What I am going to talk was already spoken already by Professor Heisenberg.
But unfortunately I couldn’t follow exactly what he had spoken in German.
So please excuse me, if there is too much overlapping in what I am going to say
with what was spoken already by Professor Heisenberg.
Now three years ago I had the opportunity to talk to you here on a little attempt
at the unified theory of elementary particles.
Since then it has become more likely that the new quantum numbers or new degrees of freedom
which were introduced in order to distinguish between various kinds of new and old particles,
could hardly be reconciled with the notion of quantum mechanical motion of a particle,
which was confined within three dimensional ordinary space.
Or four dimensional spacetime of spatial flare activity.
In fact, those theories, which have been successful in classifying new and old particles
and in deriving a number of selection rules related to elementary processes,
have the following general assumptions in common:
In addition to orbital and spin quantum numbers there are extra quantum numbers,
which characterise the properties and the interactions of common as well as strange particles.
You may say old and new particles.
For instance the concept of iso-spin,
which was already discussed by Professor Heisenberg and Professor Pauli and Professor Born,
the concept of isospin, which had been convenient for distinguishing between different charged states of the pi meson,
pi plus, pi zero, pi minus one, as well as between the neutron and the proton.
This concept of isospin was extended by pi’s so as to include the newly discovered unstable particles.
Such as lambda particle, theta meson and so on.
Thus the isospin quantum number was connected with the state of motion in a space, which was called omega space.
A new space, which has apparently no connection with the ordinary three-dimensional space.
And the distinction between strong and weak interactions was attributed to the even-odd rule
for the parity of states of particles in this space.
According to a further definement due to Gell-Mann and Nishijima,
it is necessary to introduce another quantum number, which is called the strangeness.
Which again does not have any relation as yet to the ordinary space.
In any case the point is as follows:
Whereas the old quantum numbers were directly connected with the state of motion in ordinary space,
the new quantum numbers are introduced, apparently at least, with no such connection.
Granted that such theories have something essentially correct in it,
which reveals a new aspect of the world of elementary particles.
Our further step is to have a deeper insight into the significance of new degrees of freedom.
So that we would be able to approach nearer to a unified theory of elementary particles.
At this point one is tempted to raise an old question once more, are these common and strange particles all elementary?
One may well be expecting the answer, namely only very few of them are really elementary.
All others being composite.
In fact, there have been various attempts at reducing the number of really elementary particles.
The earliest of such attempts was perhaps the neutrino theory of light by de Broglie.
More recently there appeared the nuclear pair theory of pi meson by Fermi and Young.
However now that we are informed of the existence of a variety of new particles,
which seems to necessitate the introduction of such a concept as strangeness,
we have to count among really elementary particles some of the strange particles for the following reason:
We expect that the strangeness quantum number of a composite particle
is the sum of strangeness quantum numbers of the constituent elementary particles.
Now all the common particles
such as the nucleon anti-nucleon and pi meson are assumed to have the strangeness quantum number zero.
While the new unstable particles such as the lambda particle,
theta meson are assumed to have the strangeness quantum number which are positive or negative integers different from zero.
Thus we have to count among elementary particles at least two kinds of strange particles
with the strangeness quantum number +1 and -1 respectively.
For instance: According to the recent proposal by Markov and Sakata,
the lambda particle and the anti-lambda particle with a strangeness quantum number -1 and +1 respectively,
are on the list of really elementary particles.
In addition to the neutron, proton, anti-neutron and anti-proton.
All of which have the strangeness zero.
Obviously such an answer immediately gives rise to another question.
What would be the primary interaction between these really elementary particles?
It is clear, that a very strong attraction between a nucleon and anti-nucleon must exist at very short distances
in order that they form a composite particle of a mass as small as that of the pi meson.
In such a case the effect of the interaction might be drastically different
from what we could infer from the usual quantum theory of fields,
which after all is based on the assumption of weak interaction.
Thus the conventional quantum theory of non-linear fields becomes a matter of more urgent needs
as emphasised by Professor Heisenberg in the preceding lecture.
Now the properties of the stationary solutions
of classical non-linear field equations are being investigated by a number of authors.
In spite of the formidable mathematical complications.
