Ladies and gentlemen.
This morning you will have heard lectures in 3 dialects of English, one with a slight Swedish accent,
one with a slight Japanese accent and one with a strong American accent.
Sometimes it helps for people for whom English isn’t a native language to hear the material spoken with a slight accent.
I hope mine can be understood.
Another thing, I believe that I was scheduled to stop this lecture promptly at 11.30 or as some people say half 12,
I will try to stop sooner than that because I wish to go on the trip to Mainau.
However I also wish to eat lunch today so that, anyway but I do have a lot of material to cover
and therefore I am going to read the text reasonably quickly.
Quantum mechanics is a very wonderful tool for dealing with problems in atomic molecular and condensed matter physics,
as well as with many parts of chemistry.
It can be based on a small number of axiomatic statements which are easy to apply but hard to understand.
This same quantum mechanics can be extended in very plausible ways
to apply to electromagnetic radiation in interaction with matter.
Many problems in nuclear physics have been treated with quantum mechanics
and the reconciliation of quantum mechanics and special relativity theory has had considerable success.
With general relativity things are rather more difficult still.
Many problems of sub nuclear physics and high energy phenomena have also been treated with quantum mechanics
but the theory is pushed rather far from its roots when dealing with such problems.
My main object in this lecture is to deal with the interpretation of quantum mechanics on the atomic level.
And with the application of that theory to more macroscopic systems
which for example among other things might include measuring instruments.
It is tempting to think that quantum mechanics might be applicable as well to much larger parts of the universe
such as with life and beyond.
But I will try to give you some reasons why such a temptation should be resisted.
Experience and common sense teaches that to learn anything about a sub microscopic system is a difficult task.
Our intuition is a most unreliable guide in this domain.
We have ingrained concepts about the meaning of reality which no doubt will be defined by professor Wigner in the next lecture.
And about causality, the relation between cause and effect.
And about our human role as observers of natural phenomena.
All of these things, concepts are most inappropriate for dealing with the sub microscopic world.
The development of the mathematical structure of quantum mechanics proved easier
than the formulation of a satisfactory interpretation of the theory and description of the process of measurement.
Quantum mechanics can do a lot for us if we regard it simply as a set of computational rules
for dealing with simple dynamical systems.
For instance we can calculate the energies of stationary states of atoms
and make an immediate connection with high precision spectroscopic observations of the last century.
For this one does not need to worry very much about the interpretation of the wave function
which describes the state of the system.
But only to calculate the energies of stationary states.
When we come to discuss scattering processes or radiative transitions between stationary states,
or the theory of measurement of dynamical variables
however we have greater need for a better understanding of the meaning of the wave function.
In the last few years I have seen a number of papers
dealing with interesting applications of quantum mechanics to large scale phenomena.
These range from problems in physics, optical communication theory, molecular biology,
all the way up to the theory of the whole universe.
I have been quite suspicious about the validity of most of this research.
One example of this is found in the theory expounded by Kip Thorne and Carton Caves of Caltech
on quantum demolition measurements of gravity waves.
Gravity waves probably have not been detected yet, perhaps they have but not everybody thinks so.
But many people are working on much more sensitive detectors and probably some day gravity waves will be detected.
However exceeding the limitations imposed by quantum mechanics in such measurements
is the subject of the discipline called quantum non demolition measurements.
This work represents part of a major program at Caltech to build the most sensitive detector possible for gravity waves.
Estimates based on an intuitive application of the uncertainty principle to the experimental configuration
set a quantum limit on the smallest signal which could be received.
Thorne, Caves and others have searched for methods to “beat the quantum limit”.
Their papers are very impressive and persuasive.
Unfortunately for them or more likely for me, they make use of a form of assumption about quantum mechanics
with which I do not agree.
To put it briefly I could say that they postulate the reduction of the wave packet hypothesis of von Neumann.
There are very similar ideas expressed in the first chapter of Professor Dirac’s book on quantum mechanics.
I partly disagree with the statements expressed by those authors
but I disagree more strongly with the use of those hypothesis by people involved in gravity wave measurements.
A gravity wave detector typically consists of a very massive cylinder.
One of its very high Q normal modes is put into vibration by a passing pulse of gravitation radiation.
In simple terms the system consists of a forced simple harmonic oscillator
and should be very familiar to all students of text book quantum mechanics.
At issue is the question how one can measure coordinate and momentum of such a large system.
The method is to trace out the time dependent shape of a gravitational wave pulse
by following the motion of a reference surface on the massive oscillator.
There is general agreement that the gravitational fields
which are to be studied in this research can be treated completely classically.
So there is no need to worry about the quantum theory of gravitation in this study.
No need to talk of gravitons or other quantal aspects of gravitation.
There will be plenty of non quantum mechanical disturbances of the detector to cope with
but Thorne and Caves wish to go further than the quantum limits
since this is required for the detection of some types of expected gravitational radiation.
My feeling is that they may probably succeed if the von Neumann hypothesis is correct and will fail if it is not.
Perhaps in 3 or 4 years one of those gentlemen will be here to tell you what they did.
Another field where quantum mechanics has been applied to macroscopic phenomena is in the theory of optical communication,
here we might consider a signal generator such as a laser, a transmission medium, perhaps between the earth and the moon,
and a detector which might consist of a photoelectric device and associated electronic circuits.
Since the von Neumann reduction hypothesis plays an essential role in this theory,
the foundations of which were laid at Bell telephone labs with many other people working on the subject.
I believe that this theory is fatally flawed.
Quantum mechanics is now over 50 years old, 55 years old.
I taught graduate courses in that subject for over 35 years at Columbia, Stanford, Oxford, Yale and the University of Arizona.
My lectures always began with an explanation that one must first learn the rules of calculation in quantum mechanics
before one can understand the physical meaning of the subject.
Somehow the time always ran out before I could give a proper discussion of the interpretation of quantum mechanics.
I did give an hour’s lecture on this subject here in Lindau in 1968.
This was subsequently published in Physics Today.
on the theory of measurement in quantum mechanics and that will be eventually published in that university’s press.
In the little time available to me today I will have to confine my discussion to a very simple form of quantum mechanics
and I will have to keep hidden many elegant features of the more general theory.
I will mostly be considering a dynamical system in which one particle is moving along a straight line.
The dynamical variables to be measured will be limited to a coordinate such as X and an energy
such as the Hamiltonian denoted by a symbol H for Hamiltonian.
I will mostly use the wave mechanical formulation of quantum mechanics
in which the state of a system is described by the shorting of wave function which is a function of X and T, psi of X and T.
Suppose that we have a simple problem in classical mechanics,
a particle of mass M moves a long a line under the action of some specified conservative potential energy field, V of X.
The system is described by the mass M and the form of the potential function V of X.
