Guten Morgen.
Ich möchte diesen Anlass nutzen, Ihnen davon zu erzählen, woran ich zuletzt mit meinem alten Freund
und Kollegen Partha Dasgupta gearbeitet habe, nämlich an einem seit langem laufenden Projekt über das Abstimmen.
Ich berichte über einen der jüngsten, mit dem strategischen Abstimmen befassten Teilaspekt dieses langfristigen Projekts.
Worum geht es?
In der Abstimmungstheorie untersuchen wir typischerweise etwas, das Abstimmungsregel genannt wird.
Eine Abstimmungsregel ist eine Methode, nach der man sich für einen Kandidaten entscheidet bzw.
einen Kandidaten wählt, der sich um ein bestimmtes Amt bewirbt, etwa um das Amt des Präsidenten,
und zwar auf der Grundlage der Wählerpräferenzen für die verschiedenen Kandidaten.
Präferenzen können durch Ranglisten ausgedrückt werden, sie können durch Nützlichkeitsfunktionen ausgedrückt werden,
und manchmal können sie auch auf andere Arten ausgedrückt werden.
Die Abstimmungsregel würde also den Sieger auf der Grundlage von Präferenzen und außerdem anhand dessen bestimmen,
welche Kandidaten tatsächlich zur Wahl stehen, wer also die Menschen auf dem Wahlzettel eigentlich sind.
Sie alle kennen natürlich die Standardbeispiele, doch lassen sie mich ein paar von diesen Beispielen durchleuchten.
Zunächst haben wir die einfache Mehrheitsregel - in der Praxis wahrscheinlich die am weitesten verbreitete Abstimmungsregel.
Nach dieser Regel wählt man Parlamentsabgeordnete in Großbritannien
sowie Senatoren und Mitglieder des Repräsentantenhauses in den USA.
In vielen Ländern, etwa in Südkorea, werden nach dieser Regel Präsidenten gewählt.
Sie besagt Folgendes: Der siegreiche Kandidat ist jener Kandidat,
der von mehr Wählern an die erste Stelle gesetzt wird als irgendein anderer,
auch wenn der Kandidat nicht von einer Mehrheit an die erste Stelle gesetzt wird.
Dann gibt es die Pluralitätsregel, die zuerst von Marquis de Condorcet vor 200 Jahren gründlich untersucht wurde.
Das ist wahrscheinlich eine der in der Theorie am besten untersuchten Regeln.
Sie besagt Folgendes: Wenn die Wähler ihre Präferenzen zuteilen, wird jener Kandidat zum Sieger gekürt,
der gemäß diesen Präferenzen von einer Mehrheit allen anderen Kandidaten auf dem Stimmzettel vorgezogen wird.
Das ist also die Pluralitätsregel.
Dann gibt es die Stichwahlregel.
Das Stichwahlverfahren kommt bei den Präsidentschaftswahlen in Frankreich und Brasilien
sowie in vielen anderen Teilen der Welt zum Einsatz.
Auch hier suchen wir einen Kandidaten, der von mehr Wählern an die erste Stelle gesetzt wird als irgendein anderer,
doch wenn im ersten Wahlgang kein Kandidat die Mehrheit der Stimmen erringt,
gibt es einen zweiten Wahlgang mit den beiden erstplatzierten Kandidaten.
Das heißt: Manchmal sind es die zwei erstplatzierten Kandidaten, manchmal sind es die ersten drei,
diese Regel wird unterschiedlich gehandhabt.
Doch unter den beiden erstplatzierten Kandidaten wird derjenige ermittelt, der von einer Mehrheit bevorzugt wird.
Dann gibt es das Rangsummenverfahren.
Dieses Verfahren wird manchmal Borda-Regel genannt,
weil es insbesondere vom Erzrivalen des Marquis de Condercet in der französischen Akademie der Wissenschaften des 18.
Jahrhunderts vertreten wurde, von Jean-Charles Borda.
