Sehr verehrte Anwesende,
in den letzten Jahren ist sehr viel neues experimentelles Material gesammelt worden über die Elementarteilchen.
Neben den altbekannten Bausteinen der Materie:
Elektronen, Protonen und Neutronen, die schon seit einem Viertel oder einem halben Jahrhundert bekannt sind,
kennt man heute eine ganze Reihe ähnlicher Gebilde, wir können sagen, etwa 25 neue,
verschiedene Sorten von Elementarteilchen, die in vielen Eigenschaften
den Elementarbausteinen der Materie ähnlich sehen, die aber im Allgemeinen nur ganz kurze Zeit existenzfähig sind,
und die häufig schon nach, sagen wir, einer hundertmillionsten Sekunde radioaktiv zerfallen.
Durch diese Fülle des experimentellen Materials über Elementarteilchen
ist für den theoretischen Physiker die Aufgabe gestellt, die Naturgesetze zu untersuchen
und schließlich mathematisch zu formulieren, die den Bau,
also die Existenz und die Eigenschaften der Elementarteilchen bestimmen.
Ich möchte nun in meinem heutigen Vortrag zunächst eine kritische Analyse der Entwicklung geben,
die sich etwa in den letzten zweieinhalb Jahrzehnten auf diesem Gebiet abgespielt hat,
und möchte dann im zweiten Teil des Vortrags auf einen Versuch eingehen,
der in den letzten Jahren in unserem Göttinger Institut unternommen worden ist,
um Klarheit in diese Phänomene um die Elementarteilchen zu bringen.
Ich möchte da gleich vorwegnehmen,
dass es sich einstweilen bei diesem sehr komplizierten Gebiet noch nicht darum handeln kann,
endgültige Lösungen aufzuzeigen, sondern dass man bestenfalls die Stelle angeben kann,
an der man nach solchen Lösungen suchen soll.
Und das soll also die Aufgabe dieses zweiten Teils sein.
Aber zunächst zur historischen Entwicklung:
Schon sehr früh, nämlich etwa um die Zeit, als die Quantenmechanik abgeschlossen war, gegen Ende der 20er Jahre,
war man sich klar darüber, dass man zu einem Verständnis der Elementarteilchen nur kommen könnte,
wenn man die Quantentheorie verbinden würde mit der Theorie der Wellengleichungen,
also wenn man sogenannte Feldgleichungen quantisieren kann.
Dass das so ist, folgte eigentlich schon aus Arbeiten von Einstein,
aus der Frühzeit der Quantentheorie, aus denen hervorging,
dass die Anwendung der Quantentheorie etwa auf das Maxwellsche Feld der elektromagnetischen Wellen
zur Existenz der Nichtquanten führt.
Also man sah aus diesem einen Beispiel,
dass die Anwendung von Quantenbedingungen auf eine Feldtheorie die Existenz der dazugehörigen Teilchen erklärt.
Also schien der Weg vorgezeichnet; man musste die Quantentheorie anwenden auf Wellengleichungen,
und zwar auf die verschiedenen Wellengleichungen, die man damals kannte, und konnte hoffen,
in dieser Weise allmählich zu einem Verständnis der Elementarteilchen vorzudringen.
Am Anfang ist dieser Weg auch ohne große Schwierigkeiten - scheinbar -begangen worden.
Als in den ersten Arbeiten - ich erwähne etwa die Arbeiten zunächst von Jordan, Klein und Wigner,
dann von Pauli und Jordan, und von Dirac.
In diesen Arbeiten schien die Anwendung der Quantentheorie auf Feldgleichungen
ein eindeutiger mathematischer Prozess, der zunächst auch zu vernünftigen Resultaten zu führen schien.
Dann aber stellten sich schon sehr schnell, also Anfang der 30er Jahre große Schwierigkeiten heraus.
Weisskopf konnte nachweisen,
dass bei einer konsequenten Anwendung dieser Quantisierungsvorschrift auf die Wellen unendliche Selbstenergien,
also unendliche Massen des Elektrons herauskommen, mit anderen Worten,
die Mathematik divergiert dort und gibt daher eigentlich überhaupt keine sinnvollen Resultate.
Trotz dieser sehr großen Schwierigkeit
wurden eine ganze Menge physikalisch vernünftige Resultate durch diese Theorien gewonnen.
Wenn man nämlich die Theorie als Störungstheorie ausbildete
und dann hinreichend früh mit der Entwicklung aufhörte,
also die Rechnung sozusagen also bewusst ungenau machte, dann ergaben sich physikalisch vernünftige Resultate.
Ich erinnere an die Diracsche Theorie der Strahlung, Theorie der Resonanzlinien, Dispersion usw.
