photoelektrischen Effektes noch nicht kannte
und noch nichts vom Compton-Effekt wusste, wie schwierig es war, in der schwarzen Strahlung diese Quanten zu finden,
wo sie viel versteckter vorhanden sind und welche Großtat es war von Planck,
eben in dieser schwarzen Strahlung diese Quanten zu finden.
Es war, wie er selbst sagt in seinen Erinnerungen, ein verschlungener Weg.
Und ich möchte Ihnen zeigen doch, wie man diesen Weg wenigstens psychologisch verstehen kann.
Man kann in Plancks wissenschaftlichem Werdegang zwei Perioden unterscheiden, eine sehr lange Periode,
wo er Thermodynamiker war und den Fußstapfen von Rudolf Clausius folgte, Rudolf Clausius,
der 1850 in die Physik den Begriff der Entropie hineingebracht hatte, und dann ganz am Ende eine kurze Periode,
wo er sich an Boltzmann'sche Gedankengänge wandte und versuchte,
den Begriff der Wahrscheinlichkeit auf die schwarze Strahlung zu übertragen.
Vielleicht möchten wir das sehen, damit wir Zeit sparen, an Hand von Lichtbildern.
Also, wir gehen von der Thermodynamik aus und sehen die innere Energieuhr eines Systems an als eine Funktion der Entropie S
und des Volumens W. Wir wissen nun, dass alle diese drei Variablen so genannte extensive Größen sind,
also dass die Größe eines Gesamtsystems sich additiv zusammensetzt aus den Größen der Teilsysteme.
Das Differential der Entropie, also der Zuwachs der Energie, können wir, wie wir wissen,
ansehen als einen Zuwachs von Wärme und ein Zuwachs von Arbeit.
Und dann, wir sprechen das zweite Prinzip, das Carnotsche Prinzip, aus, indem wir eben mit Clausius dQ = TdS setzen,
und dass ds das totale Differential der Entropie ist.
Also sehen wir, dass die absolute Temperatur T erscheint als das partielle Differential der Energie nach der Entropie.
T = dU zu dS, partielles Differential genommen bei konstantem Volumen.
Nun werden wir spezialisieren, indem wir von der Energie und der Entropie des Gesamtsystems übergehen zu einem Teilsystem,
zur Volumeneinheit, denn wir können dann die Dichten der Entropie einführen.
Das s ist die Entropiedichte, also die Entropie für die Volumeneinheit und das u die Energiedichte,
die Energie für die Volumeneinheit.
Und dann können wir diese selbe Formel, wir können sie auch umkehren, dS zu du, w = T - 1 schreiben,
mit den kleinen Buchstaben schreiben wir S zu du = T - 1.
Aber wir können noch mehr spezialisieren, indem wir auch jetzt, wie es Planck eben tat,
diese Formel auf die schwarze Strahlung anwenden und dann jetzt die Energie
und die Entropie der schwarzen Strahlung auch spektral zerlegen. Und dann die Einheit des Frequenzintervalls in die Augen fassen.
Und auf diese Weise dann das sMy, also spektrale Dichte pro Frequenzintervall und das uMy,
die spektrale Dichte der Energie pro Frequenzintervall einführen und dann können wir auch schreiben dSMy zu duMy immer = T - 1.
Aber wir können noch mehr spezialisieren, wie das zweite Bild zeigen wird.
Wir wissen, dass im Jahre 1900, also im Frühjahr 1900 Lord Rayleigh gezeigt hat,
wie man in einem Hohlraum die stehenden Wellen abzählen kann.
Sie wissen, dass es sehr leicht ist, für einen Hohlraum von Würfelform, das haben Sie als Exerzitium gemacht,
und dann konnte Lord Rayleigh zeigen, dass für die Volumeneinheit und auch für die Einheit des Frequenzintervalls
die Anzahl der stehenden Wellen im Hohlraum durch das G gegebenen Wert = 8p My hoch 2
- My ist die Frequenz - dividiert durch c hoch 3 - c ist die Lichtgeschwindigkeit.