In particular just take the case, which Finkelstein has been dealing with.
He concentrated his attention to the so-called particle-like solutions.
Whereas a linear field equation, which is associated with free particles,
had brane-wave solutions extending over the whole space.
Non-linear field equations, which correspond to particles with self- or mutual interaction turned out to have,
in certain cases, stationary solutions that are concentrated in a small region of space.
Each of such solutions could be regarded as representing a particular form of the elementary particle with a definite mass,
spin, charge etc.
However, it depends on the procedure of quantisation of non-linear fields
whether such interpretation in the framework of classical field theory survives all changes from classical to quantum theory.
Now that the relativistically invariant methods of quantisation of fields has been greatly refined and developed
in connection with quantum electrodynamics and meson theory during the last decade.
Which Professor Heisenberg already discussed in detail.
Although the method was inseparably connected with the assumption of weak coupling between linear fields,
one may as well expect that some part of it could be taken over by non-linear field theories.
Actually Professor Heisenberg recently developed an ingenious method of quantisation on this line.
Thus he tried to deduce various types of particles as stationary solutions of quantized
non-linear equations for a single spinor field or maybe two such fields.
This is a further step along the lines of de Broglie, Fermi-Young and others as I have mentioned.
However in his formulation the usual Hilbert-space, with a positive-definite metric was to be so generalised,
so that the metric was no longer positive-definite.
This means, that the concept of probability in quantum mechanics cannot be applied straightforwardly.
But the introduction of the strange concept of negative probability is necessitated.
Thus it is still an open question
whether a mathematically consistent theory could be constructed in this way as discussed by Professor Pauli.
In this connection one may look for another formulation,
in which the particle-like solutions of classical field equation could remain after quantisation as something,
which characterises the shape of the particles.
There is some attempt on this line, although it is still far from being accomplished.
In any case such a method would be intimately related to field theories with so-called non-local interactions.
By a non-local interaction we mean an interaction,
which is related to the simultaneous appearance and disappearance of particles not at the same point,
but at nearby points in the four dimensional world.
This is because the form factor in the case of non-local interaction
could be determined from the particle like solutions if you quantise non-linear field equations.
It should be noted further, that these two methods may not be entirely different
from each other but the negative probability and nonlocality may turn out to be two sides of the same thing.
We know over very simple and peculiar example in quantum electrodynamics,
namely the elimination of time-like photons with which the notion of negative probability could be associated,
result in Coulomb-interaction between charged particles.
Which is a kind of nonlocal interaction.
However we do not know exactly, what would be the situation in non-linear field theories.
Now let us turn to the problem of nonlocality of the interaction of the field itself.
When I talked to you three years ago, I discussed the possibility of introducing extra degrees of freedom of motion
of an elementary particle in relation to the nonlocality of the wave field, which is associated with the particle.
Namely, the concept of the field, which had been represented by a function of a set of spacetime coordinates,
was extended so as to include the nonlocal field,
which was represented by a function of two sets of spacetime coordinates.
The ordinary local field being a limiting case, where the defendants on the relative coordinates tend to be a delta function.
The particle associated with such a field has the degrees of freedom of internal motion in addition to those of the motion of its centre of mass.
Obviously, the internal motion, as well as the motion of the centre of mass,
takes place in the same spacetime world of special relativity, namely Minkowski space.
This is an unavoidable restriction, which has its own disadvantage as well as advantage for the following reason:
On the one hand the inherent divergence difficulties of the relativistic field theories could be dealt with precisely,
because the internal and external motions are correlated with each other in the same space
in such a way that the internal motion may serve for smoothing out the divergences attached to the external motion.
On the other hand however, this gives rise in turn to a disadvantage:
Namely in the world of special relativity an invariant spacetime region
cannot be confined to a small volume around the origin.
But extends always to infinity along the light cone.
We could overcome the difficulty by considering the internal motion
as something attached rigidly to the motion of the centre of mass,
provided that the mass was different from zero.
However the situation is very complicated, when the nonlocal field in question interacts with other fields.
The internal motion as well as the external motion would be influenced by the interaction.
Or in other words: the particle would be deformed in a complicated manner.
We do not know yet how to deal with such a deformability adequately.