The state of the system can be specified by giving the particles coordinate X and velocity V.
The object of the exercise is usually to predict the future state of the system at a time greater than zero.
And that’s done with the help of the Newtonian equations of motion, given the initial state at time T equals zero.
It should be obvious that if at a certain time we want to change the mass of the particle or the force,
F of X which is acting on the particle we will subsequently have a different dynamical system
and a different set of differential equation or equations of motion to solve.
It is a good idea to know at all times what problem we are trying to solve.
There’s a great deal of profundity in that last sentence and it is inadequately observed I would say.
With a little more sophistication we can introduce concepts like momentum which is the product of mass times velocity
and we can introduce a Hamiltonian function of X and P.
The Newtonian equations of motion are replaced by Hamilton’s equations which I believe are on the new graph near the bottom.
I now want to deal with the corresponding problem in quantum mechanics.
Starting simply I look at the Schrödinger equation for a completely isolated system.
Now that equation may not be carved in marble, but I’m going to take it very literally.
I have seen students who wear this equation inscribed on T-shirts.
As a bit of fancy I would like to pretend that Moses found this equation on a tablet at Mount Sinai.
While he understood thou shalt not kill and other commandments,
he did not know the meaning of the strange equation with its mysterious symbols.
And did not wish to confuse his people by telling them about the extra tablet.
As a result we had to wait many thousands of years for another chance of enlightenment.
Unlike Moses we probably know today what H bar is, Planck constant improved by Dirac by a factor of 1 over 2 pi.
I, the square root of minus 1 and T standing for time.
The Hamiltonian operator H is derived from the classical Hamiltonian function,
H of X and P and by replacing the momentum P by a differential operator, H bar over I, D by DX.
Sometimes a partial derivative.
The hard thing to understand in this equation is the meaning of the wave function, psi of X and T.
The notion of a wave function is borrowed from classical field theories
but unlike those there is no direct physical interpretation to be given of the Schrödinger wave function.
Instead certain rules are postulated for using the wave function to calculate quantities of physical interest.
Among those are the probability density, W of X and T which is the absolute square of the wave function.
And the expectation value of a dynamical quantity F of X and P,
there could be many dynamical quantities to be considered but this stands for a general one.
And that is calculated by evaluating an … (inaudible 16.25) consisting of a sandwich
made of 2 wave functions and the operator F placed between them.
The idea that the absolute square of a wave function is to be regarded as a probability density
comes from the work of Max Born on collision theory
and from Dirac’s more general formulation of quantum mechanics as a bridge between matrix and wave mechanics.
I now consider a few simple cases.
First let the wave function be one of the eigen functions of the Hamiltonian operator H of X and P.
And I think its now time for the next view graph.
That equation at the top represents an eigen value problem
and that is characterising a stationary state called U sub N with an energy, stationary state energy E sub N.
The probability density for that state is given by W, which would be called W sub N and that’s the absolute square of UN of X.
And that is independent of the time.
And hence the use of the word stationary state.
The wave function is taken to be normalised so that the total probability for finding the electron any place is unity.
If one measures somehow the operator H for this state,
if you measure the energy of this state you find the value E sub N with certainty.
Now I’m saying that but the mere fact I say it doesn’t explain how this is to be done.
But a certain amount of that has to be absorbed in courses in quantum mechanics as you well know.
Each time one measures some other dynamical quantity such as X, one may get a different value of the measurement
and only when an ensemble of measurements has been studied or when an ensemble of measurements has been made
does one obtain the probability density W sub N of X which can be calculated by the equation given there.
As a second case let us consider a wave function psi of X and what you can’t read there stands for the variable T
and that has a subscript M on it standing for the time of some measurement.
So that wave function is a function of X and T for the time of measurement.
And this is taken to be a linear combination of 2 of the stationary states of the atom,
U1 and U2 are stationary state wave functions for 2 different energy eigen values,
E1 and E2 and they can be shown to be orthogonal, if you know what that means, but you don’t need to.
And if the wave functions are normalised the wave function of psi will also be normalised if the complex coefficients,
C1 and C2 are normalised to unity in a way which you do not see there
but the sum of the squares of the C’s, 1 or C2 should be unity.
If the dynamical variable H is repeatedly measured for a system with this wave function one sometimes gets E1
and sometimes gets E2.
And there is no way to predict in advance which result will be obtained.
The relative probabilities with which the 2 energy eigen values are obtained
as the results of measurement will be given by the quantity C1 absolute squared and C2 absolute squared.
Well I’ve now given you a little bit of measurement theory in quantum mechanics, if you find it vague so do I.
We talk about measurements but we don’t know how to make them.
Talk is cheap but you never get more than you pay for.
My attitude towards such problems has no doubt been influenced by contact with some research and experimental physics
in which single highly isolated atomic states are precisely manipulated by microwave or optical frequency fields.
In the discussion of the measurement of any dynamical variable of a physical system
I want to specify exactly in the language of the quantum theory what apparatus is necessary for the task and how to use it,
at least in principle.
I am not satisfied with hand waving or a black box approach or with a formulogical scheme.
My starting point is the Schrödinger equation for a completely isolated system
which we have already seen on a previous view graph.
The manifest role of the wave equation is to allow us to calculate the future state of the system,
psi of T from its initial state psi of zero for a system with a given Hamiltonian operator
which is usually of the form of a kinetic and a potential energy added together.
The first problem is to get our system in to the desired starting state psi of zero,
this is called preparation of the initial state.
We may then let the wave function evolve under the guidance of the Schrödinger equation
until a time T sub M when a measurement is to be made.
I gave a discussion of the problem of state preparation in my 1968 lecture and although hardly anybody here heard that lecture,
I will simply take the result for granted which is that we can start the system off pretty well in any state that we please.
Not all quantum mechanical systems, even if isolated are describable by a wave function.
We simply may not know the starting wave function.
In that case the best that we can do is to consider that the wave function
might be one or another of several possible wave functions and the sign of probability distribution for the various possibilities.
The wave function would then be used to work out what should happen to each of these separate wave functions
and predicted results would be obtained by averaging over the ensemble of wave functions.
The theory would lose a great deal of its causality if we had to do this but sometimes we would.
In a case where a wave function description is possible one speaks of a pure case, otherwise of a mixture.
The theory usually uses density matrices instead of wave functions for the necessary kind of book keeping.
But it is possible to get along without using density matrixes if one works with an ensemble of wave functions.
Once converted into a mixture a pure case can never be recovered without the use of some kind of filtering process
which is equivalent to the preparation of a completely new state instead of making a measurement on the original system
which was the system we should have been concentrating on.
The wave equation will apply only if the system has the Hamiltonian H equals T plus V
but we do have to permit some disturbance of the system if we are to allow an observation of the system,
for instance a measurement of some quantity.