Also es wurden besonders mit der Anwendung der Quantentheorie auf die Elektrodynamik
eine Menge gute Ergebnisse erzielt, die sich an der Erfahrung bewährt haben
und gleichzeitig war es doch klar, dass eine konsequente Anwendung dieser Mathematik zu Unsinn,
nämlich zu unendlich großen, also zu divergierenden Gleichungen führen würde.
Und am Anfang nahm man natürlich an, dass diese Divergenzen, diese mathematischen Unendlichkeiten,
irgendwie durch die Ungeschicklichkeit der Rechnung bedingt seien,
man hoffte also zum Beispiel durch eine bessere Störungstheorie
oder durch völliges Abgehen von der Störungstheorie doch zu konvergenten, also vernünftigen Resultaten zu kommen.
Tatsächlich ist aber in diesem Punkt in den 25 Jahren, die seitdem verstrichen sind,
kein wirklicher Fortschritt erzielt worden, und wir haben augenblicklich allen Grund, anzunehmen,
dass hier eine sehr fundamentale Schwierigkeit vorliegt, die durch grundsätzlich neue Methoden,
also durch ein Abgehen von den bisherigen Grundvoraussetzungen der Physik nur gelöst werden kann.
Dass es sich hier um eine grundsätzliche Schwierigkeit handelt,
das kann man vielleicht jetzt in folgender Weise erklären.
Man kann sagen, es entsteht hier ein Konflikt zwischen der Quantenmechanik,
als deren Charakteristikum man etwa die Unbestimmtheitsrelation ansehen kann,
und der Raum-Zeit-Struktur der speziellen Relativitätstheorie,
über die wir gestern in dem Vortrag von Herrn von Laue gehört haben.
Und zwar handelt es sich um den folgenden Konflikt:
Die Unbestimmtheitsrelationen der Quantenmechanik sagen aus, dass dann,
wenn man den Ort irgendeines Teilchens oder eines Systems sehr genau festlegen will,
man eine große Ungenauigkeit in der Impulsbestimmung in Kauf nehmen muss
oder wenn man den Zeitpunkt genau festlegen will,
man eine sehr große Unbestimmtheit in der Energie in Kauf nehmen muss und umgekehrt.
In der Raum-Zeit-Struktur der Relativitätstheorie aber steckt als wesentlichstes Postulat die Erkenntnis,
dass sich alle Wirkungen nur mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen.
Dass also sozusagen eine scharfe Grenze besteht zwischen denjenigen Ereignissen,
auf die man in der Zukunft gesehen noch Einfluss nehmen kann,
und diejenigen Ereignisse, auf die man sicher nicht mehr Einfluss nehmen kann,
weil eben eine Lichtwelle gar nicht mehr den betreffenden Ereignispunkt erreichen kann.
Oder umgekehrt in der Vergangenheit:
Von gewissen Ereignissen können wir grundsätzlich etwas erfahren,
weil eine Lichtwelle uns von diesem Punkt aus noch erreichen könnte.
Von anderen können wir ganz sicher nichts erfahren, weil da die Lichtwelle uns gar nicht mehr erreichen könnte.
Also die Grenze, sagen wir, in dieser Weise zwischen Zukunft und Gegenwart
oder zwischen Vergangenheit und Gegenwart, ist in der Relativitätstheorie absolut scharf.
Und das drückte sich ja auch schon vor 50 Jahren bei der Entwicklung der Relativitätstheorie so aus,
dass man sagte:
Wir können in der Relativitätstheorie keine Fernwirkungskräfte annehmen,
wir können nur sogenannte Nahwirkungen zulassen, also eine Wirkung von einem Punkt zum Nachbarpunkt,
sodass sich derartige Wirkung eben mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt.
Nun, eine solche absolut scharfe Grenze zwischen etwa Gegenwart und Zukunft oder Gegenwart und Vergangenheit,
bedingt nach den Unbestimmtheitsrelationen der Quantentheorie eben eine unendliche Verwaschenheit des Impulses
oder der Energie, und führt also damit zu unendlichen Impulsen und Energien.
Also damit ist ganz zweifellos die Wurzel für alle diese Schwierigkeiten richtig bezeichnet.
Natürlich genügt ein so einfaches Argument nicht, um zu beweisen,
dass man diese Dinge nicht wirklich in Ordnung bringen kann.
Aber die vergeblichen Versuche der letzten 25 Jahre haben es sehr wahrscheinlich gemacht,
dass man nicht sozusagen durch einen mathematischen Kunstgriff hier den Widerspruch beseitigen kann.