The problem of causality is closely connected with that of nonlocality as discussed already by Professor Heisenberg.
In order to describe the causal relationship between two events in special theory of relativity,
one is obliged to accept the sharp separation of past,
present and future from each other by the light cone in Minkowski space.
The introduction of nonlocality somewhere in the theory, however, tends to obscure this sharp distinction.
Thus it is difficult in general for a nonlocal theory
to reconcile the requirement of causality with that of special relativity.
Although it may not be impossible but certainly it is very difficult in general.
On the other hand, these requirements are both satisfied in local field theories at the cost of regularity of function
such as propagators on the light cone.
There is another point, which one has to keep in mind when one speaks of causality in field theory:
Namely one must ask oneself at the outset what phenomena are the causal laws to be applied.
Such a question has become more significant since the development of field theory in recent years,
by which the procedure of renormalisation turned out to be indispensible.
Generally speaking, the causal relationship is not to be applied directly to the primary quantities in terms
of which the fundamental natural laws are formulated, but to those secondary quantities,
which are so modified from primary quantities as to be more directly connected with observable phenomena.
One may imagine for example, that one would start from an overall spacetime picture in future theory of elementary particles
and then derive causal relationships between phenomena, which are more or less localised.
Under these circumstances it would not be useless to reconsider the whole subject from an entirely different standpoint.
These are two theories of elementary particles started from certain types of classical fields,
which were subject to quantisation afterwards.
In other words: We took up the wave aspect of the elementary particles first.
And the particle aspect subsequently.
Now one may ask the question: “Is it at all possible to reverse the order?”
It is certainly not easy to do so,
because we have thus to leave the well established spacetime structure of special relativity, at least for a moment.
And start anew from the bare fact of appearance and disappearance of various particles in nature.
One may be inclined to think that this is too far departed from the familiar quantum theory of field
to expect to result in anything fruitful.
However, such an approach does not seem very strange, if we recall this bit of Einstein’s theory of general relativity,
namely:
of the distribution of matter and energy in it.”
But they are related to each other intimately”
One may well suspect, that such a future regulation of framework and content would exist also in the small-scale world.
Though in a way very much different from the one in the large-scale world.
In the usual field theories the regulation is one-sided
because the spacetime structure is fixed before we consider the wave field.
The opposite side of the mutual regulation would be the inference of the behaviour of elementary particles on the,
so to speak, fine structure of the spacetime world.
Or the small-scale world in a more general sense.
I mean the world including the omega space or some other space,
which may have some relation to the strangeness quantum number.
Such a world may be decomposed asymptotically into the Minkowski space
and the space corresponding to extra degrees of freedom such as isospin and strangeness.
In order to give a little more definitivity to this idea,
let us consider the appearance and disappearance of particles as such.
The structure of the spacetime world in the background being purposely left aside.
These particles can exist in a great variety of different ways.
They can be different from each other, either for the reason of having different masses, spins, charges etc,
or merely for the reason of existing at different places or having different values of energy and momentum.
Let us forget for the moment that such words as spin, energy, momentum etc
are already closely connected with the structure of the spacetime world.
And let us say in broader terms, that the particles can exist in a great number of different ways.
Which can be distinguished between each other by means of a set of certain quantum numbers.
Some of these quantum numbers may be discrete and others may be continuous,
but let us for brevity denote the set of quantum numbers simply by J, which can be zero or an integer.
Then the appearance and disappearance of a particle of type J
could be represented by a creation operator and an annihilation operator,
which satisfy the familiar commutation relation.
There should be some direct or indirect connection between the creation and annihilation operators
with different variants of J.
Otherwise the appearance and disappearance of great variety of particles could be entirely chaotic,
to say nothing of their ordered behaviour in the spacetime world.
Now there are two kinds of ordered behaviour of particles according to our customary way of thinking:
One is the ordered motion of particles in the narrow sense.
In classical mechanics this was represented by a trajectory in space or a world line in spacetime world.
In modern formulation of classical mechanics the corresponding terms appear at the kinetic energy part
or free part of the Lagrangian
The second kind of ordered behaviour is the possibility of transformation between different types of particles.
Such a possibility can be dealt with only in quantum mechanics
and is represented by appropriate terms in the interaction part of the Lagrangian.