Any disturbance whatsoever will represent a change of the dynamical problem
and hence we will certainly have to use a different Schrödinger equation
to describe the system during the time its enjoying the process of measurement.
Quantum mechanics allows I would say at most 3 general kinds of disturbances.
The first, from the application of a classically describable external force with a corresponding additional term
added to the Hamiltonian.
We might apply an external electric or a magnetic field and treat those fields classically.
The second way would be from the dynamical coupling of another quantum mechanical system to the first system
to make a larger combined system which from then on, forever more would be the system we should be studying.
The third way would be from the intervention of an observer, putting the observer in quotation marks,
who attempts to learn something about the system by looking at it
or looking at some associated measuring instrument which has for a time at least been part of an enlarged system.
In the second case the added system has to be defined in terms of new variables, not little X and P but lets say big X and P
and the discussion of this case is simplest when the appendage system is in a known quantum state at the time of union.
The enlarged but still isolated system is from then on regarded as the system of interest
and its Schrödinger equation can be used to follow its time development.
The third case will be discussed below but perhaps I should allow you to anticipate
that in my view a living observer is not a suitable object for a Hamiltonian treatment,
whether in quantum mechanics or in classical.
The second and third cases play a central role in the theory of quantum mechanical measurements.
In case 3 an observer interacts with the system.
Von Neumann made a postulate often called the reduction of the wave packet hypothesis to deal simply
with the change of the wave function in such a case.
This postulate states that when an observer gets a result of a measurement, perhaps we should say maximum measurement,
the wave function of the system collapses into the eigen function appropriate for the variables being measured.
For reasons given below I do not think that Von Neumann’s postulate is either helpful or necessary
for the understanding of quantum mechanics and for the discussion of gravity wave detectors.
Instead one can try to give a quantum mechanical description of the combined system,
consisting of the measuring apparatus in a known quantum state brought into interaction
with the original system of interest and proceed as in case 2, as if we have a dynamical problem.
As long as the 2 interacting systems are united in the one isolated combined system the description is given by a wave function.
However to use the measuring instrument we must separate it off from the original system
and look at some property such as a needle pointer position
from which we hope to infer something about the state of the original system.
As a result of the separation of the united system into 2 parts neither of the separated systems
will from that time ever more have a definite wave function.
Each will be in an incoherent mixture of single system pure case states.
One can interpret this as arising from the uncontrollable interaction between the 2 parts of the system
during the time that they were united.
This is similar to what would happen in case 1 if a random perturbation were applied to a single system.
If you had a single system in the known perturbation the system would remain in a pure case state,
but if you had a random perturbation and didn’t know it you would have to make an ensemble and then you would have a mixture.
A number of writers on this subject have assumed that after the separation,
the measuring system would have a definite wave function with a definite phase relationship
between various components which were being added in the total wave function.
This would leave them with the unwelcome situation of an essentially classical measuring instrument
which might be in a state represented by a definite super position of several needle pointer states.
The transfer of attention alluded to above from the system of interest to the combined system
and then to the measuring instrument only postpones the need for understanding the measuring process
which surely becomes more difficult as the system becomes larger and larger.
Ultimately one would be led to consider still larger systems such as the electromagnetic field of optical radiation,
the retina and optic nerve of the eye, the brain, the mechanism of consciousness and eventually the whole universe.
For the measurement of position of an electron within an atom I adopted for my 1968 lecture a method
which is the quantum mechanical transcription of a classical one
that might be used to determine the probability distribution for a fly in a room.
One would quickly clasp one’s fingers around a small region of point X of M and find out by some subsequent
but non quantum mechanical operation whether one had caught an electron or a fly or not.
Then the process would be repeated many times for similarly prepared atoms to build up a probability distribution.
This represents a rather destructive procedure as the electrons wave function is disturbed even if the electron is not found.
When an electron is found or when an electron is caught one will have prepared the state of a very well localised particle.
But that is of no help for solution of the original problem.
On most of the occasions an electron will not be caught
but its wave function in the room will nevertheless be seriously affected by the effort.
It is here that the reduction hypothesis runs into trouble.
If the electron is caught its state is pretty well known.
That might be thought to match the reduction hypothesis, maybe so.
But the state is that of a different problem than the one we were supposed to be considering.
We have engaged in preparation, not measurement.
If the electron is not caught the future development of the wave function is disturbed.
And if its gravity waves we’re trying to detect for something like that there would be serious problems.
When similar considerations are applied to gravity wave detection the ensuing complications are highly undesirable.
I should mention that in his 1933 book, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,
Von Neumann gave quite different method for measuring a position coordinate
which had the advantage over the one I’ve just described to you of more faithfully modelling a conventional measuring apparatus.
The system of interest had canonical variables, little x and little p.
The measurement system had variables capital X and capital P.
The interaction Hamiltonian was taken to be proportional to the product little X capital P
and this would be very hard to realise in practice but I wouldn’t quibble about that.
But what I would complain about is that except in an absurd limiting case the method
does not avoid the conversion of the wave function into a statistical mixture.
And therefore the hypothesis fails but this was not recognised.
Let us now consider a system which at the time of measurement T sub M
is described by the 2 state super position wave function of which we have there.
At later times the wave function will evolve according to the Schrödinger equation into a wave function like this,
which differs from the form above by the presence of 2 exponential factors which have an absolute magnitude of 1.
But a phase that depends on the time elapsed after the time of measurement, T minus T sub M would be the time elapsed.
And notice that the probabilities for finding the electron in state 1 or state 2 are given by the same expressions as before
and they are independent of the time because the exponential factors have unit modularly.
We will have to repeat this whole operation many times in order to determine the values of the probabilities piece have been.
The different members of the ensemble could easily have different waiting times,
no doubt this would happen quite naturally while we were thinking about how we could determine their energy values.
That would of course convert the pure case wave function into a statistical mixture of randomly phased wave functions
which would be described by a density matrix instead of a pure case wave function.
Well I have to discuss the way that we would tell whether the atom was in state 1 or 2
and that’s done with a Stern-Gerlach apparatus which we can think of as being a kind of coupling of the system
to a system for measurement and that discussion is pretty well known.
So that I think that I shouldn’t take the opportunity to go on until the appointed time for the termination of the lecture.
But the conclusion with which I would like to leave you is that
when one is studying the motion of a massive cylinder of thoroughly macroscopic size,
it is going to be awfully hard to know the Hamiltonian acting on the system.
And if you do make a measurement you will have to take into account with exquisite precision the introduction
of any additional terms in the Hamiltonian.
And no matter what you do you will lose any knowledge of the wave function of the oscillator
that you might have had to begin with.
So that as the measurement procedure goes on looking again and again
to see how the gravity wave is evolving it would be necessary to take into account the fact
that the wave function of the system of interest is becoming even less a pure case wave function than it might have been.
