Alfred Kastler

What led Max Planck to write E = h . ν? (German Presentation)

Category: Lectures

Date: 4 July 1973

Duration: 32 min

Quality: HD MD SD

Subtitles: EN DE

Alfred  Kastler (1973) - What led Max Planck to write E = h . ν? (German Presentation)

For this relatively short talk, his second at the Lindau Nobel Laureate Meetings, Alfred Kastler chose to give a detailed historical overview of a development in physics of fundamental interest to his young audience

I have nothing new to present to my esteemed colleagues. In selecting my topic, I was thinking more of the students who are now also participating in large numbers. You are the ones who, so to speak, learned the quantum theory at your mother's knee. You know very well what the laws of the photoelectric effect are, and those of the Compton Effect, where the light quanta become almost palpably visible. And perhaps it is hard for you to understand how difficult it was, back when the laws of the photoelectric effect were not yet known, and the Compton Effect was unheard of, to find these quanta in blackbody radiation, where they are much more hidden, and what a mighty deed Planck achieved when he found these quanta in just this blackbody radiation. It was, as he said himself in his memoirs, a tortuous path. And I would like to show you how this path can be understood, at least psychologically. In Planck's scientific development, two different periods can be discerned, a very long period in which he was a thermodynamicist and followed in the footsteps of Rudolf Clausius, Rudolf Clausius who introduced the concept of entropy to physics in 1850, and then, very much at the end, a short period where he had turned to the Boltzmann way of thinking and attempted to transfer the concept of probability to blackbody radiation. Perhaps we would like to see this, in order to save time, by viewing slides. So, we start with thermodynamics and view a system's internal energy as a function of the entropy S and the volume W. We now know that all of these three variables are so-called extensive quantities, so that the property of a total system is the additive combination of the properties of the subsystems. The differential of the entropy or the increase of energy, we can view, as we know, as an increase of heat and an increase of work. And then, we express the second principle, the Carnot Principle by, like Clausius, setting dQ = TdS, where dS is the total differential of the entropy. And so we see that the absolute temperature T appears as the partial differential of the energy with respect to the entropy. T = dU/dS, partial differential taken at a constant volume. Now we will specialize by moving from the energy and entropy of the total system to a sub-system, for a unit volume because then we can introduce the entropy densities. The small s is the entropy density, which is the entropy for the unit volume, and the small u is the energy density, the energy for the unit volume. And then we can write this same formula, we can also invert it, dS/du (W) = T - 1, with small letters we write s/du = T - 1. But we can specialize even more by now also, just as Planck did, applying this formula to blackbody radiation and then also we can spectrally decompose the energy and the entropy of the blackbody radiation. And then we consider the unit of the frequency interval. And in this way then introduce sNu, the spectral density per frequency interval, and uNu, the spectral energy density per frequency interval, and then we can also write dSNu/duNu always = T - 1. But we can specialize even more, as the second picture will show. We know that in the year 1900, early in the year 1900, Lord Rayleigh showed how to count the standing waves in a cavity. You know that it is very easy for a cavity with a cube shape, you have done this as an exercise, and then Lord Rayleigh could show that for the unit volume, and also for the unit frequency interval, the number of standing waves in the cavity is given by the value g = 8Pi*Nu^2 - Nu is the frequency - divided by c^3 - c is the speed of light. And then we can also introduce an average energy for each standing wave in the cavity, which we call u1, and an average entropy for each of these waves. And then we can write uNu = gu1 and SNu = g*S1, and can now again write the fundamental formula for the average entropy and the average energy of such a standing wave dS1/du1 = T - 1. And so, Max Planck was not in the habit of operating with the standing waves in the cavity, instead he introduced the so-called Planck oscillator in that, based on the Kirchhoff Law, he knew that the thermal balance of the blackbody radiation does not depend on the nature of the walls, but instead only on the temperature. So he introduced very simple walls that were covered with harmonic oscillators of various frequencies Nu, and he could then show that these equations were not only the same for the standing waves in the cavity itself, but also for each harmonic oscillator in the wall, meaning with the same g, so that the average energy of such a harmonic oscillator is equal to the average energy of a Rayleigh standing wave. This shows us, incidentally, that we can treat these standing waves of the vacuum as linear oscillators. And then we can, and I want to do this, write this fundamental expression on the board, dS1/du1 or dS1/dE Or what we can also write is dS1 = T - 1 dE. And now, what was characteristic of Planck's considerations, was that he now attempted to calculate the entropy of the radiation, not as a function of the temperature, but instead as a function of the average energy of the oscillator, or what amounts to the same thing, the average energy of the standing wave in the cavity. And now the next picture shows how he worked from Wien's Displacement Law, which Wien established in the year 1894, where he was able to show that the average energy, that the energy density of the blackbody radiation must have this form. As we know, he discovered this by applying the Doppler principle to the cavity, or that u1 or E would have to = Nu, multiplied by a certain function of Nu/T. Now, we can invert this and say Nu/T must be a function of E/Nu. Nu/T a function of E/Nu. And if we now write this fundamental equation again, dS1 = T - 1 dE, here we can multiply by Nu by dividing Nu/T here by Nu, we have this expression, and because Nu/T must be a function of E/Nu, we see that the entropy S1 must be a function of only the variable