Die von Borda vorgeschlagene Methode haben Sie wahrscheinlich in der einen
oder anderen Form selbst schon angewandt, wenn sie einem Ausschuss angehörten.
Wenn ein Kandidat von einem Wähler an die erste Stelle gesetzt wird, erhält er einen Punkt,
wird er an die zweite Stelle gesetzt, erhält er zwei Punkte und so weiter.
Am Schluss zählen wir die Punkte eines Kandidaten einfach zusammen,
und wer die niedrigste Gesamtzahl von Punkten erhalten hat, ist der Sieger.
Beachten Sie bitte, dass niedrige Punktzahlen hohen Rangstellen entsprechen.
Lassen Sie mich eine weitere mögliche Abstimmungsregel ansprechen,
auch wenn wir sie für gewöhnlich nicht als Abstimmungsregel betrachten.
Es gibt Gründe dafür, warum wir sie normalerweise nicht als Abstimmungsregel heranziehen; darauf werde ich später zurückkommen.
Es handelt sich dabei um den Grundsatz des Utilitarismus:
Wenn wir die Präferenzen der Menschen durch ihre Nützlichkeitsfunktionen ausdrücken,
könnten wir einfach denjenigen Kandidaten auf dem Stimmzettel küren, der die Summe der Nutzen für den Wähler maximiert.
Betrachten Sie das als Abstimmungsregel.
Ich habe jetzt also fünf mögliche Abstimmungsregeln erwähnt.
Ich hätte noch viele, viele andere ansprechen können, die in der Praxis angewandt und in der Theorie untersucht wurden.
Diese Vielfalt führt natürlich zu der Frage, für welche der vielen Möglichkeiten wir uns entscheiden sollten.
Die Antwort auf diese Frage führt uns zurück zu einem vorgelagerten Schritt, bei dem wir uns fragen,
was wir mit einer Abstimmungsregel eigentlich erreichen wollen.
Ein Abstimmungstheoretiker würde versuchen, das Problem, welche Abstimmungsregel wir übernehmen sollen,
in eine grundlegendere Frage bzw.
eine Reihe grundlegenderer Fragen zu zerlegen: Was wollen wir mit einer Abstimmungsregel erreichen?
Das, was wir erreichen wollen, drücken wir durch bestimmte Kriterien oder Grundsätze aus,
denen die Abstimmungsregel nach unserer Vorstellung gerecht werden soll.
Und dann versuchen wir zu untersuchen, welche Abstimmungsregeln diesen Grundsätzen gerecht werden
oder ihnen zumindest soweit wie möglich gerecht werden.
Ich möchte heute ein bestimmtes Kriterium bzw.
einen bestimmten Grundsatz hervorheben, nämlich die Nicht-Manipulierbarkeit.
Anders ausgedrückt: Wir wollen erreichen, dass die Wähler keinen Anreiz haben, strategisch abzustimmen.
Die Wähler sollen keinen Grund haben, ihre Präferenzen falsch wiederzugeben, also anders zu wählen,
als sie es in Wahrheit für richtig halten.
Es gibt eine Reihe von Gründen, warum Nicht-Manipulierbarkeit ein einleuchtender Grundsatz ist, ein einleuchtendes Kriterium.
Zwei davon möchte ich ansprechen.
Einer beruht auf der einfachen Vorstellung, dass dann, wenn die Menschen strategisch wählen,
die Vorgaben der Abstimmungsregel verzerrt werden.
Betrachten Sie eine Abstimmungsregel als Möglichkeit, die Beiträge der Wähler, ihre Präferenzen, in ein Ergebnis umzuwandeln -
den siegreichen Kandidaten.
Wenn wir nun die Beiträge verzerren, wenn die Menschen in Wirklichkeit ihre Präferenzen nicht preisgeben,
sondern etwas anderes kundtun, dann verzerrt das auch das Ergebnis,
und wir haben in Wirklichkeit nicht die Abstimmungsregel eingeführt, die wir uns vorgestellt haben.