And the result would be that the calculation will have to be done all over again.
Caves and Thorne have made the calculation on the basis that after every little measurement that they made
they could say that the wave function had collapsed to the value that it would have had if they had the system in an eigen state.
But the procedures for getting a system in an eigen state of energy are sufficiently elaborate
that they would not ever be able to do that.
Furthermore in order to conduct the procedures that quantum mechanics requires they would have to have
an ensemble of gravity wave detectors and they would be well off if they had an ensemble of gravity waves falling on the system.
And a gravity wave is something that you take when you get it and you can’t be sure the next one will be the same kind of wave.
So the final conclusion is that they will not meet the quantum limit but let them come and tell you about how they did it, so.
Sehr verehrte Damen und Herren.
Heute Vormittag hören Sie Vorträge in 3 verschiedenen englischen Dialekten, einen mit einem leichten schwedischen Akzent,
einen mit einem leichten japanischen Akzent und einen mit einem starken amerikanischen Akzent.
Für diejenigen, deren Muttersprache nicht Englisch ist, ist es manchmal hilfreich,
einen Vortrag mit einem gewissen Akzent zu hören.
Ich hoffe, meine Rede ist gut verständlich.
Laut Zeitplan sollte ich meinen Vortrag pünktlich um 11.30 Uhr oder - wie man auch sagt - um halb 12 beenden,
aber ich werde versuchen, früher fertig zu sein, weil ich an dem Ausflug nach Mainau teilnehmen will.
Ich will aber auch ein Mittagessen haben, und da ich eine Menge an Material abhandeln will,
werde ich meinen Text möglichst zügig vortragen.
Die Quantenmechanik ist ein wunderbares Hilfsmittel für die Arbeit mit der Atom- und Molekularphysik
und der Physik der kondensierten Materie ebenso wie mit vielen Sparten der Chemie.
Sie beruht auf einer kleinen Anzahl axiomatischer Aussagen, die einfach in der Anwendung, aber schwer zu verstehen sind.
Ebenso kann die Quantenmechanik sehr plausibel auch auf elektromagnetische Strahlung
und ihre Interaktion mit Materie angewandt werden.
Viele Probleme der Kernphysik wurden mit Hilfe der Quantenmechanik gelöst
und die Verknüpfung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie war recht erfolgreich.
Aber bei der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Sache immer noch schwierig.
Auch in der Subnuklearphysik und bei Hochenergiephänomenen wird mit der Quantenmechanik gearbeitet,
die Theorie entfernt sich jedoch bei der Behandlung solcher Probleme recht weit von ihren Wurzeln.
Mein vorrangiges Thema bei diesem Vortrag ist die Interpretation der Quantenmechanik auf der atomaren Ebene
und die Anwendung dieser Theorie auf makroskopischere Systeme, zu denen unter anderen auch Messgeräte gehören können.
Der Gedanke, dass die Quantenmechanik auch auf größere Teile des Universums,
etwa auf das Leben und darüber hinaus, anwendbar sein könnte, ist verführerisch.
Ich werde aber versuchen, ihnen zu erläutern, warum man dieser Verführung widerstehen sollte.
Erfahrung und gesunder Menschenverstand lehren uns, dass es schwierig ist, etwas über ein submikroskopisches System zu erfahren.
Intuition ist hier kaum ein verlässlicher Ratgeber.
Wir haben tief verwurzelte Konzepte über die Bedeutung der Realität,
die sicher von Professor Wigner im nächsten Vortrag näher ausgeführt werden.
Ebenso über die Kausalität, die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung.
Und über die Rolle des Menschen als Beobachter natürlicher Phänomene.
All diese Konzepte und Ansätze sind für die Untersuchung der submikroskopischen Welt jedoch völlig ungeeignet.
Es war einfacher, die mathematische Struktur der Quantenmechanik zu entwickeln,
als eine befriedigende Interpretation der Theorie zu formulieren und das Messverfahren zu beschreiben.
Die Quantenmechanik kann sehr hilfreich sein,
wenn wir sie einfach als eine Anzahl rechnerischer Regeln für die Betrachtung einfacher dynamischer Systeme sehen.
So können wir zum Beispiel die Energien stationärer Atomzustände berechnen
und sofort die Verbindung zu spektroskopischen Hochpräzisionsbeobachtungen im letzten Jahrhundert herstellen.
Man braucht sich hier nicht weiter mit der Interpretation der Wellenfunktion zu beschäftigen,
die den Zustand des Systems beschreibt.
Man muss lediglich die Energien stationärer Zustände berechnen.
Für die Untersuchung streuender Prozesse oder strahlender Übergänge zwischen Zuständen
oder der Theorie zur Messung dynamischer Variablen ist jedoch ein besseres Verständnis der Wellenfunktion erforderlich.
In den letzten Jahren habe ich viele Arbeiten über interessante Anwendungen der Quantenmechanik
bei großmaßstäblichen Phänomenen gelesen.
Sie reichen von Problemen in der Physik, der optischen Kommunikationstheorie,
der Molekularbiologie bis hin zur Theorie des gesamten Universums.
Ob all diese Forschungsergebnisse wirklich tragfähig sind, wage ich zu bezweifeln.
Ein Beispiel dafür findet sich in der von Kip Thorne und Carton Caves von Caltech erläuterten
Theorie der zerstörenden Quantenmessung von Gravitationswellen.
Gravitationswellen sind wahrscheinlich noch nicht entdeckt worden, vielleicht aber doch, darüber gehen die Meinungen auseinander.
Viele Forscher arbeiten an immer empfindlicheren Detektoren
und vielleicht werden Gravitationswellen eines Tages wirklich entdeckt.
Das Überschreiten der durch die Quantenmechanik bedingten Einschränkungen bei diesen Messungen
ist Gegenstand der so genannten zerstörungsfreien Quantenmessung.
Diese Arbeit ist Teil eines großen Programms bei Caltech,
mit dem der weltweit empfindlichste Detektor für Gravitationswellen gebaut werden soll.
Schätzungen auf der Grundlage einer intuitiven Anwendung des Unsicherheitsprinzips auf die Versuchsanordnung
setzen eine Quantengrenze beim kleinstmöglichen Signal an, das empfangen werden könnte.
Thorne, Caves und andere suchen nach Methoden zum „Sprengen der Quantengrenze“.
Ihre Arbeiten sind sehr beeindruckend und überzeugend.
Leider für sie oder wohl eher für mich gehen sie von einer Annahme über Quantenmechanik aus, die ich nicht teilen kann.
Kurz gefasst kann man sagen, dass sie eine Reduktion der von Neumann’schen Wellenpakethypothese voraussetzen.
Ähnliche Gedanken finden sich im ersten Kapitel des Buchs von Professor Dirac über Quantenmechanik.