E/Nu. Consequently S1 must have the form of some function of E/Nu, and I also want to write this on the board: S1 must be a function of E/Nu. I would also like to write the value of g on the board, which is the number of standing waves per frequency interval and per unit volume. Now we come to the next picture. In the year 1896 Wien specialised his law and proposed to represent the blackbody radiation by such a function, an exponential function. And we know that this was very well confirmed by the measurements in the visible range and in the ultraviolet range. So we can then write for E and u1 in this form: Alpha(prime) Nu exponential, always from this expression, where Alpha(prime) must be = Alpha * c^3 = 8 Pi. And if we now again apply the fundamental formula here, dS1/dE = T - 1, we can write 1/T, if we here explicitly calculate the 1/T by taking the logarithm, Excuse me, that is of course a natural logarithm. In France we are in the habit of writing it so, not "ln". Now we can differentiate these relationships and obtain the second differential d2S1/dE2 = -1/Beta Nu1/E, or its reciprocal value, which Planck called "R", which is a linear function of the average energy of the oscillator if or when Wien's law is valid. Now it was just in the year 1900 that newer measurements by Rubens and Kurlbaum with residual rays in the far infrared showed that these measurements did not correspond to Wien's Law. And that it was more the case that the average density, the radiation density, could not be represented by an exponential function in a function of 1/T, but instead simply increased linearly with the absolute temperature T. This was shown by the work of Rubens and Kurlbaum. But at the same time, as the next picture shows, Rayleigh had shown, also early in 1900, by taking the equipartition theorem, by carrying Boltzmann's classic equipartition theorem over to radiation, that it should be that E = kT and in this case, if we now again set 1/T = k/E = dS1/dE and calculate the second differential, we see that there, where the Rayleigh-Jeans Law is valid for small frequencies, this expression must depend quadratically on the energy, and not linearly. We want to look at this together again in the next picture. So for large frequencies or small wavelengths, there where the energy of the radiation is small, this law is valid. And for the large wavelengths, there where the energy of the radiation is large, as this picture shows, this law is valid. Now Planck's approach was in attempting to combine the two laws. This means to find a law that results in Wien's Law for small wavelengths, as a limiting law, and in the Rayleigh-Jeans Law for large wavelengths. And in order to do this, he added, his approach was to start with this reciprocal value, in that he added the two terms, the linear term and the quadratic term. But at that time, that was a mathematical trick for him. Not until much later, ten years later, was Einstein able to clarify and show the physical meaning of this expression, that this expression has a physical meaning of the fluctuation of the radiation field, namely the first term is caused by the quantum nature and the second term by the wave nature of light. Now, this can also be written as 1/BetaNu multiplied by the difference of these two fractions, and then one can attempt to integrate it, which we will then do in the next picture. So, we have this function. And for Planck the integration resulted in just the logarithms, the natural logarithms, of E = kBetaNu, and an integration constant log Gamma, that had to be determined. Now, this can be written like this. And this, dS1/dE, now again has to be, according to the fundamental formula, Planck's formula here, = 1/T. And then one can now calculate this from here from E as a function of Nu and of T. And Planck stopped with this formula, which already looks very slightly like Planck's formula. Now we have only three constants, the Gamma, the integration constant the k, and the Beta. Now, in order to determine these constants, Planck used the two limiting laws. The next picture shows this. For a small Nu/T, this law must result in the Rayleigh Law, the Rayleigh Limiting Law, and that can only be possible, the exponent Epsilon then becomes = 1 + Epsilon, and that can only be possible if the Gamma is made = 1 or the log Gamma = 0. And at the other end of the spectral range for large Nu/T we must obtain Wien's law, excuse me, there is a Nu missing here, Alpha(prime) Nu exponential. And in order to obtain this, it appears that kBeta must be = Alpha(prime). One can consequently then replace the Beta with Alpha(prime)/k and finally obtain for the average energy of the oscillator or of the standing wave in the cavity this Plank's law, or then for the average energy, by multiplying by the g factor, this here, and this is Planck's law, which was then confirmed by all measurements over time. But Planck's work was not done yet, because his objective after all was always to find an expression for the entropy S1. And now the next picture shows this. Starting with this relationship, which was just up on the screen, but where we now set log Gamma = 0 and replace the Beta with k/Alpha (prime), this will now be integrated a second time and now reflects the average energy per oscillator by this function, where now again an integration constant comes into play, but that can be determined now because after all we know, it is up here on the board again, that the S1 must be a function only of E/mu. And that determines here then the integration constant and Planck entered this value for S1, where we see that S1 really must be a function of E/Nu or, better, of E/Alpha(prime) Nu. And this is the formula that Planck obtained from thermodynamics. But he was not at all satisfied with this derivation, because he himself said, "That interpolation was a lucky guess." And now he tried to capture the physical meaning of this formula. And then he turned to Boltzmann's way of thinking, which he had before always viewed very sceptically, or dismissively, because he wanted to understand entropy as a rigorous quantity and not as a probability quantity. But now he applied Boltzmann's way of thinking. And the next picture shows you his problem. Boltzmann had shown how one can calculate the probability of a distribution, namely that then one must deal with a content and a container, one must deal with a content and with a container. For Boltzmann, the content