Keeping this in mind, we may hope to give order to the chaotic assembly of creation and annihilation operators.
Namely we may assume the existence of a certain function of these operators,
which plays a role similar to the Lagrangian in classical quantum theory of fields.
The invariance or symmetry properties of this function,
with respect to the linear transformations of infinitely many operators,
would be connected with the more familiar symmetry properties in current field theories of elementary particles.
All this is certainly wishful thinking.
I do not at all expect an easy success of such an approach.
I suggest merely that such an approach may not be entirely useless,
since we do not know yet as to what extent the structural world of very small scale would be different
from that of the world more easily accessible to us.
It seems to me,d that the approach from the world picture,
which starts from the classical wave field and then quantises has been so much developed and so widely investigated,
that we are reaching close to the point,
where a complementary approach to the same goal would be of some help for further progress.
Ich werde über etwas sprechen, über das Professor Heisenberg schon gesprochen hat.
Aber unglücklicherweise konnte ich nicht genau verfolgen, was er in Deutsch gesagt hat.
Entschuldigen Sie also bitte, wenn es in dem, was ich sagen werde, zu viel Überlappung mit dem gibt,
was Professor Heisenberg bereits gesagt hat. Nun, vor drei Jahren hatte ich die Gelegenheit,
hier zu Ihnen über einen kleinen Versuch an der vereinigten Theorie der Elementarteilchen zu sprechen.
Seit damals wurde es wahrscheinlicher, dass die neuen Quantenzahlen oder neuen Freiheitsgrade, die eingeführt wurden,
um zwischen verschiedenen Typen neuer und alter Teilchen zu unterscheiden,
kaum mit dem Gedanken der quantenmechanischen Bewegung eines Teilchens, das im dreidimensionalen Raum eingeschlossen war,
in Einklang gebracht werden können. Oder in vierdimensionaler Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie.
Tatsächlich haben diese Theorien, die erfolgreich waren, neue und alte Teilchen zu klassifizieren
und eine Anzahl von Auswahlregeln für Elementarprozesse zu erhalten, die folgenden allgemeinen Annahmen gemeinsam:
Zusätzlich zu den Bahn- und Spinquantenzahlen gibt es zusätzliche Quantenzahlen,
die die Eigenschaften und die Wechselwirkungen von gewöhnlichen wie auch 'seltsamen' Teilchen charakterisieren.
Man könnte sagen, alte und neue Teilchen.
Beispielsweise das Isospinkonzept, das schon bei Professor Heisenberg, Professor Pauli und Professor Born diskutiert wurde,
das Isospinkonzept, das nützlich war, um zwischen verschiedenen unterschiedlichen Ladungszuständen des pi-Mesons, pi plus,
pi null, pi minus eins, und ebenfalls zwischen dem Neutron und Proton zu unterscheiden.
Dieses Isospinkonzept wurde durch die pi-Teilchen erweitert, um die neu entdeckten, instabilen Teilchen einzuschließen.
Wie zum Beispiel Lambda-Teilchen, Theta-Meson und so weiter.
Die Isospinquantenzahl war verbunden mit dem Bewegungszustand in einem Raum, der Omegaraum genannt wurde.
Ein neuer Raum, der anscheinend keine Verbindung zu dem normalen dreidimensionalen Raum hat.
Und der Unterschied zwischen starken und schwachen Wechselwirkungen
wurde der gerade-ungerade Regel für die Parität der Teilchenzustände in diesem Raum zugeschrieben.
Nach einer weiteren Verfeinerung durch Gell-Mann und Nishijima ist es notwendig, eine weitere Quantenzahl einzuführen,
die Strangeness genannt wird. Was bis jetzt wieder überhaupt keinen Bezug zum normalen Raum hat.
In jedem Fall ist der Punkt der folgende: Während die alten Quantenzahlen direkt verbunden waren mit dem Bewegungszustand
im normalen Raum, werden die neuen Quantenzahlen, wenigstens anscheinend, ohne eine solche Verbindung eingeführt.