Und dann können wir auch einführen eine mittlere Energie für jede stehende Welle im Hohlraum,
die wir u1 nennen, und eine mittlere Entropie für jede dieser Wellen.
Und können dann eben schreiben uMy = gu1 und SMy = gS1, und können jetzt wieder die fundamentale Formel schreiben
für die mittlere Entropie und die mittlere Energie einer solchen stehenden Welle.
dS1 zu du1 = T - 1. Und nun, Max Planck hatte nicht die Gewohnheit, mit den stehenden Wellen im Hohlraum zu operieren,
sondern er hatte den so genannten Max Planckschen Oszillator eingeführt, indem er eben,
auf dem Kirchhoffschen Gesetz fußend, wusste, dass das thermische Gleichgewicht der schwarzen Strahlung
nicht von der Natur der Wände abhängt, sondern nur von der Temperatur.
So hat er eben ganz einfache Wände eingeführt, die mit harmonischen Oszillatoren verschiedener Frequenzen My gepflastert waren
und er konnte dann zeigen, dass diese Gleichungen nicht nur für die stehenden Wellen im Hohlraum selbst,
sondern auch zu jedwedem harmonischen Oszillator in der Wand dieselben sind, also mit demselben G,
dass also die mittlere Energie eines solchen harmonischen Oszillators gleich ist der mittleren Energie
einer Rayleighschen stehenden Welle.
Das zeigt uns übrigens, dass man diese stehenden Wellen des Vakuums als lineare Oszillatoren behandeln kann.
Und dann können wir, und das möchte ich doch, diesen fundamentalen Ausdruck an die Tafel schreiben,
dS1 zu du1 oder noch dS1 zu dE - wo E die mittlere Energie des Planckschen Oszillators ist - = T - 1.
Oder was wir noch schreiben können dS1 = T - 1 dE.
Und nun, das Charakteristische an Plancks Erwägungen war, dass er jetzt versuchte, die Entropie der Strahlung zu berechnen,
nicht als Funktion der Temperatur, sondern als Funktion der mittleren Energie des Oszillators oder,
was auf dasselbe herauskommt, der mittleren Energie der stehenden Welle im Hohlraum.
Und das nächste Bild zeigt nun, wie er ausging vom Wienschen Verschiebungsgesetz, das Wien aufgestellt hatte im Jahre 1894,
wo er zeigen konnte, dass die mittlere Energie, dass die Energiedichte der schwarzen Strahlung diese Form haben musste.
Wie wir wissen, fand er dass, indem er das Doppler-Prinzip auf den Hohlraum anwandte,
oder dass u1 oder E = My, multipliziert mit einer gewissen Funktion von My zu T sein musste.
Nun, dies können wir umkehren und sagen My zu T muss eine Funktion von E zu My sein.
My zu t eine Funktion von e zu My.
Und wenn wir jetzt diese fundamentale Gleichung wieder schreiben, dS1 = T - 1 dE, können wir hier mit My multiplizieren,
indem wir My zu t hier durch My dividieren, bekommen wir diesen Ausdruck und da My zu t eine Funktion von E zu My sein muss,
sehen wir, dass die Entropie s1 eine reine Funktion der Variable E zu My sein muss.
Also s1 muss von der Form sein, irgendeine Funktion von E zu My und das möchte ich auch an die Tafel schreiben:
s1 muss eine Funktion sein von E zu My.
Ich möchte auch den Wert des G an die Tafel schreiben, also die Anzahl der stehenden Wellen pro Frequenzintervall
und pro Volumeneinheit. Nun kommen wir zum nächsten Bild.
Im Jahre 1896 hatte Wien sein Gesetz spezialisiert und vorgeschlagen, die schwarze Strahlung durch eine solche Funktion,
eine Exponentialfunktion darzustellen.
Und wir wissen, dass das durch die Messungen im sichtbaren Gebiet und im ultravioletten Gebiet sehr gut bestätigt wurde.