was a gas and the container was Maxwell's velocity space. And for Boltzmann, this velocity space had a continuous structure, but for him the gas was composed of molecules. But in his time this was not so obvious, because we know that Boltzmann had to fight a difficult battle against Ostwald and against Ernst Mach, who did not want to believe in molecules. But for Boltzmann, the gas was already composed of molecules, which means that the content had a quantum structure, but the container did not. And what did Boltzmann do now? In order to bring about a distribution, he also had to divide the container into elements of finite dimensions of the velocity space, meaning small elements, but finite elements. And these elements he called the cells, the cells of the velocity space. And then he was able to calculate a number of complexions, meaning a probability. But we do not want to look closer at Boltzmann's problems, and instead we turn now to Planck's problem. For Planck, the content was the radiation energy and preliminarily it had a continuous structure. And the container for him was the cavity. And Rayleigh had shown that the cavity oscillations consist of the standing waves and had shown how one can count these standing waves, how one can determine the g. And so for Planck, this cavity already had a discrete structure. And in order now also to be able to produce a distribution of radiation energy over these modes of the standing waves or the oscillators, he first had to do the opposite of Boltzmann. He had to make the content discrete. And so he introduced what he called "the radiation energy element", which he called Epsilon. And the next picture now shows, if we see the unit volume and the unit of frequency interval like this, we have the energy uNu, and this must be = g times the average energy of the oscillators or of the standing waves. But if we give the energy a quantum structure and the Epsilon, the units that are the elements of this radiation energy, we can also write uNu = N * Epsilon - N quanta of energy particles -, so that we have the relationship N/g = g/Epsilon = n. And now Planck searched for a formula that reflected the probability of this distribution and he was aware that these energy elements of the radiation are indistinguishable. So he did not turn to the Boltzmann formula, but instead took from combination analysis this formula, that we know today as the formula of Bose-Einstein statistics. But this formula is found in the paper from Planck from the year 1900. Working from this formula, and because N and g are large numbers, he could use Stirling's Approximation and write log WNu of the probability = g1 + n log 1+n-1, so that is now very familiar to you due to Bose statistics, and then use the Boltzmann postulate, namely the bridge between thermodynamics and probability considerations, in that he, following Boltzmann, set the logarithm of the probability proportional to the thermodynamic entropy. And actually Planck was the first to write out this formula, as he himself mentioned, Boltzmann never wrote it, and this Boltzmann constant k was introduced by Planck in this way. If sNu is the entropy of the unit volume, S1 is the entropy of the oscillator or of the standing wave, here we must divide by g, by the number of standing waves in the unit volume, and then finally obtain in this way the formula for the entropy of the radiation: S1 = k. And if one now compares the two formulas - the next picture please - the formula that resulted from thermodynamics was this one here, the formula that resulted from the Boltzmann probability considerations is this one. If we now replace the n by Epsilon and if one now, as Planck now compared these two formulas, he saw that the element of the radiation energy Epsilon had to be proportional to the frequency. Consequently Epsilon = Alpha(prime) Nu, and from now on he named the Alpha(prime) by the letter h, and that was then the famous Planck's action quantum, that one always views perhaps as erg*seconds or perhaps to be more precise, erg per unit of the frequency interval, erg per Hertz. And with the available measurement results, Planck was then able to calculate these numerical values for the h, that really comes out finite, small, but finite, and also for the k. And what is remarkable is that one not only obtains information in this way through the study of blackbody radiation alone, obtains information about the quantum structure of radiation energy, but also about the quantum structure of matter. One obtains not only the h, but also the k and from the k value, which is equal to the gas constant R divided by Loschmidt's number, Planck was able also to calculate Loschmidt's number and then also the elementary electrical charge. And he was very satisfied when a few years later, Rutherford obtained the same value for the elementary charge by counting the alpha rays. And at that time, those were the most precise values that were known at that time. We know that since then that has changed somewhat. I would now like to conclude, we can say the first formula, the formula from thermodynamics that is above, that Planck reported it, I believe it was on 19 October 1900. And then, on 14 December 1900, he announced this formula and this is where he introduced the elementary quantum. Traditionally, it is said that Planck is the father of quantum theory, and the child was born on the 14th of December. I would like to change this just a bit, without diminishing the great merit of Planck, but I think that every child should have a father and a mother. I would like to say that one hundred years ago, when Boltzmann introduced the cells of the velocity space, there he accomplished a quantum act. This was already a quantification. However, at that time he could not anticipate that the actual physical meaning of the cells was not the cells of the velocity space, but instead of the phase space, the phase space was first introduced by Gibbs, and that these cells of the phase space had very particular dimensions that are determined by Planck's action quantum. I would consequently like to say that Boltzmann contributed to the quantum theory with a very small spermatozoid. And I would like to say that Planck was the mother who then gave birth to the child on 14 December 1900. Perhaps you will allow me to show three portraits in conclusion: Here the grandfather Clausius, the father Boltzmann, with a fine beard, and Max Planck. Thank you.