Ein ebenso wichtiger Grund für die Vermeidung strategischen Wählens besteht meiner Ansicht nach darin,
dass wir es den Wählern schwerer machen, wenn wir ihnen Abstimmungsregeln vorgeben, nach denen es vernünftig ist,
strategisch abzustimmen.
Warum ist das so?
Nun, als Wähler müssen Sie eine bestimmte Menge an Zeit, Energie und Mühen aufwenden,
um herauszufinden, wo Ihre Präferenzen liegen, denn Sie müssen sich die Kandidaten anhören, Sie müssen nachlesen,
was sie in der Vergangenheit gesagt haben, Sie müssen sie mit den anderen Kandidaten vergleichen -
das kann eine schwere Aufgabe sein.
Wenn Sie dazu noch herausfinden müssen, wie andere Wähler die Kandidaten vermutlich einstufen,
um Ihre Reaktion an diesen anderen Wählern auszurichten - das ist strategisches Wählen -,
dann bekommen Sie ein Entscheidungsproblem, das um Größenordnungen schwieriger ist.
Wir bürden den Wählern also eine große Last auf, wenn wir darauf bestehen, dass sie strategisch abstimmen müssen,
wenn sie gut abstimmen wollen.
Wie wahrscheinlich viele von Ihnen aus dem theoretischen Unterricht wissen,
führt das strategische Abstimmen leider zu einem negativen Resultat, dem Gibbard-Satterthwaite-Theorem,
das eng verwandt ist mit einem anderen negativen Resultat, nämlich mit dem Arrow-Unmöglichkeitstheorem,
welches besagt, dass dann, wenn drei oder mehr Kandidaten zur Wahl stehen,
praktisch keine Abstimmungsregel durchgehend nicht manipulierbar ist.
Nun - diktatorische Regeln sind nicht manipulierbar.
In einer Diktatur gibt es nur einen Wähler von Belang, und die Präferenzen dieses Wählers werden in einen Wahlsieger umgewandelt.
Da wir aber diktatorische Regeln eher ablehnen, halten wir Gibbard-Satterthwaite für ein negatives Ergebnis.
In einem Sinn ist es zu negativ: Die Vorgabe der Nicht-Manipulierbarkeit verlangt, dass eine Abstimmung niemals manipulierbar ist.
In der Praxis aber kann es natürlich Situationen geben, in denen Manipulationen vorkommen könnten.
Da diese Situationen aber nicht sehr wahrscheinlich sind, machen wir uns über sie keine Gedanken.
Unserer Ansicht nach stellt sich angesichts eines negativen Resultats wie des Gibbard-Satterthwaite-Theorems
natürlich die Frage, welche Abstimmungsregeln nicht manipulierbar sind - welche vernünftigen Abstimmungsregeln,
denn ich werde auch noch andere Kriterien vorgeben -
welche vernünftigen Abstimmungsregeln also am ehesten nicht manipulierbar sind.
Der Antwort auf diese Frage geht die genannte Abhandlung nach.
In anderen Arbeiten des Projekts befassen wir uns mit etwas anderen Kriterien.
Lassen Sie mich berichten, wie wir versucht haben, diese Frage zu beantworten.
Insbesondere geht es darum, welche anderen Eigenschaften Abstimmungsregeln aufweisen sollten;
welchen anderen Grundsätzen sie unserer Ansicht nach gerecht werden sollten.
Wie diejenigen von Ihnen, die sich überhaupt mit Abstimmungen befasst haben, erkennen werden,
sind diese anderen Grundsätze, die Prinzipien, von denen ich hier sprechen werde,
ausnahmslos nichts Ungewöhnliches; an der Liste der Grundsätze ist nichts unkonventionell.
Ich bin sicher, dass Sie alle den ersten Grundsatz kennen.