Mit den Aussagen dieser Autoren stimme ich nur teilweise überein,
überhaupt nicht einverstanden bin ich aber mit der Anwendung dieser Hypothesen für die Messung von Gravitationswellen.
Ein Gravitationswellendetektor besteht in der Regel aus einem sehr massiven Zylinder.
Eine seiner Normalmoden mit sehr hohem Q wird durch einen Gravitationsstrahlungs-impuls in Schwingungen versetzt.
Das System besteht, einfach ausgedrückt, aus einem einfachen erzwungenen harmonischen Oszillator
und sollte allen Studenten der Quantenmechanik bestens vertraut sein.
Es stellt sich die Frage, wie man Koordinate und Moment eines so großen Systems messen kann.
Hierfür zeichnet man die zeitabhängige Kurve eines Gravitationswellenimpulses
durch Verfolgen der Bewegung einer Referenzfläche auf dem massiven Oszillator auf.
Es besteht allgemeines Einverständnis darüber, dass die Gravitationsfelder,
die in dieser Forschung untersucht werden sollen, völlig klassisch behandelt werden können.
Man muss sich hier also nicht mit der Quantentheorie der Gravitation beschäftigen,
also keine Diskussion über Gravitone oder andere Quantenaspekte der Gravitation.
Der Detektor muss zahlreiche quantenunabhängige mechanische Störungen verkraften,
aber Thorne und Caves wollen über die Quantengrenzen hinausgehen,
weil dies für die Entdeckung einiger Arten der erwarteten Gravitationsstrahlung erforderlich ist.
Ich denke, dass ihnen dies wahrscheinlich gelingen wird, wenn die von Neumann-Hypothese korrekt ist,
und dass sie scheitern werden, wenn sie nicht zutrifft.
Vielleicht wird in 3 oder 4 Jahren einer dieser Herren hier stehen und über seine Arbeit berichten.
Ein anderes Gebiet, auf dem die Quantenmechanik auf makroskopische Phänomene angewandt wurde,
ist die optische Kommunikationstheorie;
hier können wir zum Beispiel einen Signalgeber wie einen Laser, ein Überträgermedium, vielleicht zwischen Erde und Mond,
und einen Detektor betrachten, der beispielsweise aus einem photoelektrischen Gerät mit der zugehörigen Elektronik bestehen kann.
Die von Neumann’sche Reduktionshypothese spielt eine wesentliche Rolle in dieser Theorie,
deren Grundlagen in den Bell-Telefonlabors entwickelt wurden, in denen viele Menschen an diesem Thema arbeiteten.
Ich glaube aber, dass diese Theorie einen grundsätzlichen Fehler aufweist.
Die Quantenmechnik ist jetzt schon mehr als 50 Jahre oder 55 Jahre alt.
Ich habe über 35 Jahre zu diesem Thema an den Universitäten Columbia, Stanford, Oxford, Yale
und der Universität von Arizona gelehrt.
Meine Vorträge begannen immer mit dem Hinweis, dass man zuerst die Regeln des Rechnens lernen muss,
bevor man die physikalische Bedeutung der Quantenmechanik verstehen kann.
Irgendwie war die Zeit immer zu kurz, als dass ich eine ausführlichere Diskussion
zur Interpretation der Quantenmechanik hätte vortragen können.
Vor 2 Monaten habe ich in Yale eine lange Vortragsreihe gehalten
im Rahmen des Leigh-Page-Programms über die Theorie der Messung in der Quantenmechanik.
Diese Reihe wird irgendwann von der Universität veröffentlicht.
In der kurzen Zeit, die mir heute zur Verfügung steht,
muss ich meine Betrachtung auf eine sehr einfache Form der Quantenmechanik begrenzen
und viele elegante Aspekte der allgemeineren Theorie beiseite lassen.
Ich werde hauptsächlich ein dynamisches System betrachten, bei dem ein Teilchen sich entlang einer Geraden bewegt.
Die dynamischen Variablen, die zu messen sind, sind auf eine Koordinate, zum Beispiel x,
und eine Energie wie zum Beispiel die Hamilton-Energie mit dem Symbol H für Hamilton beschränkt.
Ich werde hauptsächlich die wellenmechanische Formulierung der Quantenmechanik verwenden,
bei der der Zustand eines Systems durch Verkürzen der Wellenfunktion,
die eine Funktion von x und t ist, auf psi von x und t beschrieben wird.
Nehmen wir an, dass wir ein einfaches Problem der klassischen Mechanik zu lösen haben.
Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich unter der Wirkung eines bestimmten konservativen Energiefelds V von x
entlang einer Linie.
Das System wird durch die Masse m und die Form der potentiellen Funktion V von x beschrieben.
Um den Zustand des Systems zu bestimmen, kann man den Teilchen Koordinate x und Geschwindigkeit v zuordnen.
Mit dieser Übung soll meistens der künftige Zustand des Systems zu einem Zeitpunkt größer als Null vorhergesagt werden.
Dafür nutzt man die newtonschen Bewegungsgleichungen unter der Annahme, dass der Anfangszustand zum Zeitpunkt t gleich Null war.
Es sollte klar sein, dass wenn wir die Masse des Teilchens oder die Kraft F von x, die auf das Teilchen wirkt,
irgendwann verändern, ein anderes dynamisches System entsteht
und wieder andere Differential- oder Bewegungsgleichungen zu lösen sind.
Man sollte jederzeit wissen, welches Problem man lösen will.
Dieser Satz birgt viel Wahrheit in sich und ich finde, er wird nicht angemessen beachtet.
Will man noch weiter gehen, kann man Konzepte wie etwa das Moment hinzunehmen,
das das Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit ist, und man kann eine Hamilton-Funktion von x und p einführen.
Die newtonschen Bewegungsgleichungen werden durch Hamilton-Gleichungen ersetzt,
die auf dem neuen Diagramm - glaube ich - ganz unten zu sehen sind.
Ich möchte jetzt die entsprechende Aufgabenstellung in der Quantenmechanik betrachten.
Ich nehme zuerst die Schrödinger-Gleichung für ein vollständig isoliertes System.
Diese Gleichung ist vielleicht nicht „in Stein gemeißelt“, aber ich werde sie trotzdem wörtlich anwenden.
Ich habe schon Studenten gesehen, die diese Gleichung auf ihre T-Shirts gedruckt hatten.
Stellen wir uns einfach mal vor, Moses hätte diese Gleichung auf einem Stein im Berg Sinai gefunden.
Nun verstand er zwar den Sinn von Du sollst nicht töten und den anderen Geboten,
aber nicht diese merkwürdige Gleichung mit ihren sonderbaren Symbolen.
Und er wollte sein Volk nicht mit diesem komischen Fund verwirren.