Ich werde den werten Herren Kollegen nichts Neues bringen. Ich habe bei der Wahl des Themas eher an die Herren und Damen Studenten gedacht, die jetzt auch zahlreich teilnehmen. Sie sind ja, Sie haben ja sozusagen die Quantentheorie mit der Muttermilch eingesogen. Sie wissen es sehr gut, was die Gesetze des Photoelektrischen Effektes sind und des Compton-Effektes, wo ja da die Lichtquanten fast handgreiflich zur Sicht kommen. Und es ist Ihnen vielleicht schwer zu verstehen, wie, als man die Gesetze des Photoelektrischen Effektes noch nicht kannte und noch nichts vom Compton-Effekt wusste, wie schwierig es war, in der schwarzen Strahlung diese Quanten zu finden, wo sie viel versteckter vorhanden sind und welche Großtat es war von Planck, eben in dieser schwarzen Strahlung diese Quanten zu finden. Es war, wie er selbst sagt in seinen Erinnerungen, ein verschlungener Weg. Und ich möchte Ihnen zeigen doch, wie man diesen Weg wenigstens psychologisch verstehen kann. Man kann in Plancks wissenschaftlichem Werdegang zwei Perioden unterscheiden, eine sehr lange Periode, wo er Thermodynamiker war und den Fußstapfen von Rudolf Clausius folgte, Rudolf Clausius, der 1850 in die Physik den Begriff der Entropie hineingebracht hatte, und dann ganz am Ende eine kurze Periode, wo er sich an Boltzmann'sche Gedankengänge wandte und versuchte, den Begriff der Wahrscheinlichkeit auf die schwarze Strahlung zu übertragen. Vielleicht möchten wir das sehen, damit wir Zeit sparen, an Hand von Lichtbildern. Also, wir gehen von der Thermodynamik aus und sehen die innere Energieuhr eines Systems an als eine Funktion der Entropie S und des Volumens W. Wir wissen nun, dass alle diese drei Variablen so genannte extensive Größen sind, also dass die Größe eines Gesamtsystems sich additiv zusammensetzt aus den Größen der Teilsysteme. Das Differential der Entropie, also der Zuwachs der Energie, können wir, wie wir wissen, ansehen als einen Zuwachs von Wärme und ein Zuwachs von Arbeit. Und dann, wir sprechen das zweite Prinzip, das Carnotsche Prinzip, aus, indem wir eben mit Clausius dQ = TdS setzen, und dass ds das totale Differential der Entropie ist. Also sehen wir, dass die absolute Temperatur T erscheint als das partielle Differential der Energie nach der Entropie. T = dU zu dS, partielles Differential genommen bei konstantem Volumen. Nun werden wir spezialisieren, indem wir von der Energie und der Entropie des Gesamtsystems übergehen zu einem Teilsystem, zur Volumeneinheit, denn wir können dann die Dichten der Entropie einführen. Das s ist die Entropiedichte, also die Entropie für die Volumeneinheit und das u die Energiedichte, die Energie für die Volumeneinheit. Und dann können wir diese selbe Formel, wir können sie auch umkehren, dS zu du, w = T - 1 schreiben, mit den kleinen Buchstaben schreiben wir S zu du = T - 1. Aber wir können noch mehr spezialisieren, indem wir auch jetzt, wie es Planck eben tat, diese Formel auf die schwarze Strahlung anwenden und dann jetzt die Energie und die Entropie der schwarzen Strahlung auch spektral zerlegen. Und dann die Einheit des Frequenzintervalls in die Augen fassen. Und auf diese Weise dann das sMy, also spektrale Dichte pro Frequenzintervall und das uMy, die spektrale Dichte der Energie pro Frequenzintervall einführen und dann können wir auch schreiben dSMy zu duMy immer = T - 1. Aber wir können noch mehr spezialisieren, wie das zweite Bild zeigen wird. Wir wissen, dass im Jahre 1900, also im Frühjahr 1900 Lord Rayleigh gezeigt hat, wie man in einem Hohlraum die stehenden Wellen abzählen kann. Sie wissen, dass es sehr leicht ist, für einen Hohlraum von Würfelform, das haben Sie als Exerzitium gemacht, und dann konnte Lord Rayleigh zeigen, dass für die Volumeneinheit und auch für die Einheit des Frequenzintervalls die Anzahl der stehenden Wellen im Hohlraum durch das G gegebenen Wert = 8p My hoch 2 Und dann können wir auch einführen eine mittlere Energie für jede stehende Welle im Hohlraum, die wir u1 nennen, und eine mittlere Entropie für jede dieser Wellen. Und können dann eben schreiben uMy = gu1 und SMy = gS1, und können jetzt wieder die fundamentale Formel schreiben für die mittlere Entropie und die mittlere Energie einer solchen stehenden Welle. dS1 zu du1 = T - 1. Und nun, Max Planck hatte nicht die Gewohnheit, mit den stehenden Wellen im Hohlraum zu operieren, sondern er hatte den so genannten Max Planckschen Oszillator eingeführt, indem er eben, auf dem Kirchhoffschen