Es handelt sich um die Pareto-Eigenschaft, die ganz einfach Folgendes besagt:
Wenn alle Wähler den Kandidaten X dem Kandidaten Y vorziehen und Kandidat Y zur Wahl steht,
dann sollten wir Kandidat X nicht wählen, es wäre widersinnig, Kandidat X zu wählen...
Entschuldigung, es ist genau andersherum.
X wird Y vorgezogen, Y steht zur Wahl, wir sollten Y nicht wählen, da jedermann X gegenüber Y bevorzugt.
Es wäre widersinnig, Y zu wählen.
Eine weitere höchst überzeugende Eigenschaft ist Anonymität.
Das bedeutet: Wenn wir eine Verteilung der Präferenzen vornehmen und die Wähler ihre Präferenzen austauschen,
wenn also Wähler I seine Präferenzen an Wähler J weitergibt und Wähler J seine Präferenzen an Wähler K und so weiter,
wenn wir, anders ausgedrückt, die Präferenzen permutieren, sollten wir dennoch denselben Sieger erhalten.
Denn wir haben nichts weiter getan, als die Identitäten der Wähler mit bestimmten Präferenzen zu ändern,
wir haben nicht die Verteilung geändert.
Das bedeutet, dass nur die Präferenzen der Wähler von Bedeutung sind, nicht wer die Wähler sind.
Oder noch einmal anders ausgedrückt: Die Wähler sollten alle gleich behandelt werden.
Es gibt eine entsprechende Eigenschaft, nach der wir ebenso, wie wir alle Wähler gleich behandeln wollen,
auch alle Kandidaten gleich behandeln sollten.
Die Namen der Kandidaten sollten keine Rolle spielen - das ist Neutralität.
Es überrascht nicht, dass alle Abstimmungsregeln, die ich in meinen einleitenden Bemerkungen erwähnt habe -
die Pluralitätsregel, die Mehrheitsregel, das Rangsummenverfahren, der Grundsatz des Utilitarismus -
diese drei ersten Eigenschaften aufweisen.
Eine Abstimmungsregel, die gegen eine dieser Vorgaben verstoßen würde, wäre wirklich sehr befremdlich.
Doch der nächste Grundsatz kann tatsächlich dazu herangezogen werden, zwischen den Abstimmungsregeln zu unterscheiden.
Deshalb ist er auch der am meisten umstrittene Grundsatz.
Wegen dieser Kontroversen werde ich ihn später fallen lassen, doch zuerst wollen wir sehen, wohin er führt.
Der Grund, warum ich mich mit ihm befassen möchte, liegt darin,
dass er trotz der mit ihm verbundenen Kontroversen eine ziemlich überzeugende Begründung
und außerdem einen illustren Stammbaum aufweist.
Er wurde in verschiedenen Formen mehr oder weniger gleichzeitig von Kenneth Arrow und John Nash vorgeschlagen.
Es handelt sich um einen Grundsatz,
den wir im vorliegenden Zusammenhang Unabhängigkeit von irrelevanten Kandidaten nennen könnten.
In einem anderen Kontext spricht man von der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen.
Er besagt Folgendes: Wenn Kandidat X eine Wahl gewinnt und daraufhin die Stimmzettel so geändert werden,
dass einige der nicht gewählten Kandidaten nicht mehr zur Wahl stehen, dann sollte Kandidat X wiederum gewinnen,
da schließlich alle vom Stimmzettel gestrichenen Kandidaten ohnehin nicht gewonnen haben.
Warum also sollte sich dadurch, dass sie gestrichen werden, etwas ändern?
Übrigens präsentiere ich Ihnen diesen Grundsatz in der Formulierung von Nash,
aber ich hätte auch den Arrow-Weg einschlagen können.
Auf den ersten Blick klingt er ziemlich vernünftig, und tatsächlich waren es Verstöße gegen diesen Grundsatz,
die die Gemüter bei mehreren tatsächlichen politischen Wahlen erhitzten.
Einige von Ihnen erinnern sich vielleicht noch an die amerikanische Präsidentschaftswahl des Jahres 2000.