Wenn man davon ausgeht, dass solchen Theorien etwas grundsätzlich Korrektes in sich enthalten,
das einen neuen Aspekt der Welt der Elementarteilchen enthüllt, besteht unser weiterer Schritt darin,
einen tieferen Einblick in die Bedeutung der neuen Freiheitsgrade zu erhalten.
So dass wir in die Lage versetzt werden, uns einer vereinigten Theorie der Elementarteilchen weiter anzunähern.
An diesem Punkt ist man versucht, eine alte Frage wieder einmal zu stellen,
sind diese gewöhnlichen und 'seltsamen' Teilchen alle elementar?
Man könnte gut die Antwort erwarten, nur sehr wenige davon sind wirklich elementar. Alle anderen sind zusammengesetzt.
Tatsächlich gab es verschiedene Versuche, die Zahl der echten Elementarteilchen zu verringern.
Der früheste Versuch dieser Art war vielleicht die Neutrinotheorie des Lichts durch de Broglie.
In der jüngeren Vergangenheit gab es die nukleare Paartheorie des pi-Mesons durch Fermi und Young.
Nun sind wir aber informiert über die Existenz einer Art von neuen Teilchen,
die die Einführung eines solchen Konzepts wie Strangeness notwendig machen;
wir müssen aus den folgenden Gründen einige der 'seltsamen' Teilchen zu den wirklichen Elementarteilchen zählen:
Wir erwarten, dass die Strangeness-Quantenzahl eines zusammengesetzten Teilchens
gleich der Summe der Strangeness-Quantenzahlen der Elementarteilchen entspricht, aus denen es besteht.
Nun, von allen normalen Teilchen wie das Nukleon und Antinukleon und pi-Meson wird angenommen,
dass sie die Strangeness-Quantenzahl Null haben.
Während von den neuen instabilen Teilchen, wie das Lambda-Teilchen, Theta-Meson angenommen wird,
dass sie die Strangeness-Quantenzahl haben, die eine positive oder negative ganze Zahl verschieden von Null haben.
Wir müssen daher unter den Elementarteilchen mindestens zwei Arten von 'seltsamen' Teilchen
mit der Strangeness-Quantenzahl +1 beziehungsweise -1 einschließen.
Zum Beispiel: Nach dem Vorschlag von Markov und Sakata vor Kurzem, sind die Lambda- und anti-Lambda-Teilchen
mit einer Strangeness-Quantenzahl -1 beziehungsweise +1 auf der Liste der echten Elementarteilchen.
Zusätzlich zum Neutron, Proton, Antineutron und Antiproton. Diese haben alle die Strangeness Null.
Offensichtlich gibt eine derartige Antwort sofort Anlass zu einer anderen Frage.
Was wäre die hauptsächliche Wechselwirkung zwischen diesen wirklichen Elementarteilchen?
Es ist klar, dass es eine sehr starke Wechselwirkung zwischen einem Nukleon
und Antinukleon bei sehr kurzen Entfernungen geben muss,
damit sie ein zusammengesetztes Teilchen einer so kleinen Masse wie die des pi-Mesons bilden.
In einem solchen Fall könnte der Effekt der Wechselwirkung drastisch unterschiedlich sein von dem,
was wir aus der üblichen Quantenfeldtheorie entnehmen können,
die schließlich auf der Annahme der schwachen Wechselwirkung basiert.
Die konventionelle Quantentheorie der nichtlinearen Felder wird dadurch eine Sache von großer Notwendigkeit,
wie Professor Heisenberg in dem vorhergehenden Vortrag betont hat.
Nun, die Eigenschaften der stationären Lösungen der klassischen nichtlinearen Feldgleichungen
werden durch eine Anzahl von Autoren untersucht. Trotz der beträchtlichen mathematischen Komplikationen.
Lassen Sie uns speziell den Fall nehmen, den Finkelstein behandelt hat.
Er konzentrierte seine Aufmerksamkeit auf die sogenannten teilchenähnlichen Lösungen.
Wohingegen eine lineare Feldgleichung, die mit freien Teilchen verbunden wird, ebene Wellenlösungen hat,
die sich im gesamten Raum ausbreiten. Es stellte sich heraus, dass nichtlineare Feldgleichungen,
die Teilchen mit Selbst- oder gegenseitiger Wechselwirkung entsprechen, in bestimmten Fällen stationäre Lösungen haben,
die in einer kleinen Raumregion konzentriert sind.