So mussten wir also viele Tausend Jahre warten, bis die Erleuchtung wieder über uns kam.
Anders als Moses wissen wir heute wahrscheinlich, was H Strich ist,
die von Dirac um einen Faktor 1 über 2 pi verbesserte Planck’sche Konstante, I, die Quadratwurzel aus minus 1 und t für die Zeit.
Der Hamilton-Operator H ist aus der klassischen Hamilton-Funktion H von x und p
und durch Ersetzen des Moments p durch einen Differentialoperator abgeleitet, H Strich über I, D mal dx,
manchmal wird auch eine teilweise Ableitungsfunktion benutzt.
Was in dieser Gleichung schwer zu verstehen ist, ist die Bedeutung der Wellenfunktion psi von x und t.
Der Begriff der Wellenfunktion stammt aus den klassischen Feldtheorien,
im Gegensatz zu diesen gibt es aber keine direkte physikalische Interpretation der Schrödinger-Wellenfunktion.
Stattdessen werden einige Regeln angenommen,
um die Wellenfunktion für die Berechnung wichtiger physikalischer Größen zu verwenden.
Dazu gehört die Wahrscheinlichkeitsdichte W von x und t,
die das absolute Quadrat der Wellenfunktion ist, und der erwartete Wert einer dynamischen Größe F von x und p;
natürlich könnte man viele dynamische Größen betrachten, hier wird jedoch eine allgemeine Größe angenommen.
Berechnet wird diese durch die Auswertung … (unverständlich 16.25)
bestehend aus einer Sandwichanordnung mit 2 Wellenfunktionen und dazwischen dem Operator F.
Der Ansatz, dass das absolute Quadrat einer Wellenfunktion als eine Wahrscheinlichkeitsdichte betrachtet werden kann,
stammt aus der Arbeit von Max Born über die Kollisionstheorie
und aus der allgemeineren Formulierung von Dirac über die Quantenmechanik als Brücke zwischen Matrix und Wellenmechanik.
Ich will jetzt einige Beispiele näher betrachten.
Zuerst nehmen wir die Wellenfunktion als eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators H von x und p an.
Und jetzt sollten wir die nächste Grafik ansehen.
Diese Gleichung oben stellt ein Eigenwertproblem dar und diese beschreibt einen stationären Zustand Un mit einer Energie,
der stationären Zustandsenergie En.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte für diesen Zustand ist durch W gegeben,
das dann als Wn dargestellt wird, das ist das absolute Quadrat von Un von x und unabhängig von der Zeit.
Daher wird dies als stationärer Zustand bezeichnet.
Die Wellenfunktion wird als normiert angenommen,
so dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Entdeckung des Elektrons gleich 1 ist.
Wird der Operator H für diesen Zustand gemessen, so findet man bei der Messung der Energie dieses Zustands mit Sicherheit Wert En.
Ich stelle das jetzt so fest, aber damit ist noch nicht erklärt, wie dies möglich ist.
Dieses Thema ist aber, wie Sie wissen, zum Teil in Kursen über Quantenphysik enthalten.
Immer wenn eine andere dynamische Größe wie zum Beispiel x gemessen wird, kann man einen anderen Messwert erhalten
und nur wenn eine Anzahl Messungen untersucht oder wenn eine gewisse Anzahl an Messungen durchgeführt wurde,
erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte Wn von x, die mit dieser Gleichung berechnet werden kann.
Als zweiten Fall wollen wir eine Wellenfunktion psi von x betrachten;
was Sie hier nicht lesen können, steht für die Variable t mit tiefgestelltem m für die Zeit der Messung.
Diese Wellenfunktion ist also eine Funktion von x und t für die Zeit der Messung
und dies wird als lineare Kombination von 2 der stationären Zustände des Atoms angenommen,
U1 und U2 sind Wellenfunktionen mit stationären Zuständen für 2 verschiedene Energieeigenwerte E1 und E2,
die als orthogonal dargestellt werden können, wenn Sie wissen, was das bedeutet, das ist aber nicht notwendig.
Wenn die Wellenfunktionen normiert sind, ist auch die Wellenfunktion von psi normiert,
wenn die komplexen Koeffizienten C1 und C2 in einer Weise auf Eins normiert sind,
die hier nicht zu sehen ist, aber die Quadratsumme von C1 oder C2 muss dann Eins sein.
Wird die dynamische Variable H wiederholt für ein System mit dieser Wellenfunktion gemessen,
so erhält man manchmal E1 und manchmal E2.
Welches Ergebnis erzielt wird, ist nicht vorhersagbar.
Die relativen Wahrscheinlichkeiten, mit denen man die 2 Energieeigenwerte als Messergebnis erhält,
ergeben sich aus dem Absolutquadrat von Größe C1 und dem Absolutquadrat von C2.
Ich habe Ihnen jetzt etwas über quantenmechanische Messtheorie vermittelt und ich stimme Ihnen zu,
wenn Sie das alles sehr vage finden.
Wir reden über Messungen, aber wir wissen nicht, wie sie durchzuführen sind.
Reden ist billig, aber man erhält nie mehr als das, wofür man bezahlt.
Meine Einstellung zu dieser Art von Problemen ist sicher durch den Kontakt
mit der Forschungs- und Experimentalphysik beeinflusst,
in der einzelne hochisolierte Atomzustände durch Mikrowellen oder optische Frequenzfelder präzise bestimmt werden.
In der Diskussion um die Messung dynamischer Variablen eines physikalischen Systems
möchte ich genau in der Sprache der Quantentheorie darlegen, welches Gerät für die Aufgabe benötigt wird
und wie es bedient wird, zumindest im Prinzip.
Große Gesten, Black-Box-Konzepte oder formologische Ansätze befriedigen mich nicht.
Mein Ausgangspunkt ist die Schrödinger-Gleichung für vollständig isolierte Systeme,
die wir bereits in einem früheren Bild gesehen haben.
Hauptzweck der Wellengleichung ist es, den künftigen Zustand des Systems zu berechnen, also psi von t,
ausgehend vom Anfangszustand psi von Null eines Systems mit einem bestimmten Hamilton-Operator,
der üblicherweise aus der Summierung einer kinetischen und einer potentiellen Energie besteht.
Als erstes muss dafür unser System in den gewünschten Ausgangszustand psi von Null gebracht werden,
dies wird als die Präparation des Ausgangszustands bezeichnet.
Dann kann sich die Wellenfunktion nach der Schrödinger-Gleichung entwickeln,
bis zu einer Zeit tm, wenn eine Messung erfolgen muss.
Zum Problem der Zustandspräparation habe ich bereits 1968 einen Vortrag gehalten,
wahrscheinlich hat niemand von Ihnen ihn gehört, daher werde ich einfach des Ergebnis zusammenfassen,
nämlich dass man das System in jedem beliebigen Zustand starten kann.