Es war eine hart umkämpfte Wahl zwischen George W.
Bush, im Wesentlichen zwischen George W.
Bush und Al Gore, und wie Sie vielleicht wissen, war diese Wahl so knapp, dass ein Staat den Ausschlag gab,
der Staat Florida, den Bush schließlich mit weniger als 600 Stimmen Vorsprung
bei annähernd sechs Millionen Wahlberechtigten gewann.
Bush gewann also und wurde demzufolge Präsident.
Aber es stand noch ein dritter Kandidat zur Wahl, Ralph Nader, der eine erhebliche Anzahl von Stimmen erhielt -
nicht annähernd genug, um als ernsthafter Kandidat gelten zu können, doch er bekam fast 100.000 Stimmen.
Und wir wissen anhand verschiedener Anhaltspunkte, dass diejenigen, die für Nader gestimmt hatten,
so gut wie sicher für Gore gestimmt hätten, wenn Nader nicht kandidiert hätte, vorausgesetzt jedenfalls,
sie hätten überhaupt gewählt.
Wenn also Nader nicht zur Wahl gestanden hätte, dann hätte Gore nicht nur gewonnen;
er hätte sogar mit einem komfortablen Vorsprung gewonnen.
Und so kam es, dass Nader die Wahl faktisch auf den Kopf stellte.
Er veränderte das Wahlergebnis, obwohl er selbst keine realistische Siegchance hatte.
Das ist es, worauf der Grundsatz der Unabhängigkeit abzielt - es geht um die Vorstellung,
dass diese unbedeutenden Kandidaten nicht in der Lage sein sollten, das Wahlergebnis insgesamt zu verändern.
Nun, der Grundsatz der Unabhängigkeit wird durch die Mehrheitsregel ebenso wie durch den Utilitarismus klarerweise erfüllt.
Wenn Kandidat X die anderen Kandidaten mit einer Stimmenmehrheit schlägt
und wir einige dieser anderen Kandidaten vom Wahlzettel streichen,
schlägt Kandidat X die verbliebenen Kandidaten immer noch mit der Mehrheit der Stimmen.
Die Mehrheitsregel erfüllt also das Unabhängigkeitskriterium.
Ebenso gilt: Wenn Kandidat X unter mehreren zur Wahl stehenden Kandidaten die Summe der Nützlichkeiten maximiert,
verkleinern wir die Gruppe der Kandidaten.
Derselbe Kandidat wird auch dann die Summe maximieren.
Die Pluralitätsregel jedoch erfüllt den Grundsatz der Unabhängigkeit klarerweise nicht,
wie uns das Beispiel Florida vor Augen führt.
Übrigens hätte ich statt Florida zahlreiche andere Beispiele nennen können;
die französische Präsidentschaftswahl von 2002 ist ein weiterer Fall,
bei dem der Grundsatz der Unabhängigkeit ziemlich eindeutig verletzt wurde.
Und hier haben wir ein eher formales Beispiel dafür,
warum die Pluralitätsregel gegen den Grundsatz der Unabhängigkeit verstößt; darauf werde ich jetzt aber nicht eingehen.
Das Rangsummenverfahren verstößt ebenfalls gegen den Grundsatz der Unabhängigkeit.
Ich habe jetzt einige Standardgrundsätze vorgestellt, aber der, den ich mir bis zuletzt aufgehoben habe, ist der,
mit dem ich begonnen habe, nämlich die Nicht-Manipulierbarkeit.
Ich habe beiläufig erwähnt, dass dadurch versucht werde, strategisches Abstimmen zu unterbinden.
Was bedeutet dieser Grundsatz, wenn man ihn sorgfältiger, formaler formuliert?
Er bedeutet, dass Kandidat X dann gewinnt, wenn die Wähler ihre Präferenzen wahrheitsgemäß ausdrücken, dass aber dann,
wenn eine Gruppe, eine Koalition von Wählern ihre Präferenzen manipuliert, sie falsch zum Ausdruck bringt,
als Ergebnis dieser Manipulation Kandidat X' gewinnt.