Nun also zunächst ist diese Schwierigkeit einfach, sozusagen,
so stehen geblieben und man hat mit den Näherungsmethoden der Störungstheorie
doch manche guten Resultate aus dieser Quantenfeldtheorie ableiten können.
Ich will von der folgenden Entwicklung nur ein paar wichtige Schritte schildern.
Zum Beispiel hat man diese Quantentheorie der Wellen auf den Betazerfall angewendet,
das war die Fermische Theorie des Betazerfalls, und hat damit die Energieverteilung,
Beziehung zwischen Energie und Lebensdauer bei Betazerfall, gut erklären können.
Aus dieser Theorie des Betazerfalls hat sich dann eine
für die Folgezeit auch sehr wichtige Unterscheidung zwischen zwei verschiedenen Typen von Wechselwirkungen ergeben.
Und da ich auf diesen Punkt später noch einmal zu sprechen kommen will,
möchte ich diese beiden Arten der Wechselwirkung hier kurz charakterisieren,
zunächst einfach einen Namen einführen.
Ich will die eine Wechselwirkung der ersten Art, die andere Wechselwirkung der zweiten Art nennen.
Die Wechselwirkung der ersten Art ist dadurch charakterisiert,
dass dann, wenn mehrere Elementarteilchen, oder sagen wir, zwei Elementarteilchen zusammenstoßen,
dass dann die Wechselwirkung entweder mit wachsender Energie dieser Teilchen abnimmt oder konstant bleibt,
also jedenfalls nicht zunimmt.
Das bedeutet auch gleichzeitig, dass die Wechselwirkung mit der Wellenlänge dieser Teilchen so variiert,
dass sie bei abnehmender Wellenlänge der zugehörigen Wellen dann eben entweder konstant bleibt oder auch abnimmt.
Die Wechselwirkung der zweiten Art hat die umgekehrte Eigenschaft,
das heißt, wenn die Energie der wechselwirkenden Teilchen zunimmt, so nimmt die Wechselwirkung auch zu.
Und das hat zunächst physikalisch folgende wichtige Konsequenz:
Nehmen Sie an, dass bei kleinen Energien diese Wechselwirkung klein sei.
Dann bedeutet das in dem mathematischen Formalismus der Quantentheorie zum Beispiel,
dass beim Zusammenstoß oder bei der Ablenkung von Teilchen immer nur ein neues Teilchen,
zum Beispiel ein neues Lichtquant, erzeugt werden kann,
da in einer Störungstheorie eben ein Teilchen in der ersten Näherung auftritt, zwei in der zweiten,
drei in der dritten Näherung auftreten.
Also da die Näherungen aber nun gut konvergieren, wird also fast immer nur ein Teilchen ausgesandt.
Und das würde auch bei beliebig hohen Energien der zusammenstoßenden Teilchen so bleiben,
weil ja bei den Wechselwirkungen der ersten Art eben die Wechselwirkung nicht zunimmt mit wachsender Energie.
Es würden also dann immer nur einzelne Teilchen bei der Ausstrahlung erzeugt werden können.
Wenn aber die Wechselwirkung mit wachsender Energie zunimmt,
dann wird man bei hoher Energie ganz sicher einmal an eine Stelle kommen,
wo die Wechselwirkung so groß geworden ist, dass eine Störungsrechnung gar nicht mehr konvergiert,
dass also die erste und die zweite, die dritte und die hundertste Näherung alle ungefähr gleich groß werden.
Und das bedeutet, dass es gleich wahrscheinlich sein kann,
dass eben 20 Teilchen auf einmal erzeugt werden und nicht nur eins.
Das hängt dann natürlich von den energetischen Verhältnissen ab.
Also die Wechselwirkung der zweiten Art führt zu einer Vielfacherzeugung von Teilchen.
Inzwischen hat sich durch eine Reihe von Experimenten herausgestellt,
dass diese Wechselwirkungen der zweiten Art jedenfalls in der Natur vorkommen,
zum Beispiel bei der Erzeugung von sogenannten Pi-Mesonen aus dem Zusammenstoß zwischen Nukleonen,
zwischen Kernteilchen.
Dann will ich noch ein weiteres, etwas andersartiges, Resultat erwähnen.
Also diese Unterscheidung zwischen den beiden Wechselwirkungen, das war noch vor dem Krieg, dann dieses,
was ich jetzt erwähnen will, war etwas später.
Man hatte, wie ich vorhin schon sagte, den Eindruck,
dass dieser grundsätzliche Widerspruch zwischen Relativitätstheorie und Quantentheorie nur überwunden werden kann
durch Abänderungen in den Grundlagen der Theorie.