Gesetz fußend, wusste, dass das thermische Gleichgewicht der schwarzen Strahlung nicht von der Natur der Wände abhängt, sondern nur von der Temperatur. So hat er eben ganz einfache Wände eingeführt, die mit harmonischen Oszillatoren verschiedener Frequenzen My gepflastert waren und er konnte dann zeigen, dass diese Gleichungen nicht nur für die stehenden Wellen im Hohlraum selbst, sondern auch zu jedwedem harmonischen Oszillator in der Wand dieselben sind, also mit demselben G, dass also die mittlere Energie eines solchen harmonischen Oszillators gleich ist der mittleren Energie einer Rayleighschen stehenden Welle. Das zeigt uns übrigens, dass man diese stehenden Wellen des Vakuums als lineare Oszillatoren behandeln kann. Und dann können wir, und das möchte ich doch, diesen fundamentalen Ausdruck an die Tafel schreiben, dS1 zu du1 oder noch dS1 zu dE - wo E die mittlere Energie des Planckschen Oszillators ist - = T - 1. Oder was wir noch schreiben können dS1 = T - 1 dE. Und nun, das Charakteristische an Plancks Erwägungen war, dass er jetzt versuchte, die Entropie der Strahlung zu berechnen, nicht als Funktion der Temperatur, sondern als Funktion der mittleren Energie des Oszillators oder, was auf dasselbe herauskommt, der mittleren Energie der stehenden Welle im Hohlraum. Und das nächste Bild zeigt nun, wie er ausging vom Wienschen Verschiebungsgesetz, das Wien aufgestellt hatte im Jahre 1894, wo er zeigen konnte, dass die mittlere Energie, dass die Energiedichte der schwarzen Strahlung diese Form haben musste. Wie wir wissen, fand er dass, indem er das Doppler-Prinzip auf den Hohlraum anwandte, oder dass u1 oder E = My, multipliziert mit einer gewissen Funktion von My zu T sein musste. Nun, dies können wir umkehren und sagen My zu T muss eine Funktion von E zu My sein. My zu t eine Funktion von e zu My. Und wenn wir jetzt diese fundamentale Gleichung wieder schreiben, dS1 = T - 1 dE, können wir hier mit My multiplizieren, indem wir My zu t hier durch My dividieren, bekommen wir diesen Ausdruck und da My zu t eine Funktion von E zu My sein muss, sehen wir, dass die Entropie s1 eine reine Funktion der Variable E zu My sein muss. Also s1 muss von der Form sein, irgendeine Funktion von E zu My und das möchte ich auch an die Tafel schreiben: s1 muss eine Funktion sein von E zu My. Ich möchte auch den Wert des G an die Tafel schreiben, also die Anzahl der stehenden Wellen pro Frequenzintervall und pro Volumeneinheit. Nun kommen wir zum nächsten Bild. Im Jahre 1896 hatte Wien sein Gesetz spezialisiert und vorgeschlagen, die schwarze Strahlung durch eine solche Funktion, eine Exponentialfunktion darzustellen. Und wir wissen, dass das durch die Messungen im sichtbaren Gebiet und im ultravioletten Gebiet sehr gut bestätigt wurde. Also, das können wir dann für E und u1 in dieser Form schreiben: Alpha prim My exponential, immer von diesem Ausdruck, wo Alpha prim = Alpha multipliziert mit c3 = 8Pi sein muss. Und wenn wir jetzt wieder die fundamentale Formel hier anwenden, dS1 zu dE = T - 1, so können wir schreiben 1 zu T, wenn wir explizit hier das 1 zu T darüber ausrechnen, indem wir den Logarithmus nehmen, Ich entschuldige mich, das ist natürlich ein natürlicher Logarithmus. In Frankreich haben wir die Gewohnheit, das so zu schreiben, nicht "ln". Nun kann man dann diese Beziehungen differenzieren und erhält das zweite Differential, d2S1 zu dE2 = -1 zu Beta My1 zu E, oder sein reziproker Wert, das was Planck "R" nannte, ist eine lineare Funktion von der mittleren Energie des Oszillators, wenn oder da, wo Wiens Gesetz gültig ist. Nun, gerade eben im Jahre 1900, zeigten neuere Messungen von Rubens und Kurlbaum mit Reststrahlen im fernen Infrarot, dass diese Messungen und Wiens Gesetz nicht übereinstimmten. Und dass es da eher so war, dass die mittlere Dichte, die Strahlungsdichte, nicht durch eine Exponentialfunktion in Funktion von 1 zu T dargestellt werden konnte, sondern einfach linear zur absoluten Temperatur T anstieg. Das zeigten die Arbeiten von Rubens und Kurlbaum. Aber zu gleicher Zeit, wie das nächste Bild zeigt, hatte Rayleigh gezeigt, auch im Frühjahr 1900, indem er das Äquipartitionstheorem, das klassische Äquipartitionstheorem Boltzmanns auf die Strahlung übertrug, dass eben das E = kT sein sollte und in diesem Falle, wenn man jetzt wieder 1 zu T = k zu E = dS1 zu dE setzt und das zweite Differential ausrechnet, dann sieht man, dass da, wo das Rayleigh-Jeans-Gesetz also für kleine Frequenzen