Dann soll es besser sein, wenn mindestens ein Mitglied der Koalition aus der Manipulation keinen Nutzen zieht,
oder anders ausgedrückt: wenn mindestens einem Mitglied der Koalition mit X besser gedient ist als mit X',
da sich die Koalition sonst veranlasst sehen würde, ihre Präferenzen falsch zum Ausdruck zu bringen.
Das ist es, was Nicht-Manipulierbarkeit erfordert.
Eine unmittelbare Folge der Nicht-Manipulierbarkeit besteht darin, dass eine Abstimmungsregel ordinal skaliert sein muss,
was bedeutet, dass die Intensität von Präferenzen, dass eine kardinale Information unbrauchbar ist.
Das schließt insbesondere den Grundsatz des Utilitarismus aus - es ist ziemlich einfach zu sehen,
dass Utilitarismus den Grundsatz der Nicht-Manipulierbarkeit verletzt.
Denn stellen wir uns vor, zwei Kandidaten, X und Y, stehen zur Wahl.
Angenommen, Sie ziehen Kandidat X Kandidat Y vor, aber nicht sehr stark.
Ich spreche hier über Ihre Intensität - die Intensität, mit der Sie X gegenüber Y bevorzugen, ist nicht besonders stark.
Wenn Sie aber in die Wahlkabine gehen und glauben, dass Y die Wahl gewinnen könnte, ist das für Sie ein Anreiz,
eine sehr starke Präferenz für X auszudrücken, um seine Siegchancen zu verbessern.
Unter utilitaristischen Gesichtspunkten gibt es also sehr starke Anreize für strategisches Abstimmen.
Leider verletzt auch die Mehrheitsregel den Grundsatz der Nicht-Manipulierbarkeit.
Dieser Punkt ist etwas subtiler.
Wie viele von Ihnen sicherlich wissen, besteht das Problem mit der Mehrheitsregel darin, dass sie nicht immer klar definiert ist.
Darauf hat schon Condorcet selbst vor 200 Jahren hingewiesen.
Hier sehen Sie ein Beispiel für eine Konfiguration von Präferenzen: Die Bevölkerung ist in drei Gruppen unterteilt -
35 % der Bevölkerung gefällt Kandidat X am besten, dann kommt Y, dann Z.
Für 33 % ist die Reihenfolge Y, Z, X; für die übrigen 32 % Z, X, Y.
Bei dieser Konfiguration gibt es keinen Mehrheitssieger: Beachten Sie bitte,
dass eine Mehrheit der Wähler X gegenüber Y bevorzugt.
Es tut mir leid, ich weiß, dass es drei Bildschirme gibt, aber ich kann diesen Laserpointer nicht für alle drei verwenden,
weshalb ich ihn für den mittleren Bildschirm verwende.
Ich hoffe, dass auch die seitlich Sitzenden etwas sehen können.
Diese Wähler bevorzugen X gegenüber Y, und diese Wähler bevorzugen ebenfalls X gegenüber Y.
X schlägt also Y, doch Z schlägt X mit einer Mehrheit: Diese Wähler bevorzugen Z gegenüber X,
und diese Wähler bevorzugen ebenfalls Z gegenüber X; X kann also auch nicht die Mehrheit erringen.
Und Y schlägt Z - diese Wähler bevorzugen Y gegenüber Z, und diese Wähler bevorzugen ebenfalls Y gegenüber Z;
auch das stellt eine Mehrheit dar.
Es gibt also keinen Mehrheitssieger, was bedeutet,
dass wir zur Ermittlung eines Siegers auf eine Ausnahmeregel zurückgreifen müssen.
Diese Konfiguration von Präferenzen wird Condorcet-Paradoxon genannt.
Wenn ein Condorcet-Paradoxon auftritt, müssen wir die Mehrheitsregel erweitern bzw.
auf eine Ausnahmeregel zurückgreifen.