Dann war natürlich die Frage gestellt:
Ja, was wird denn dann von der bisherigen Theorie überhaupt übrig bleiben können,
wenn wir an den Grundlagen etwas ändern?
Und da stellte sich heraus, dass es jedenfalls gewisse mathematische Größen gibt,
die man immer zur Beschreibung der Experimente wird verwenden müssen
und die daher sozusagen einen stabilen Bestandteil der bestehenden Theorie bilden.
Die Physiker nennen dieses mathematische Gebilde die S-Matrix oder die Streumatrix,
und anschaulich bedeutet diese Größe Folgendes:
Wenn Elementarteilchen zusammenstoßen, dann entstehen ja bei dem Stoß eventuell neue Teilchen,
die gestoßenen Teilchen werden abgelenkt usw.
Und es ist wahrscheinlich sehr schwer, das, was da beim Zusammenstoß passiert, im Einzelnen zu beschreiben.
Ganz sicher aber wird man beschreiben müssen,
welche Teilchen herein- und welche Teilchen herausgehen aus dem Zusammenstoß.
Also das asymptotische Verhalten der Wellen im Unendlichen,
nämlich die einlaufenden wie auslaufenden Wellen, das muss sicher mathematisch dargestellt werden können,
und diejenige mathematische Größe, die das leistet,
nannte man eben schon in der früheren Quantentheorie die Streumatrix.
Man konnte also die mathematischen Eigenschaften dieser Streumatrix studieren und aus den Beziehungen,
die sich dabei ergaben, konnte man etwas lernen über das Verhalten der Größen,
die in den Experimenten wirklich auftraten, also etwa der Wirkungsquerschnitte,
die Ablenkung der Teilchen, der Kräfte usw.
Damit hatte man also eine mathematische Basis für eine Theorie, die man noch gar nicht kannte,
insofern als man wenigsten wusste, in dieser Theorie wird es eine solche Streumatrix geben,
es wird also irgendeinen mathematischen Formalismus geben, der einem erlaubt, diese Streumatrix abzuleiten.
Und umgekehrt, der Experimentalphysiker, der den Zusammenstoß von Elementarteilchen studiert,
der wird letzten Endes seine Experimente so analysieren können,
dass er als Resultat eben die sogenannten Matrixelemente dieser Streumatrix aufschreibt.
Dann, in der Zeit nach dem Krieg, in den ersten Jahren nach dem Krieg,
kam ein wichtiger Fortschritt in dieses ganze Gebiet durch folgende Entdeckung:
Schon vor dem Krieg war wohl zum ersten Mal von Kramers der Gedanke ausgesprochen worden,
dass die Masse und die Ladung, etwa der Elektronen in der Quantenelektrodynamik
durch die Wechselwirkung zwischen dem Materiefeld und dem Strahlungsfeld beeinflusst werden.
Und das bedeutet,
wenn man also in die Gleichungen die Wechselwirkung zwischen Materiefeld und Lichtfeld charakterisiert,
wenn man in diese Gleichung ursprünglich eine Masse m0 oder eine Ladung E0 des Elektrons einsetzt,
dann wird nachher aus diesen Gleichungen, wenn die ganze Rechnung durchgeführt ist,
eine andere Masse und eine andere Ladung herauskommen.
Tatsächlich hatte sich ja sogar herausgestellt, dass, wenn man korrekt rechnet,
dass dann diese Masse und die Ladung unendlich werden, also eigentlich physikalisch sinnlos werden.
Kramers hatte gelegentlich die Idee ausgesprochen,
man sollte diesen ganzen mathematischen Formalismus umdrehen, so,
dass man sozusagen die endgültige Masse und die endgültige Ladung, die am Schluss herauskommen,
als physikalische Konstante identifiziert und also die Größen m0 und E0, mit denen man anfängt,
die zunächst unbestimmt lässt.
Nun dieses Programm der Renormierung, wie wir es jetzt nennen,
ist nach dem Krieg durch Bethe mit größtem Erfolg aufgegriffen worden, und Bethe konnte zeigen,
dass, wenn man es so rum macht, dass dann tatsächlich die Unendlichkeiten,
die in der Theorie bisher jeden Fortschritt verhindert hatten, zunächst verschwinden,
dass man also konvergente Resultate bekommt, und noch dazu Resultate, die physikalisch äußerst interessant waren.
Inzwischen hatten nämlich die amerikanischen Physiker Lamb und Rutherford gezeigt,
dass die alten Formeln für die Feinstruktur der Wasserstofflinien nicht genau stimmten
und dass es da charakteristische Abweichungen zwischen Experiment und der früheren Theorie,
also der Sommerfeldschen Formel und der Diracschen Theorie gab.