Also, das können wir dann für E und u1 in dieser Form schreiben: Alpha prim My exponential, immer von diesem Ausdruck,
wo Alpha prim = Alpha multipliziert mit c3 = 8Pi sein muss.
Und wenn wir jetzt wieder die fundamentale Formel hier anwenden, dS1 zu dE = T - 1, so können wir schreiben 1 zu T,
wenn wir explizit hier das 1 zu T darüber ausrechnen, indem wir den Logarithmus nehmen,
1 zu T = -1 zu BetaMy log E zu Alpha prim My, und das muss eben wieder = dS1 zu dE sein.
Ich entschuldige mich, das ist natürlich ein natürlicher Logarithmus.
In Frankreich haben wir die Gewohnheit, das so zu schreiben, nicht "ln".
Nun kann man dann diese Beziehungen differenzieren und erhält das zweite Differential, d2S1 zu dE2 = -1 zu Beta My1 zu E,
oder sein reziproker Wert, das was Planck "R" nannte, ist eine lineare Funktion von der mittleren Energie des Oszillators,
wenn oder da, wo Wiens Gesetz gültig ist.
Nun, gerade eben im Jahre 1900, zeigten neuere Messungen von Rubens und Kurlbaum mit Reststrahlen im fernen Infrarot,
dass diese Messungen und Wiens Gesetz nicht übereinstimmten.
Und dass es da eher so war, dass die mittlere Dichte, die Strahlungsdichte,
nicht durch eine Exponentialfunktion in Funktion von 1 zu T dargestellt werden konnte,
sondern einfach linear zur absoluten Temperatur T anstieg. Das zeigten die Arbeiten von Rubens und Kurlbaum.
Aber zu gleicher Zeit, wie das nächste Bild zeigt, hatte Rayleigh gezeigt, auch im Frühjahr 1900,
indem er das Äquipartitionstheorem, das klassische Äquipartitionstheorem Boltzmanns auf die Strahlung übertrug,
dass eben das E = kT sein sollte und in diesem Falle, wenn man jetzt wieder 1 zu T = k zu E = dS1 zu dE setzt
und das zweite Differential ausrechnet, dann sieht man, dass da,
wo das Rayleigh-Jeans-Gesetz also für kleine Frequenzen gültig ist,
da muss dieser Ausdruck quadratisch von der Energie abhängen und nicht linear.
Wir wollen das noch mal dann zusammen sehen im nächsten Bild.
Also, für die großen Frequenzen oder die kleinen Wellenlängen, da wo die Energie der Strahlung klein ist, gilt dieses Gesetz.
Und für die großen Wellenlängen, da wie die Energie der Strahlung groß ist, wie dieses Bild zeigt, gilt dieses Gesetz.
Nun Plancks Ansatz bestand darin, zu versuchen, beide Gesetze zu verbinden.
Das heißt, ein Gesetz zu finden, das für kleine Wellenlängen das Wiensche Gesetz ergibt, als Grenzgesetz,
und für große Wellenlängen das Rayleigh-Jeans-Gesetz.
Und um dies zu tun, addierte er, machte er den Ansatz, indem er von diesem reziproken Wert ausging,
indem er eben beide Glieder addierte, das lineare Glied und das quadratische Glied.
Nur das war damals für ihn ein mathematischer Kunstgriff.
Erst viel später, zehn Jahre später, konnte Einstein die physikalische Bedeutung dieses Ausdrucks darlegen und zeigen,
dass dieser Ausdruck die physikalische Bedeutung der Fluktuation des Strahlungsfeldes hat,
und zwar das erste Glied wird durch die Quantennatur und das zweite Glied durch die Wellennatur des Lichts hervorgerufen.
Nun, dies kann man auch so schreiben: 1 zu BetaMy multipliziert mit der Differenz dieser beiden Brüche,
und dann kann man versuchen, es zu integrieren, was wir im nächsten Bild dann tun werden. Also, wir haben diese Funktion.