Eine derartige Ausnahmeregel bestünde darin, die Mehrheitsregel heranzuziehen,
wenn sie einen Sieger ergibt, und z.B.
das Rangsummenverfahren heranzuziehen, wenn es keinen Mehrheitssieger gibt.
Das nennt man die Black-Methode.
Das Problem besteht darin, dass eine derartige Erweiterung bzw.
Ausnahmeregel die Mehrheitsregel manipulierbar macht.
Hier ist das Beispiel, das ich gerade verwendet habe, die gleiche Konfiguration von Präferenzen,
es gibt keinen Mehrheitssieger.
Wenn wir zur Herbeiführung einer Entscheidung das Rangsummenverfahren verwenden, dann gewinnt X.
Es stellt sich jedoch heraus, dass die Wähler in der Mitte, dass diese Wählergruppe jetzt den Anreiz spürt,
ihre Präferenzen falsch auszudrücken und die Reihenfolge Z, Y, X anzugeben, denn wenn sie das tut, wird Z der Mehrheitssieger,
und sie bevorzugt ja Z gegenüber X.
Ich habe fünf Grundsätze aufgeführt - Pareto, Anonymität, Neutralität, Unabhängigkeit und Nicht-Manipulierbarkeit.
Wie ich schon sagte, gibt es keine Abstimmungsregel, die allen gerecht wird;
so lautet im Wesentlichen das Gibbard-Satterthwaite-Theorem.
Doch das ist allzu pessimistisch, denn es gibt viele Fälle, in denen einige der Präferenzranglisten,
die von den Wählern erstellt werden können, sehr unwahrscheinlich sind.
Denken Sie zum Beispiel an die Mehrheitsregel.
Es erweist sich, dass die Mehrheitsregel alle fünf Eigenschaften aufweist, einschließlich der Nicht-Manipulierbarkeit -
wenn wir Präferenzen vermeiden, bei denen es zu einem Condorcet-Paradoxon kommt.
Und wann können wir ein Condorcet-Paradoxon ausschließen?
Zum Beispiel in dem Fall, dass die Wähler ideologisch abstimmen.
Kommen wir auf diese amerikanische Präsidentschaftswahl von 2000 zurück.
Von links nach rechts im ideologischen Spektrum lautete die Reihenfolge der Kandidaten Nader, Gore, Bush.
Es ist unwahrscheinlich, dass es viele Wähler gab, für die, sagen wir, Bush an erster Stelle kam,
dann Nader und dann Gore oder Nader an erster Stelle, dann Bush und dann Gore, denn wenn Ihnen Nader am besten gefällt,
dann steht Ihnen Gore ideologisch näher, Gore steht Ihnen näher als Bush.
Es ist also unwahrscheinlich, dass Sie die genannte Rangordnung erstellen.
Wenn wir aber diese Rangordnungen ausschließen können, dann stellt sich heraus,
dass die Mehrheitsregel alle fünf Eigenschaften aufweist.
Es gibt noch weitere Bedingungen, unter denen die Mehrheitsregel alle fünf Vorgaben erfüllt.
Das führt uns zu einer Definition, wonach eine Abstimmungsregel unter der Voraussetzung gut funktioniert,
dass sie unsere fünf Grundsätze dann erfüllt, wenn Präferenzen auf einen begrenzten Bereich beschränkt sind.
Wir erlauben also nicht alle möglichen Präferenzen, da nicht alle Präferenzen wahrscheinlich sind.
Wir betrachten eine begrenzte Gruppe von Präferenzen und behaupten,
dass eine Abstimmungsregel für diese begrenzte Gruppe gut funktioniert.
Zum Beispiel funktioniert die Mehrheitsregel gut, wenn Präferenzen eingipflig sind.
Doch nun erhalten wir das folgende Theorem.