Gerade diese Abweichungen konnten nun durch diese Renormierung von Bethe aufs Genaueste erklärt werden,
also mit einer ganz erstaunlichen Genauigkeit, auf eine Reihe von Dezimalen,
konnte nun die Feinstruktur der Spektrallinien berechnet und in Übereinstimmung mit dem Experiment gefunden werden.
Das war ein sehr großer Erfolg, denn er zeigte, dass diese Quantenelektrodynamik tatsächlich viel besser war,
als man ursprünglich geglaubt hatte oder hätte hoffen können.
Und daraus, aus diesem wirklich großen Erfolg, entstand nun eine sehr weit gespannte Hoffnung.
Es entstand nämlich die Hoffnung, dass man durch diesen Prozess der Renormierung überhaupt die Unendlichkeiten,
die bis dahin so gestört hatten, würde aus der Theorie herauswerfen können.
Es war also etwa die Idee ausgesprochen:
Man wird eben zwischen zwei Sorten von Theorien unterscheiden können -
solchen, bei denen dieser Prozess der Renormierung zu endlichen Resultaten führt,
und solche, bei denen das nicht der Fall ist.
Die Letzteren aber kommen von vornherein für die Elementarteilchen nicht in Betracht.
Und es stellte sich dann heraus,
dass die Unterscheidung zwischen diesen beiden Arten von Theorie
wieder genau zusammenfiel mit der Unterscheidung der beiden Arten von Wechselwirkung,
also was ich vorhin Wechselwirkung erster und zweiter Art genannt habe.
Theorien mit einer Wechselwirkung erster Art können durch Renormierung in konvergierende Theorien verwandelt werden,
Theorien der zweiten Art, mit Wechselwirkungen der zweiten Art, können es nicht.
Man setzte sich also damals dann zunächst hinweg über die Tatsache,
dass diese Wechselwirkung zweiter Art in der Natur ja doch offenbar auftritt.
Man war dessen allerdings nicht so ganz sicher und formulierte also eben die Hoffnung,
dass es nur Theorien der ersten Art geben musste,
dass die Theorie der ersten Art sozusagen die Natur richtig darstellt,
und dass man dadurch die Unendlichkeit und die mathematischen Schwierigkeiten beseitigt hätte.
Infolge dieser Entwicklung ist dann auch die mathematische Struktur dieser Quantenfeldtheorie
sehr genau untersucht worden.
Ich erinnere an die Arbeiten von Tomonaga, von Schwinger, von Feynman und vielen anderen.
Und jedenfalls überblickt man jetzt die Struktur dieser ganzen Theorien sehr viel besser als damals.
Aber das Resultat war doch, dass die Hoffnungen, von denen ich eben gesprochen habe,
dass die ganz unberechtigt waren.
Und es ist besonders das Verdienst von Pauli und Källén nachgewiesen zu haben,
dass eben auch dieser Prozess der Renormierung nicht an den grundsätzlichen mathematischen Schwierigkeiten vorbeiführt,
die wir eigentlich seit 1930 in der Quantenfeldtheorie kennen.
Es stellte sich nämlich in den Arbeiten von Pauli und Källén heraus, dass dann,
wenn man diesen Prozess der Renormierung durchführt, wenigstens in einem einfachen Fall,
in dem man die Mathematik wirklich übersehen kann,
dass dann der Prozess der Renormierung zu einer Abweichung von der bisherigen Quantentheorie führt,
dadurch, dass die Wechselwirkung, die in der Hamilton-Funktion steht, eigentlich imaginär geworden ist.
Das hat dann wieder zur Folge, dass die S-Matrix, also die Streumatrix, nicht unitär ist,
was also in unmathematischer Sprechweise bedeutet, dass man gezwungen wäre,
negative Wahrscheinlichkeiten einzuführen und das ist sozusagen logisch Unsinn, das kann man nicht machen.
Also Theorien dieser Art können physikalisch nicht interpretiert werden.
Eine andere Ausdrucksweise für diese Schwierigkeit ist die - sie steht in der Arbeit von Pauli und Källén -,
dass eben die Renormierung zu neuen Zuständen führt, die Pauli und Källén "Geisterzustände" nennen,
weil sie eben physikalisch sich nicht vernünftig benehmen.
Und diese Zustände verändern die Metrik in dem Raum der Zustände,
in dem sogenannten Hilbert-Raum in einer solchen Weise, dass nur die Metrik indefinit wird,
und eben das führt wieder zu negativen Wahrscheinlichkeiten.