gültig ist, da muss dieser Ausdruck quadratisch von der Energie abhängen und nicht linear. Wir wollen das noch mal dann zusammen sehen im nächsten Bild. Also, für die großen Frequenzen oder die kleinen Wellenlängen, da wo die Energie der Strahlung klein ist, gilt dieses Gesetz. Und für die großen Wellenlängen, da wie die Energie der Strahlung groß ist, wie dieses Bild zeigt, gilt dieses Gesetz. Nun Plancks Ansatz bestand darin, zu versuchen, beide Gesetze zu verbinden. Das heißt, ein Gesetz zu finden, das für kleine Wellenlängen das Wiensche Gesetz ergibt, als Grenzgesetz, und für große Wellenlängen das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Und um dies zu tun, addierte er, machte er den Ansatz, indem er von diesem reziproken Wert ausging, indem er eben beide Glieder addierte, das lineare Glied und das quadratische Glied. Nur das war damals für ihn ein mathematischer Kunstgriff. Erst viel später, zehn Jahre später, konnte Einstein die physikalische Bedeutung dieses Ausdrucks darlegen und zeigen, dass dieser Ausdruck die physikalische Bedeutung der Fluktuation des Strahlungsfeldes hat, und zwar das erste Glied wird durch die Quantennatur und das zweite Glied durch die Wellennatur des Lichts hervorgerufen. Nun, dies kann man auch so schreiben: 1 zu BetaMy multipliziert mit der Differenz dieser beiden Brüche, und dann kann man versuchen, es zu integrieren, was wir im nächsten Bild dann tun werden. Also, wir haben diese Funktion. Und die Integration ergab nun für Planck eben die Logarithmen, die natürlichen Logarithmen von E = kBetaMy, und eine Integrationskonstante log Gamma, die musste bestimmt werden. Nun, dies kann so geschrieben werden. Und dies, dS1 zu dE, muss nun wieder nach der fundamentalen Formel, Planckschen Formel hier, = 1 zu T sein. Und dann kann man jetzt dies von hier aus das E berechnen als eine Funktion von My und von T. Und Planck hielt an diese Formel, die ja schon sehr leicht wie die Plancksche Formel aussieht. Nur haben wir jetzt nur drei Konstanten, das Gamma, die Integrationskonstante, das k und das Beta. Nun, um diese Konstanten zu bestimmen, benutzte eben Planck die beiden Grenzgesetze. Das nächste Bild zeigt das. Für kleine My zu T muss dieses Gesetz mit dem Rayleighschen Gesetz, das Rayleighsche Grenzgesetz ergeben und das kann nur möglich sein, der Exponent Epsilon wird dann = 1 + Epsilon und das kann nur möglich sein, wenn das Gamma eben = 1 gemacht wird oder der log Gamma = 0. Und am anderen Ende des Spektralbereiches für große My zu T müssen wir das Wiensche Gesetz erhalten, entschuldigen Sie, hier fehlt ein My, Alpha prim My exponential. Und um dies zu erhalten, zeigt sich, dass kBeta = Alpha prim sein muss. Man kann also dann das Beta ersetzen durch Alpha prim zu k und erhält schließlich für die mittlere Energie des Oszillators oder der stehenden Welle im Hohlraum dieses Plancksche Gesetz, oder dann für die mittlere Energie, indem man mit dem G-Faktor multipliziert, dieses da, und dies ist Plancks Gesetz, das dann durch alle Messungen im Verlauf bestätigt wurde. Aber Plancks Arbeit war nicht fertig, denn sein Ziel war ja immer, einen Ausdruck für die Entropie s1 zu finden. Und das zeigt nun das nächste Bild. Ausgehend von dieser Beziehung, die eben vorher am Schirm war, aber wo wir jetzt log Gamma = 0 gesetzt haben und das Beta durch k durch Alpha prim ersetzt haben, das wird jetzt ein zweites Mal integriert und gibt jetzt die mittlere Energie pro Oszillator durch diese Funktion wider, wo jetzt wieder eine Integrationskonstante herein kommt, aber die kann jetzt bestimmt werden, denn wir wissen ja, das steht hier wieder an der Tafel, dass das S1 eine reine Funktion von E zu My sein muss. Und das bestimmt hier dann die Integrationskonstante und da gab Planck für s1 diesen Wert an, wo wir sehen, dass S1 wirklich eine Funktion von E zu My oder besser von E zu Alpha prim My sein muss. Also, das ist die Formel, die Planck aus der Thermodynamik erhielt. Nun war er aber mit dieser Ableitung gar nicht zufrieden, denn wie er selbst sagt: Und jetzt wandte er sich an Boltzmanns Gedankengänge, denen er bis jetzt immer sehr skeptisch, ablehnend gegenüber gestanden war, denn er wollte die Entropie als eine rigorose Größe auffassen und nicht als eine Wahrscheinlichkeitsgröße. Aber jetzt ging er doch in Boltzmanns Gedankengänge ein. Und das nächste Bild zeigt Ihnen nun sein Problem. Also Boltzmann hatte gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeit einer Verteilung berechnen kann, und zwar hat man dann über einen Inhalt und einen Behälter, man hat es mit einem Inhalt zu tun und mit einem Behälter. Für Boltzmann war der Inhalt ein Gas und der Behälter war Maxwells Geschwindigkeitsraum. Und für Boltzmann hatte eben dieser Geschwindigkeitsraum eine kontinuierliche Struktur, aber das Gas bestand für ihn aus Molekeln. Das war aber gar nicht zu seiner Zeit so augenfällig, denn wir wussten, dass Boltzmann einen schweren Kampf zu führen hatte gegen Ostwald und gegen Ernst Mach, die nicht an die Molekeln glauben wollten. Aber für Boltzmann bestand das Gas schon aus Molekeln, das heißt, der Inhalt hatte eine quantenhafte Struktur, aber der Behälter nicht. Und was tat nun Boltzmann? Um eine Verteilung zustande zu bringen, musste er den Behälter auch einteilen in Elemente endlicher Ausdehnung des Geschwindigkeitsraums, also kleine Elemente, aber endliche Elemente. Und diese Elemente nannte er die Zellen, die Zellen des Geschwindigkeitsraums. Und dann konnte er eine Anzahl von Komplexionen, also eine Wahrscheinlichkeit berechnen. Wir wollen aber auf Boltzmanns Probleme nicht weiter eingehen, sondern uns jetzt an Plancks Problem wenden. Für Planck war der Inhalt die Strahlungsenergie und die hatte vorläufig eine kontinuierliche Struktur. Und der Behälter war für ihn eben der Hohlraum. Und Rayleigh hatte gezeigt, dass eben die Hohlraumschwingungen aus den stehenden Wellen bestanden und hatte gezeigt, wie man diese stehenden Wellen abzählen kann, wie man das G bestimmen kann. Also dieser Hohlraum hatte für Planck schon eine diskontinuierliche Struktur. Und um jetzt auch eine Verteilung von Strahlungsenergie über diese Moden der stehenden Wellen oder die Oszillatoren herstellen zu können, musste er zuerst das Umgekehrte tun wie Boltzmann. Er musste den Inhalt diskontinuierlich machen. Und so führte er ein, was er nannte: "Die Elemente der Strahlungsenergie", die er Epsilon nannte. Und das nächste Bild zeigt nun, also wenn wir sehen die Volumeneinheit und die Einheit des Frequenzintervalls so haben wir die Energie uMy, und die muss eben = G mal der mittleren Energie der Oszillatoren oder stehenden Wellen sein. Aber wenn wir der Energie eine quantenhafte Struktur geben und das Epsilon die Einheit, die Elemente dieser Strahlungsenergie sind, so können wir auch schreiben uMy = N mal Epsilon Und nun suchte Planck nach einer Formel, die die Wahrscheinlichkeit dieser Verteilung wiedergab und war sich bewusst, dass diese Energieelemente der Strahlung ununterscheidbar sind. Also er ging nicht zur Boltzmannschen Formel, sondern entnahm der Kombinationsanalyse diese Formel, die uns ja bekannt ist als die Formel der Bose-Einstein-Statistik. Aber diese Formel steht in der Abhandlung von Planck vom Jahre 1900. Er ging von dieser Formel aus und da N und G große Zahlen sind, konnte er die Sterlingsche Approximation anwenden und schreiben log wMy der Wahrscheinlichkeit = G1 + n log 1+n-1, also das ist Ihnen durch die Bose-Statistik jetzt ganz geläufig, und dann das Boltzmannsche Postulat anwenden, eben die Brücke zwischen Thermodynamik und Wahrscheinlichkeitserwägungen, indem er eben nach Boltzmann den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit proportional setzte der thermodynamischen Entropie. Und eigentlich war Planck der erste, der diese Formel ausschrieb, wie er selbst erwähnt hat, hat sie Boltzmann nie geschrieben, und diese Boltzmannsche Konstante K wurde von Planck auf diese Weise eingeführt. Also wenn sMy die Entropie der Volumeneinheit ist, so ist s1 die Entropie des Oszillators oder der stehenden Welle, da müssen wir durch G dividieren, durch die Anzahl der stehenden Wellen in der Volumeneinheit, und erhalten dann schließlich auf diese Weise für die Entropie der Strahlung diese Formel: s1 = K. Und wenn man jetzt die beiden Formeln vergleicht - das nächste Bild bitte - die Formel, die sich durch die Thermodynamik ergab war diese da, die Formel, die sich durch die Boltzmannschen Wahrscheinlichkeitserwägungen ergab, ist diese. Wenn wir das n durch E durch Epsilon, ersetzen und wenn man jetzt, als nun Planck diese beiden Formeln verglich, so sah er, dass das Element der Strahlungsenergie Epsilon der Frequenz proportional sein musste. Also Epsilon = Alpha prim My, und von nun an benannte er eben das Alphaprim durch den Buchstaben h, und das wurde dann das berühmte Plancksche Wirkungsquantum, das man immer vielleicht als erg mal Sekunde ansieht, also