Nicht alle quantenmechanischen Systeme, auch isolierte, lassen sich mit einer Wellenfunktion beschreiben.
Möglicherweise kennen wir die anfängliche Wellenfunktion nicht.
Wir können dann bestenfalls annehmen, dass die Wellenfunktion eine von mehreren möglichen Wellenfunktion ist
und das Vorzeichen der Wahrscheinlichkeitsverteilung der verschiedenen Möglichkeiten annehmen.
Mit Hilfe der Wellenfunktion würde man dann untersuchen, was mit jeder dieser Wellenfunktionen geschieht
und man würde Ergebnisse durch Mittelung über die gesamte Wellenfunktion erhalten.
Die Theorie würde mit dieser Vorgehensweise einen Großteil ihrer Kausalität verlieren, aber manchmal geht es nicht anders.
Ist eine Wellenfunktionsbeschreibung möglich, spricht man von einem reinen Fall, sonst von einem Gemisch.
Die Theorie nutzt meist Dichtematrices an Stelle von Wellenfunktionen für die erforderliche Beweisführung.
Man kann jedoch auf die Dichtematrices verzichten, wenn man mit mehreren Wellenfunktionen arbeitet.
Nach der Umwandlung in ein Gemisch kann man den reinen Fall niemals ohne Einsatz eines Filterprozesses wiederherstellen;
dies entspricht jedoch der Herstellung eines völlig neuen Zustands an Stelle einer Messung im ursprünglichen System,
auf das wir uns eigentlich hätten konzentrieren sollen.
Die Wellengleichung gilt nur, wenn im System H gleich t plus v nach Hamilton erfüllt ist,
aber wir müssen eine gewisse Störung des Systems zulassen, wenn eine Beobachtung möglich sein soll,
zum Beispiel die Messung einer Größe.
Jede Störung verändert jedoch das dynamische System
und daher müssen wir eine andere Schrödinger-Gleichung für die Beschreibung des Systems während der Messung heranziehen.
Die Quantenmechanik erlaubt - ich würde sagen - maximal 3 Arten von Störungen.
Die erste entsteht durch die Anwendung einer klassisch beschreibbaren externen Kraft
und wird mit einem zusätzlichen Element in der Hamilton-Formel berücksichtigt.
Wir können ein externes elektrisches oder magnetisches Feld anlegen und die Felder klassisch behandeln.
Die zweite Störung würde durch die dynamische Kopplung des Systems mit einem weiteren quantenmechanischen System entstehen,
aus der ein größeres kombiniertes System entsteht, das von da an das System wäre, das wir untersuchen müssen.
Die dritte Störung würde der Eingriff des „Beobachters“ sein,
der durch die Untersuchung des Systems oder die Betrachtung eines Messgeräts,
das zumindest eine Zeit lang Teil eines größeren Systems war, etwas über das System erfahren will.
Im zweiten Fall muss das zusätzliche System in Form neuer Variablen definiert werden, nicht x und p, sondern vielleicht X und P;
dieser Fall ist am einfachsten zu betrachten,
wenn das zusätzliche System sich zum Zeitpunkt der Verbindung in einem bekannten Quantenzustand befindet.
Das vergrößerte, aber immer noch isolierte System ist dann das zu betrachtende System und seine Schrödinger-Gleichung
kann für die Verfolgung seiner zeitlichen Entwicklung angewandt werden.
Der dritte Fall wird später betrachtet, aber ich möchte vorab bemerken,
dass meiner Ansicht nach ein lebender „Beobachter“ kein geeignetes Objekt für die Anwendung der Hamilton-Gleichung ist,
ob in der Quantenmechanik oder in der klassischen Physik.
Fälle 2 und 3 spielen in der Theorie quantenmechanischer Messungen eine wesentliche Rolle.
In Fall 3 tritt ein Beobachter in Interaktion mit dem System.
Von Neumann postulierte die so genannte Reduktion der Wellenpakethypothese
einzig für die Veränderung der Wellenfunktion in einem solchen Fall.
Dabei nahm er an, dass die Wellenfunktion des Systems zu der den Messgrößen angemessenen Eigenfunktion kollabiert,
wenn ein Beobachter ein Messergebnis, sagen wir einen maximalen Messwert, erhält.
Aus den später ausgeführten Gründen glaube ich nicht, dass von Neumann’s Annahme für das Verständnis der Quantenmechanik
und die Diskussion über Gravitionswellendetektoren notwendig oder auch nur hilfreich ist.
Man kann stattdessen versuchen, eine quantenmechanische Beschreibung des kombinierten Systems zu erstellen,
bestehend aus dem Messgerät in einem bekannten Quantenzustand,
das in Interaktion mit dem ursprünglich betrachteten System steht, und dann wie in Fall 2 für ein dynamisches Problem fortfahren.
Solange die 2 interagierenden Systeme in dem einen isolierten, kombinierten System vereint sind,
werden sie mit einer Wellenfunktion beschrieben.
Um das Messgerät zu benutzen, müssen wir es aber vom ursprünglichen System trennen
und nach so etwas wie einer Zeigerstellung suchen,
von der aus wir hoffentlich Schlüsse über den Zustand des ursprünglichen Systems ziehen können.
Durch die Trennung des vereinten Systems in 2 Teile
wird keines der getrennten Systeme künftig mehr eine bestimmte Wellenfunktion haben.
Jedes System wird ein inkohärentes Gemisch der früheren reinen Fälle des Einzelsystems annehmen.
Man kann dies als Folge der unkontrollierbaren Interaktion zwischen den 2 Teilen des Systems in der Zeit,
in der sie verbunden waren, interpretieren.
Dies gleicht dem, was in Fall 1 geschieht, wenn in einem Einzelsystem eine beliebige Störung verursacht wird.
Bei einem Einzelsystem mit einer bekannten Störung würde das System im Zustand eines reinen Falls bleiben,
bei einer unbekannten zufälligen Störung würde man jedoch ein Ensemble benötigen und man hätte ein Gemisch.
Einige Autoren zu diesem Thema nahmen an, dass das Messsystem nach der Trennung
eine definite Wellenfunktion mit einer definiten Phasenbeziehung zwischen verschiedenen Komponenten aufweisen würde,
die sich in der Gesamtwellenfunktion summieren.
Man hätte dann die unerwünschte Situation eines im Grunde klassischen Messgeräts in einem Zustand,
der mit einer definiten Superposition mehrerer Zeigerzustände dargestellt werden könnte.
Durch die Verlagerung der Betrachtung vom ursprünglichen auf das kombinierte System
und dann auf das bloße Messgerät wird die Notwendigkeit, den Messprozess genau zu verstehen
Letztlich würde man immer größere Systeme wie das elektromagnetische Feld optischer Strahlung,
die Retina und der Sehnerv des Auges, das Gehirn, den Mechanismus des Bewusstseins
und vielleicht sogar das gesamte Universum betrachten wollen.