Also in anderen Worten:
Man hat zwar durch den Prozess der Renormierung die Unendlichkeiten aus der Theorie beseitigt,
aber dafür negative Wahrscheinlichkeiten eingeführt,
was physikalisch absurd ist und zur Interpretation der Erfahrung also nicht genügt.
Die Frage, ob das nun in allen solchen renormierten Theorien so liegt, wie in dem einfachen Leeschen Modell,
das von Pauli und Källén behandelt worden war, ist noch offen.
Da konnte die Mathematik noch nicht weit genug entwickelt werden.
Aber es ist wohl zumindest wahrscheinlich.
Nun war das Ergebnis, was sich aus diesen mathematischen Untersuchungen herausgestellt hat,
eigentlich auch physikalisch ganz erfreulich insofern, als inzwischen neuere Experimente gezeigt hatten,
dass diese Quantenelektrodynamik bei großen Energien ja auch gar nicht stimmt.
Man hat inzwischen Prozesse beobachtet,
bei denen zum Beispiel viele Gammaquanten aus einem einzigen Stoßprozess entstehen.
Wenn die Quantenelektrodynamik aber so ist oder so wäre, wie man sie sich ursprünglich gedacht hat,
nämlich mit Wechselwirkungen der ersten Art allein, der konvergenten Mathematik usw.,
dann dürfte das ja gar nicht vorkommen.
Also die Tatsache, dass gelegentlich in Stoßprozessen viele Gammaquanten,
also viele Lichtquanten auf einmal erzeugt werden, beweist schon,
dass die Quantenelektrodynamik gar nicht so ist, wie man es sich früher geträumt hat.
Also insofern passen hier die Ergebnisse der mathematischen Analyse und die Ergebnisse des Experiments gut zusammen,
aber eben doch nur in dem negativen Sinn, dass eben auch die Quantenelektrodynamik nicht wirklich in Ordnung ist.
Nun kann man fragen:
Ist das eigentlich ein sehr unbefriedigender Zustand
oder ist das ein befriedigender Zustand der theoretischen Analyse?
Nun, nehmen wir an, diese Hoffnung wäre berechtigt gewesen,
wäre man dann da von dort aus zu einer Theorie der Elementarteilchen gekommen?
Und da muss man eigentlich sofort mit "Nein" antworten.
Denn dann hätte man es etwa so sagen müssen:
Um eines Tages die Massen der Elementarteilchen zu verstehen, wird man also eine etwa - wie der Physiker sagt -
eine große Hamilton-Funktion, also einen großen Ausdruck für Wechselwirkungen hinschreiben,
indem man für jede Elementarteilchensorte eine Wellenfunktion einführt.
Und dann hat man irgendwelche komplizierten Wechselwirkungen.
Und dann wird man nachweisen,
dass nur für ganz bestimmte Massen dieser Elementarteilchen
und für bestimmte Größen dieser Wechselwirkungen die Theorie eben renormierbar ist,
und dadurch kommen die ganzen Massen der Elementarteilchen zustande.
So werden sie erklärt.
Nun kann man ja sofort sehen,
dass man so etwas nur über den Umweg über eine ganz monströse Mathematik erreichen könnte,
denn wir kennen schon 25 verschiedene Sorten von Elementarteilchen.
Und wie eine Mathematik aussähe, in die man 25 verschiedene Wellenfunktionen einführt,
das kann sich jeder ausmalen, der mal mit solcher Mathematik zu tun gehabt hat.
Also das ist offenbar ein aussichtsloses Beginnen.
Und ich möchte daher ..., ja, vielleicht sollte ich vorher noch Folgendes sagen:
Man ist daher in den letzten Jahren auch mehr und mehr dazu übergegangen,
gerade nachdem diese Schwierigkeiten in der Renormierung aufgetaucht waren,
sich im Grunde nur noch eben für die Streumatrix zu interessieren, also für das,
was der Experimentalphysiker ja auch unmittelbar liefert.
Und man hat eine Reihe von interessanten mathematischen Relationen für diese Streumatrix gefunden,
zum Teil im Zusammenhang mit der Forderung der Kausalität, so wie sie in der Relativitätstheorie auftritt,
zum Teil im Zusammenhang mit gewissen Dispersionsrelationen.
Aber ich will auf diese Einzelheiten hier nicht eingehen.
Ich möchte nur kritisch eben zu dieser ganzen Art von physikalischer Behandlung sagen,
dass sie ungefähr so aussieht, wie wenn im Jahre 1900 folgende Situation gewesen wäre:
Nehmen wir einmal an, im Jahr 1900 hätte man zwar die Grundzüge der Quantenmechanik gekannt,
man hätte aber nichts vom Bohrschen Atommodell gewusst
und hätte nichts von den coulombschen Kräften zwischen Elektronen und Protonen und Kernen gewusst.