Und die Integration ergab nun für Planck eben die Logarithmen, die natürlichen Logarithmen von E = kBetaMy,
und eine Integrationskonstante log Gamma, die musste bestimmt werden. Nun, dies kann so geschrieben werden.
Und dies, dS1 zu dE, muss nun wieder nach der fundamentalen Formel, Planckschen Formel hier, = 1 zu T sein.
Und dann kann man jetzt dies von hier aus das E berechnen als eine Funktion von My und von T.
Und Planck hielt an diese Formel, die ja schon sehr leicht wie die Plancksche Formel aussieht.
Nur haben wir jetzt nur drei Konstanten, das Gamma, die Integrationskonstante, das k und das Beta.
Nun, um diese Konstanten zu bestimmen, benutzte eben Planck die beiden Grenzgesetze. Das nächste Bild zeigt das.
Für kleine My zu T muss dieses Gesetz mit dem Rayleighschen Gesetz, das Rayleighsche Grenzgesetz ergeben
und das kann nur möglich sein, der Exponent Epsilon wird dann = 1 + Epsilon und das kann nur möglich sein,
wenn das Gamma eben = 1 gemacht wird oder der log Gamma = 0.
Und am anderen Ende des Spektralbereiches für große My zu T müssen wir das Wiensche Gesetz erhalten, entschuldigen Sie,
hier fehlt ein My, Alpha prim My exponential. Und um dies zu erhalten, zeigt sich, dass kBeta = Alpha prim sein muss.
Man kann also dann das Beta ersetzen durch Alpha prim zu k und erhält schließlich für die mittlere Energie des Oszillators
oder der stehenden Welle im Hohlraum dieses Plancksche Gesetz, oder dann für die mittlere Energie,
indem man mit dem G-Faktor multipliziert, dieses da, und dies ist Plancks Gesetz,
das dann durch alle Messungen im Verlauf bestätigt wurde.
Aber Plancks Arbeit war nicht fertig, denn sein Ziel war ja immer, einen Ausdruck für die Entropie s1 zu finden.
Und das zeigt nun das nächste Bild.
Ausgehend von dieser Beziehung, die eben vorher am Schirm war, aber wo wir jetzt log Gamma = 0 gesetzt haben
und das Beta durch k durch Alpha prim ersetzt haben, das wird jetzt ein zweites Mal integriert
und gibt jetzt die mittlere Energie pro Oszillator durch diese Funktion wider,
wo jetzt wieder eine Integrationskonstante herein kommt, aber die kann jetzt bestimmt werden, denn wir wissen ja,
das steht hier wieder an der Tafel, dass das S1 eine reine Funktion von E zu My sein muss.
Und das bestimmt hier dann die Integrationskonstante und da gab Planck für s1 diesen Wert an, wo wir sehen,
dass S1 wirklich eine Funktion von E zu My oder besser von E zu Alpha prim My sein muss.
Also, das ist die Formel, die Planck aus der Thermodynamik erhielt.
Nun war er aber mit dieser Ableitung gar nicht zufrieden, denn wie er selbst sagt:
"Das war eine glücklich erratene Interpolation." Und er suchte nun, die physikalische Bedeutung dieser Formel zu erfassen.
Und jetzt wandte er sich an Boltzmanns Gedankengänge, denen er bis jetzt immer sehr skeptisch,
ablehnend gegenüber gestanden war, denn er wollte die Entropie als eine rigorose Größe auffassen
und nicht als eine Wahrscheinlichkeitsgröße. Aber jetzt ging er doch in Boltzmanns Gedankengänge ein.
Und das nächste Bild zeigt Ihnen nun sein Problem.
Also Boltzmann hatte gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeit einer Verteilung berechnen kann,
und zwar hat man dann über einen Inhalt und einen Behälter, man hat es mit einem Inhalt zu tun und mit einem Behälter.
Für Boltzmann war der Inhalt ein Gas und der Behälter war Maxwells Geschwindigkeitsraum.