vielleicht besser gesagt erg pro Einheit des Frequenzintervalls, erg pro Hertz. Und mit den verfügbaren Messungsresultaten konnte dann Planck diese numerischen Werte ausrechnen für das h, das also wirklich endlich herauskommt, klein, aber endlich und auch für das K. Und das Bemerkenswerte eben ist, dass man nicht nur auf diese Weise Aufschluss erhält durch das Studium der schwarzen Strahlung allein, Aufschluss erhält über die quantenhafte Struktur der Strahlungsenergie, sondern auch über die quantenhafte Struktur der Materie. Man bekommt nicht nur das h, sondern auch das K und aus dem K-Wert, der ja gleich der Gaskonstante R dividiert durch Loschmidtsche Zahl ist, konnte Planck auch die Loschmidtsche Zahl berechnen und dann auch eben die elektrische Elementarladung. Und er war sehr befriedigt, als einige Jahre später Rutherford durch die Abzählung der Alphastrahlen für die Elementarladung denselben Wert erhielt. Und das waren damals die genauesten Werte, die man damals kannte. Wir wissen ja, dass sich das seither etwas abgeändert hat. Ich möchte nun schließen, wir können ja sagen, die erste Formel, die Formel von der Thermodynamik, die oben steht, die gab Planck bekannt, ich glaube, es war am 19. Oktober 1900. Und dann, am 14. Dezember 1900 gab er diese Formel bekannt und da führte er das Elementarquantum ein. Man sagt ja traditionell, Planck ist der Vater der Quantentheorie und das Kind wurde am 14. Dezember geboren. Ich möchte das ein klein wenig abändern, ohne das große Verdienst von Planck zu schmälern, aber ich denke, zu einem Kind gehört immer ein Vater und eine Mutter. Ich möchte doch sagen, dass, als vor hundert Jahren Boltzmann die Zellen des Geschwindigkeitsraumes einführte, da vollbrachte er schon eine Quantentat. Das war schon eine Quantifizierung. Allerdings konnte er damals nicht vorahnen, dass die wirklich physikalische Bedeutung der Zellen nicht die Zellen des Geschwindigkeitsraumes waren, sondern des Phasenraumes, der Phasenraum wurde ja erst von Gibbs eingeführt, und dass diese Zellen des Phasenraums eine ganz bestimmte Ausdehnung hatten, die eben durch das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt werden. Ich möchte also sagen, dass doch Boltzmann zur Quantentheorie mit einem ganz kleinen Spermatozoid beigetragen hat. Und ich möchte sagen, dass Planck die Mutter war, die dann das Kind am 14. Dezember 1900 zur Welt brachte. Vielleicht darf ich Ihnen noch zum Schluss dann die drei Portraits zeigen: Also, der Großvater Clausius, der Vater Boltzmann, mit einem schönen Bart, und Max Planck. Ich danke Ihnen.


For this relatively short talk, his second at the Lindau Nobel Laureate Meetings, Alfred Kastler chose to give a detailed historical overview of a development in physics of fundamental interest to his young audience. This development took place in Berlin during a few weeks at the end of year 1900 and the main actor was the theoretical physicist Max Planck, at the time a little bit more than 40 years old. Planck was an expert on classical thermodynamics, as formulated by Rudolf Clausius with entropy as the basic entity some years earlier. At Planck’s age, few theoretical physicists step outside of their expertise. But during the few hectic weeks described by Kastler, Planck reluctantly opened up for an alternative statistical formulation pioneered by Ludwig Boltzmann. The outcome was, in many ways, the starting point for the theory of quantum physics, the most important physical theory to be formulated in the 20th century. Kastler goes through the detailed mathematical derivations, using slides and a blackboard, which makes it quite difficult to follow all the details. But the main message is clear and the importance of the resulting formula describing the spectral distribution of black-body radiation is discussed. It is interesting to note that the formula contains two atomic parameters that Planck could calculate by comparing with the best experimental measurements on laboratory black-body radiation available year 1900. This almost gave him the Nobel Prize in Physics of 1908, but the Royal Swedish Academy of Sciences instead decided to wait and instead awarded him the physics prize of 1918 for his discovery of energy quanta. The same formula was, in a sense, again tested with extreme accuracy on the black-body radiation of the Universe by the satellite COBE in the beginning of the 1990’s, leading to a Nobel Prize in Physics for John Mather in 2006!

Anders Bárány