Dann hätte man wahrscheinlich so ähnlich gehandelt wie jetzt,
man hätte also für das Sauerstoffatom eine Wellenfunktion eingeführt, für das Kohlenstoffatom eine andere,
für das Wasserstoffatom eine dritte usw. also für die verschiedenen Atomsorten immer neue Wellenfunktionen.
Man hätte dann die S-Matrix, die Streumatrix für die Zusammenstöße studieren können
und damit die Gaskinetik in Ordnung bringen.
Man hätte also den Ramsauer-Effekt diskutieren können als Resonanzphänomen usw.
Aber ganz offensichtlich wäre man durch alle solche Bemühungen
dem Zentrum des Problems überhaupt nicht nahegekommen.
Denn das eigentliche Problem war eben, die Struktur dieser Atome zu verstehen,
oder wie wir jetzt wissen, eben aufzulösen in eine Aussage über Elektronen und Kern.
Also in anderen Worten:
Um zu dem Zentrum des Problems vorzustoßen, muss man offenbar etwas anderes tun,
und damit komme ich nun zum zweiten Teil meines Vortrags.
Ich möchte zunächst einige Grundsätze besprechen, nach denen man, wie ich glaube, hier vorgehen muss.
Zunächst scheint mir ganz sicher, dass man in einer solchen Theorie nicht damit anfangen kann,
als Grundgrößen die Wellenfunktion für irgendwelche Elementarteilchen einzuführen.
Also etwa die Wellenfunktion für Protonen oder Neutrinos oder Elektronen oder dergleichen.
Denn in dieser wirklichen Theorie der Elementarteilchen
sollen ja die Teilchen herauskommen als Lösung eines Gleichungssystems, man darf sie also nicht hereinstecken.
In anderen Worten:
Wenn überhaupt eine Wellenfunktion in dieser Theorie angeschrieben werden kann, was natürlich die Frage ist,
aber wenn das so ist, dann kann das nur eine Wellenfunktion für die Materie sein,
wobei völlig unentschieden ist, ob diese Materie sich nachher als Proton, als Meson, als Elektron usw. manifestiert.
Es muss sich also um eine Wellenfunktion und eine Wellengleichung einfach für die Materie handeln
und nicht für eine bestimmte Sorte für Elementarteilchen bleiben.
Zweitens: Die Masse der Elementarteilchen muss eine Folge der Wechselwirkung sein.
Jedenfalls muss sie aufs Engste mit der Wechselwirkung verknüpft sein.
Es hat also sicher keinen Sinn, eine Gleichung anzuschreiben von linearem Charakter,
die gar keine Wechselwirkung ausdrückt.
Denn die Masse ist ja eine Folge der Wechselwirkung.
Also wird es am richtigsten sein, eine Gleichung hinzuschreiben,
in der es nur Wechselwirkung gibt und bei der man dann hoffen kann,
dass die Masse eben als Folge der Wechselwirkung entsteht.
Also man wird eine nichtlineare Wellengleichung für die Materie anschreiben müssen, die möglichst einfach aussieht.
Möglichst einfach - dafür hat man physikalisch zunächst gar kein wirkliches Argument.
Man kann nur sagen, dass es bisher in der Physik schließlich immer so gewesen ist,
dass die Grundgleichungen einfach waren.
Warum die Natur das so eingerichtet hat, das hat wohl noch nie jemals ein Physiker ergründet,
aber die ganze Physik basiert auf der Hoffnung oder auf der Überzeugung, dass es schließlich möglich ist.
Um nun zu einer Lösung dieser Art zu kommen, haben wir in Göttingen eine bestimmte Gleichung untersucht,
die zwar sicher noch einfacher ist als jene Gleichung, die zum wirklichen System der Elementarteilchen führt,
die aber doch schon viele Züge der wirklichen Theorie der Elementarteilchen enthalten soll -
das ist die Hoffnung dabei.
Nun, die Materie ..., die Wellenfunktion der Materie, die da eingesetzt ist,
die ist von dem sogenannten Spinortyp, das heißt, sie gehört zur halbzahligen Spin, zum halbzahligen Drehimpuls,
und das ist notwendig, weil es in der Natur Teilchen mit halbzahligen und ganzzahligen Drehimplus gibt.
Wenn man beide Teilchensorten aus einer Gleichung erklären will,
muss man also mit einem halbzahligen Drehimpuls anfangen.
Also muss es eine Gleichung für eine Spinor-Wellenfunktion sein.
Und etwa die einfachste Gleichung dieser Art habe ich hier auf die Tafel geschrieben.