Es sagt uns, dass dann, wenn wir mit einer beliebigen Abstimmungsregel beginnen, einer Abstimmungsregel F,
die für einen bestimmten Bereich von Präferenzen gut funktioniert,
dass dann die Mehrheitsregel im gleichen Bereich ebenfalls gut funktionieren muss.
Stellen Sie sich außerdem vor, dass die Mehrheitsregel in einem Bereich gut funktioniert,
in dem sie sich von der Abstimmungsregel, mit der wir begonnen haben - also von F - abweicht.
Dann muss es einen Bereich geben, in dem die Mehrheitsregel gut funktioniert, F aber nicht.
Anders ausgedrückt: Die Mehrheitsregel dominiert jede andere Abstimmungsregel in dem Sinn, dass sie gut funktioniert,
wenn die andere Abstimmungsregel gut funktioniert, und dass es einige Fälle gibt,
in denen die Mehrheitsregel gut funktioniert, nicht aber die anderen Abstimmungsregeln.
Ich brauche noch eine Minute, um dieses Theorem zu modifizieren.
Ich habe gesagt, dass unter allen Grundsätzen, die ich angesprochen habe,
der Grundsatz der Unabhängigkeit am stärksten umstritten ist.
Geben Sie mir noch eine Minute, um zu erklären, was passiert, wenn wir den Grundsatz der Unabhängigkeit fallen lassen.
Nun, wenn wir den Grundsatz der Unabhängigkeit einfach aufgeben, die Präferenzen aber unberührt lassen,
dann erhalten wir wieder ein unmögliches Resultat, nämlich das Gibbard-Satterthwaite-Resultat.
Wir können aber versuchen, erneut eingeschränkte Klassen von Präferenzen zu betrachten.
Den Ausdruck "gut funktionieren", den ich vorhin benutzt habe, kann ich übrigens nicht wiederholen,
da es sich hier um ein unterschiedliches Konzept handelt.
Ich werde also sagen, dass eine Abstimmungsregel für einen bestimmten Bereich von Präferenzen angemessen funktioniert,
wenn sie in diesem Bereich die vier übrigen Grundsätze erfüllt - Pareto, Anonymität, Neutralität, Nicht-Manipulierbarkeit.
Und nun haben wir Theorem 2, das ganz ähnlich aussieht wie Theorem 1, mit einer Änderung.
Nehmen wir an, dass eine Abstimmungsregel für einen bestimmten Bereich von Präferenzen angemessen funktioniert.
Dann funktioniert entweder die Mehrheitsregel oder das Rangsummenverfahren für diesen Bereich ebenfalls angemessen,
oder vielleicht sogar beide.
Umgekehrt gilt: Wenn eine der beiden Regeln, die Mehrheitsregel oder das Rangsummenverfahren,
für einen bestimmten Bereich angemessen funktioniert und von der Abstimmungsregel, mit der wir begonnen haben, abweicht,
dann gibt es einen anderen Bereich, für den die Mehrheitsregel oder das Rangsummenverfahren angemessen funktioniert,
nicht aber die Abstimmungsregel, mit der wir begonnen haben.
Damit erhalten wir Dominanz in demselben Sinn wie beim ersten Resultat, nur dass jetzt diese beiden Abstimmungsregeln,
die Mehrheitsregel und das Rangsummenverfahren, gemeinsam dominieren.
Den Beweis hierfür spare ich mir, doch lassen Sie mich abschließend sagen, dass es zumindest für mich zufriedenstellend ist,
dass diese zwei altehrwürdigen Abstimmungsregeln - die Mehrheitsregel und das Rangsummenverfahren
sind die zwei über hunderte von Jahren mit Abstand am gründlichsten untersuchten Abstimmungsregeln -
dass sich diese beiden als die besten erweisen, jedenfalls nach dem Ergebnis dieser Untersuchung.
Es ist auch schön zu sehen, dass die alte Fehde zwischen Condorcet und Borda auf elegante Weise beigelegt werden kann -
in einem gewissen Sinn hatten sie beide Recht.
Vielen Dank.