Um die Lage eines Elektrons in einem Atom zu messen, habe ich für meinen Vortrag 1968 ein Verfahren ausgewählt,
das die quantenmechanische Transkription eines klassischen Verfahrens darstellt,
mit dem auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Fliege in einem Raum bestimmt werden könnte.
Man würde in einem kleinen Bereich um Punkt X von M schnell in die Hände klatschen und in einer folgenden,
aber nicht quantenmechanischen Operation feststellen, ob man ein Elektron oder eine Fliege erwischt hat.
Den Prozess würde man dann viele Male mit ebenso präparierten Atomen wiederholen,
um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten.
Dies ist ein eher destruktives Verfahren, da die Wellenfunktion des Elektrons gestört wird,
auch wenn das Elektron nicht gefunden wird.
Wird ein Elektron gefunden oder gefangen, hat man den Zustand eines genau lokalisierten Teilchens präpariert.
Das hilft aber in keiner Weise bei der Lösung des Ausgangsproblems.
In den meisten Fällen wird kein Elektron gefangen,
aber seine Wellenfunktion im Raum wird trotzdem durch den Versuch stark beeinflusst.
Genau hier stößt die Reduktionshypothese an ihre Grenze.
Wird ein Elektron gefangen, so ist sein Zustand gut bekannt.
Dies könnte man vielleicht als Bestätigung der Reduktionshypothese sehen.
Der Zustand entspricht jedoch einem anderen Problem als dem, das wir betrachten wollten.
Wir wollten uns mit der Präparation beschäftigen, nicht mit der Messung.
Wird das Elektron nicht gefangen, ist die künftige Entwicklung der Wellenfunktion gestört.
Und wenn wir damit Gravitationswellen entdecken wollen, dann haben wir ein Problem.
Betrachtet man die Entdeckung von Gravitationswellen aus dieser Sicht, ergeben sich höchst unerwünschte Komplikationen.
Ich sollte erwähnen, dass von Neumann in seinem Buch von 1933 „Mathematical Foundations of Quantum Mechanics“
ein ganz anderes Verfahren für die Messung einer Positionskoordinate beschrieb, das gegenüber dem,
das ich gerade beschrieben habe, den Vorteil hatte, dass es ein herkömmliches Messgerät zuverlässiger modellierte.
Das betrachtete System hatte die konischen Variablen x und p, das Messsystem hatte die Variablen X und P.
Die Interaktion in Form der Hamilton-Funktion wurde als proportional zum Produkt aus x und P angenommen,
was in der Praxis sehr schwierig zu realisieren wäre, aber das würde mich nicht stören.
Was mich viel mehr stört, ist die Tatsache,
dass das Verfahren außer in extremen Grenzfällen die Umwandlung der Wellenfunktion in ein statistisches Gemisch nicht verhindert.
Daher ist die Hypothese falsch, dies wurde aber nicht erkannt.
Betrachten wir jetzt ein System, das zum Zeitpunkt der Messung tm
durch die Superpositionswellenfunktion für 2 Zustände beschrieben wird, die wir hier sehen.
Später entwickelt sich die Wellenfunktion nach der Schrödinger-Gleichung zu einer solchen Wellenfunktion,
die sich von der Kurve darüber durch 2 Exponentialfaktoren unterscheidet, die eine absolute Größe von1 haben.
Eine Phase, die von der nach der Messung vergangenen Zeit abhängt, t minus tm wäre dann die vergangene Zeit.
Und beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeiten, das Elektron in Zustand 1 oder 2 zu finden,
durch die gleichen Gleichungen wie zuvor angegeben und unabhängig von der Zeit sind, weil die Exponentialfaktoren modular 1 sind.
Diese Operation muss viele Male wiederholt werden, um die Werte der einzelnen Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Die verschiedenen Teile des Ganzen können unterschiedliche Wartezeiten haben,
diese würden ganz selbstverständlich ablaufen, während wir überlegen, wie wir ihre Energiewerte bestimmen können.
Und dies würde natürlich den reinen Fall der Wellenfunktion in ein statistisches Gemisch von Wellenfunktionen
mit zufälligen Phasen verwandeln, die mit einer Dichtematrix an Stelle einer Wellenfunktion reinen Falls beschrieben werden würde.
Ich muss erläutern, auf welche Weise wir feststellen können, ob das Atom in Zustand 1 oder 2 ist;
dafür braucht man ein Stern-Gerlach-Gerät, das man sich als eine Art Koppler mit einem Messsystem vorstellen kann,
diese Diskussion ist ja ausreichend bekannt.
Ich will das jetzt nicht vertiefen, bis die Zeit für meinen Vortrag abgelaufen ist.
Ich möchte Ihnen nur zum Schluss eine Feststellung mitgeben:
Wenn man die Bewegung eines massiven Zylinders von makroskopischer Größe untersucht, ist es extrem schwierig,
die Wirkung der Hamilton-Funktion auf das System zu ermitteln.
Und wenn man eine Messung vornimmt,
muss mit absoluter Präzision die Einführung zusätzlicher Variablen in die Hamilton-Gleichung berücksichtigt werden.
Was auch immer man tut, jegliche Kenntnis über die Wellenfunktion des Oszillators,
mit der man vielleicht begonnen hatte, geht dabei verloren;
während der Messprozess immer weiterläuft, um die Entwicklung der Gravitationswelle zu beobachten,
müsste man daher berücksichtigen, dass die Wellenfunktion des untersuchten Systems sich immer mehr von einem reinen Fall entfernt.
Die Berechnung müsste also noch einmal ganz neu durchgeführt werden.
Die Berechnung von Caves und Thorne beruhte darauf, dass sie nach jeder kleinen Messung feststellen konnten,
dass die Wellenfunktion zu dem Wert kollabiert war, den sie gehabt hätte, wenn das System in einem Eigenzustand gewesen wäre.
Die Verfahren, um ein System in einen energetischen Eigenzustand zu bringen,
sind jedoch so komplex, dass ihnen dies nie gelingen würde.
Um die Verfahren richtig durchzuführen, die die Quantenmechanik erfordert,
müssten sie über eine gewisse Anzahl an Gravitationswellendetektoren verfügen und hoffen,
dass tatsächlich auch Gravitationswellen in das System einfallen.
Und eine Gravitationswelle muss man packen, wenn sie da ist, denn man kann nicht sicher sein,
dass man beim nächsten Mal die gleiche Art von Wellen empfängt.
Fazit ist, dass sie die Quantengrenze nicht treffen werden,
sondern einfach warten müssen, bis es geschieht und Ihnen dann erzählen, wie sie es gemacht haben.
Applaus.