Also die Gleichung ist von dem bekannten Diracschen Typ, zunächst Gamma^My * d Psi / d x^My,
das wäre sozusagen die Diracsche Gleichung, und dann kommt ein einfaches, nichtlineares Glied.
Nun, diese Gleichung, so wie sie da steht, wäre zunächst eine, sagen wir, klassische Wellengleichung,
und sie wird zu einer quantentheoretischen nur durch den Prozess der Quantisierung,
also durch das Einführen von Vertauschungsrelationen.
Und an dieser Stelle fangen schon die eigentlichen Schwierigkeiten an:
Denn ich sagte vorhin ja schon, wenn wir nach den normalen Spielregeln quantisieren,
dann ergeben sich die Unendlichkeiten oder eben die Geisterzustände oder sonst die mathematischen Widersprüche.
Also man muss offenbar, wenn man einer solchen Gleichung überhaupt einen quantentheoretischen Sinn geben will,
die Vertauschungsrelation abändern und etwas tun, was man in der gewöhnlichen Quantentheorie nicht tut.
Und da haben wir uns von folgendem Gesichtspunkt leiten lassen:
Diese Vertauschungsrelation ist zunächst eine Zeile drunter angeschrieben,
es ist vielleicht nicht für alle zu lesen, aber ich kann in Worten sagen, was da das Wesentliche ist.
Diese Vertauschungsrelation, also die Vertauschung zwischen den Wellenfunktionen an zwei Punkten - x und x' - muss,
wenn die Kausalitätsforderung der speziellen Relativitätstheorie erfüllt werden soll, die Eigenschaft haben,
dass sie verschwindet, für raumartige Abstände zwischen den beiden Punkten x und x'.
Denn da dürfen ja keine Wirkungen fortgepflanzt werden.
Sie soll von null verschieden sein für zeitartige Abstände, und nun kommt die Frage,
was soll auf dem Lichtkegel selbst sein.
Und da kommen wir nun sofort in die Schwierigkeit hinein.
Wenn wir normale Quantenmechanik treiben, also immer nur die Übergänge betrachten,
etwa vom Vakuum zur Entstehung eines Teilchens und wieder zurück, dann kann man nachweisen,
dass auf dem Lichtkegel diese Vertauschungsfunktion unendlich wird in einer solchen Weise,
dass das Integral darüber endlich wird.
Also es ergibt sich, wie die Physiker sagen, eine Diracsche Delta-Funktion auf dem Lichtkegel.
Und bei einer solchen nicht-linearen Theorie führt diese Konsequenz der Quantentheorie schon zu den Widersprüchen
und zu den Schwierigkeiten.
Und zwar aus folgendem Grund:
Diese Vertauschungsfunktion, deren allgemeinen Charakter ich ja gerade geschildert habe,
sollte eigentlich aus Gründen, die ich jetzt hier nicht ausführen kann, sich ähnlich verhalten,
wie eine Lösung der Wellengleichung, der klassischen Wellengleichung, die von einem singulären Punkt ausgeht.
Denn wenn ich an irgendeinem Punkt mit einer Singularität anfange,
dann ist es ja auch nach der klassischen Wellengleichung und nach der Relativitätstheorie so,
dass eben nur in dem Zukunfts- und Vergangenheitskegel Wirkungen entstehen,
während für raumartige Abstände die Wellenfunktion null ist.
Also die Vertauschungsfunktion sollte aus Gründen, die ich hier nicht näher anführen kann,
eigentlich sich ähnlich verhalten - also korrespondenzmäßig entsprechen - dieser Fortpflanzungsfunktion.
Also wir drücken das oft mit den einfachen Worten aus: "Der Kommutator sollte gleich dem Propagator sein".
Propagator heißt diese Fortpflanzungsfunktion der klassischen Wellengleichung
und Kommutator heißt die Vertauschungsfunktion.
Nun, wenn man bei einer nichtlinearen Gleichung fordert, dass diese beiden übereinstimmen sollen,
und ich glaube, dass man diese Folgerung machen soll,
dann ist es unmöglich, dies durch die Vertauschungsrelation ...
mit der Vertauschungsrelation der gewöhnlichen Quantenmechanik in Einklang zu bringen,
dann dürfen nämlich auf dem Lichtkegel die Diracschen Delta-Funktionen nicht auftreten,
und dann kann man das gar nicht anders machen,
als dass man neben den physikalisch existierenden Zuständen noch unphysikalische,
also gewissermaßen Geisterzustände einführt, die dafür sorgen,
dass diese Delta Funktion auf dem Lichtkegel eben nicht auftritt.