Und für Boltzmann hatte eben dieser Geschwindigkeitsraum eine kontinuierliche Struktur, aber das Gas bestand für ihn aus Molekeln.
Das war aber gar nicht zu seiner Zeit so augenfällig, denn wir wussten,
dass Boltzmann einen schweren Kampf zu führen hatte gegen Ostwald und gegen Ernst Mach, die nicht an die Molekeln glauben wollten.
Aber für Boltzmann bestand das Gas schon aus Molekeln, das heißt, der Inhalt hatte eine quantenhafte Struktur,
aber der Behälter nicht. Und was tat nun Boltzmann?
Um eine Verteilung zustande zu bringen, musste er den Behälter auch einteilen
in Elemente endlicher Ausdehnung des Geschwindigkeitsraums, also kleine Elemente, aber endliche Elemente.
Und diese Elemente nannte er die Zellen, die Zellen des Geschwindigkeitsraums.
Und dann konnte er eine Anzahl von Komplexionen, also eine Wahrscheinlichkeit berechnen.
Wir wollen aber auf Boltzmanns Probleme nicht weiter eingehen, sondern uns jetzt an Plancks Problem wenden.
Für Planck war der Inhalt die Strahlungsenergie und die hatte vorläufig eine kontinuierliche Struktur.
Und der Behälter war für ihn eben der Hohlraum.
Und Rayleigh hatte gezeigt, dass eben die Hohlraumschwingungen aus den stehenden Wellen bestanden und hatte gezeigt,
wie man diese stehenden Wellen abzählen kann, wie man das G bestimmen kann.
Also dieser Hohlraum hatte für Planck schon eine diskontinuierliche Struktur.
Und um jetzt auch eine Verteilung von Strahlungsenergie über diese Moden der stehenden Wellen
oder die Oszillatoren herstellen zu können, musste er zuerst das Umgekehrte tun wie Boltzmann.
Er musste den Inhalt diskontinuierlich machen.
Und so führte er ein, was er nannte: "Die Elemente der Strahlungsenergie", die er Epsilon nannte.
Und das nächste Bild zeigt nun, also wenn wir sehen die Volumeneinheit und die Einheit des Frequenzintervalls
so haben wir die Energie uMy, und die muss eben = G mal der mittleren Energie der Oszillatoren oder stehenden Wellen sein.
Aber wenn wir der Energie eine quantenhafte Struktur geben und das Epsilon die Einheit,
die Elemente dieser Strahlungsenergie sind, so können wir auch schreiben uMy = N mal Epsilon
- N Quanten von Energieteilen -, sodass wir die Beziehung haben N zu G = G zu Epsilon = n.
Und nun suchte Planck nach einer Formel, die die Wahrscheinlichkeit dieser Verteilung wiedergab und war sich bewusst,
dass diese Energieelemente der Strahlung ununterscheidbar sind.
Also er ging nicht zur Boltzmannschen Formel, sondern entnahm der Kombinationsanalyse diese Formel,
die uns ja bekannt ist als die Formel der Bose-Einstein-Statistik.
Aber diese Formel steht in der Abhandlung von Planck vom Jahre 1900.
Er ging von dieser Formel aus und da N und G große Zahlen sind, konnte er die Sterlingsche Approximation anwenden
und schreiben log wMy der Wahrscheinlichkeit = G1 + n log 1+n-1,
also das ist Ihnen durch die Bose-Statistik jetzt ganz geläufig, und dann das Boltzmannsche Postulat anwenden,
eben die Brücke zwischen Thermodynamik und Wahrscheinlichkeitserwägungen,
indem er eben nach Boltzmann den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit proportional setzte der thermodynamischen Entropie.
Und eigentlich war Planck der erste, der diese Formel ausschrieb, wie er selbst erwähnt hat,
hat sie Boltzmann nie geschrieben, und diese Boltzmannsche Konstante K wurde von Planck auf diese Weise eingeführt.
Also wenn sMy die Entropie der Volumeneinheit ist, so ist s1 die Entropie des Oszillators oder der stehenden Welle,
da müssen wir durch G dividieren, durch die Anzahl der stehenden Wellen in der Volumeneinheit,
und erhalten dann schließlich auf diese Weise für die Entropie der Strahlung diese Formel: s1 = K.
Und wenn man jetzt die beiden Formeln vergleicht - das nächste Bild bitte - die Formel,
die sich durch die Thermodynamik ergab war diese da, die Formel,
die sich durch die Boltzmannschen Wahrscheinlichkeitserwägungen ergab, ist diese.
Wenn wir das n durch E durch Epsilon, ersetzen und wenn man jetzt, als nun Planck diese beiden Formeln verglich, so sah er,
dass das Element der Strahlungsenergie Epsilon der Frequenz proportional sein musste.
Also Epsilon = Alpha prim My, und von nun an benannte er eben das Alphaprim durch den Buchstaben h,
und das wurde dann das berühmte Plancksche Wirkungsquantum, das man immer vielleicht als erg mal Sekunde ansieht,
also vielleicht besser gesagt erg pro Einheit des Frequenzintervalls, erg pro Hertz.
Und mit den verfügbaren Messungsresultaten konnte dann Planck diese numerischen Werte ausrechnen für das h,
das also wirklich endlich herauskommt, klein, aber endlich und auch für das K.
Und das Bemerkenswerte eben ist, dass man nicht nur auf diese Weise Aufschluss erhält
durch das Studium der schwarzen Strahlung allein, Aufschluss erhält über die quantenhafte Struktur der Strahlungsenergie,
sondern auch über die quantenhafte Struktur der Materie. Man bekommt nicht nur das h, sondern auch das K und aus dem K-Wert,
der ja gleich der Gaskonstante R dividiert durch Loschmidtsche Zahl ist,
konnte Planck auch die Loschmidtsche Zahl berechnen und dann auch eben die elektrische Elementarladung.
Und er war sehr befriedigt, als einige Jahre später Rutherford durch die Abzählung der Alphastrahlen
für die Elementarladung denselben Wert erhielt. Und das waren damals die genauesten Werte, die man damals kannte.
Wir wissen ja, dass sich das seither etwas abgeändert hat.
Ich möchte nun schließen, wir können ja sagen, die erste Formel, die Formel von der Thermodynamik,
die oben steht, die gab Planck bekannt, ich glaube, es war am 19. Oktober 1900.
Und dann, am 14. Dezember 1900 gab er diese Formel bekannt und da führte er das Elementarquantum ein.
Man sagt ja traditionell, Planck ist der Vater der Quantentheorie und das Kind wurde am 14. Dezember geboren.
Ich möchte das ein klein wenig abändern, ohne das große Verdienst von Planck zu schmälern, aber ich denke,
zu einem Kind gehört immer ein Vater und eine Mutter.
Ich möchte doch sagen, dass, als vor hundert Jahren Boltzmann die Zellen des Geschwindigkeitsraumes einführte,
da vollbrachte er schon eine Quantentat. Das war schon eine Quantifizierung.
Allerdings konnte er damals nicht vorahnen, dass die wirklich physikalische Bedeutung der Zellen
nicht die Zellen des Geschwindigkeitsraumes waren, sondern des Phasenraumes,
der Phasenraum wurde ja erst von Gibbs eingeführt, und dass diese Zellen des Phasenraums
eine ganz bestimmte Ausdehnung hatten, die eben durch das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt werden.
Ich möchte also sagen, dass doch Boltzmann zur Quantentheorie mit einem ganz kleinen Spermatozoid beigetragen hat.
Und ich möchte sagen, dass Planck die Mutter war, die dann das Kind am 14. Dezember 1900 zur Welt brachte.
Vielleicht darf ich Ihnen noch zum Schluss dann die drei Portraits zeigen: Also, der Großvater Clausius, der Vater Boltzmann,
mit einem schönen Bart, und Max Planck. Ich danke Ihnen.