Jede dieser Lösungen kann als Repräsentant einer bestimmten Form des Elementarteilchens mit einer bestimmten Masse, Spin,
Ladung etc. betrachtet werden. Aber es hängt von der Prozedur der Quantisierung der nichtlinearen Felder ab,
ob eine solche Interpretation im Rahmen der klassischen Feldtheorie
alle Änderungen von der klassischen zur Quantentheorie überlebt.
Nun, da alle relativistisch invarianten Quantisierungsmethoden der Felder stark verfeinert
und in Verbindung mit der Quantenelektrodynamik und Mesonentheorie während des letzten Jahrzehnts entwickelt wurden.
Das hat Professor Heisenberg schon im Detail diskutiert.
Obwohl die Methode unzertrennlich mit der Annahme der schwachen Kopplung zwischen linearen Feldern verbunden war,
könnte man auch erwarten, dass ein Teil davon von nichtlinearen Feldtheorien übernommen würde.
Tatsächlich hat Professor Heisenberg vor kurzem eine raffinierte Quantisierungsmethode entlang dieser Linie entwickelt.
Er versuchte daher, verschiedene Teilchentypen als stationäre Lösungen der quantisierten nichtlinearen Gleichungen
für ein reines Spinor-Feld oder vielleicht zwei solcher Felder abzuleiten.
Dies ist ein weiterer Schritt entlang der Linie von de Broglie, Fermi-Young und anderen, wie ich erwähnt hatte.
In dieser Formulierung sollte der übliche Hilbert-Raum mit einer positiv definierten Metrik so generalisiert werden,
dass die Metrik nicht länger positiv definit war.
Das bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitskonzept in der Quantenmechanik nicht einfach angewandt werden kann.
Aber die Einführung des merkwürdigen Konzepts einer negativen Wahrscheinlichkeit ist notwendig geworden.
Dies ist noch eine offene Frage, ob eine mathematisch konsistente Theorie auf diese Weise konstruiert werden könnte,
wie Professor Pauli diskutiert hat. In diesem Kontext könnte man nach einer anderen Formulierung suchen,
in der die teilchenähnlichen Lösungen der klassischen Feldgleichung nach der Quantisierung als etwas verbleiben könnten,
das die Form des Teilchens charakterisiert.
Es gibt einen Versuch entlang dieser Linie, obwohl es noch weit davon entfernt ist vollendet zu sein.
In allen solchen Fällen wäre eine solche Methode eng verwandt mit Feldtheorien mit sogenannten nichtlokalen Wechselwirkungen.
Unter einer nichtlokalen Wechselwirkung verstehen wir eine Wechselwirkung,
die mit dem gleichzeitigen Erscheinen und Verschwinden von Teilchen nicht am selben Ort,
sondern an benachbarten Orten in der vierdimensionalen Welt verbunden ist. Der Grund ist,
dass der Formfaktor im Fall einer nichtlokalen Wechselwirkung von den teilchenähnlichen Lösungen bestimmt werden könnte,
wenn man nichtlineare Feldgleichungen quantisiert.
Es soll noch weiter angemerkt werden, dass diese zwei Methoden nicht ganz unterschiedlich voneinander sein müssen,
sondern dass sich herausstellen könnte,
dass die negative Wahrscheinlichkeit und Nichtlokalität zwei Seiten derselben Medaille sind.
Wir kennen ein sehr einfaches und merkwürdiges Beispiel in der Quantenelektrodynamik,
nämlich die Eliminierung von zeitähnlichen Photonen,
mit denen die Vorstellung einer negativen Wahrscheinlichkeit verbunden sein könnte,
resultiert in der Coulomb-Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen, die eine Art von nichtlokaler Wechselwirkung ist.
Wir wissen aber nicht genau, was die Lage in nichtlinearen Feldtheorien wäre.
Wenden wir uns nun dem Problem der Nichtlokalität der Wechselwirkung des Felds selbst zu.
Als ich vor drei Jahren zu Ihnen gesprochen habe,
diskutierte ich die Möglichkeit zusätzlicher Bewegungsfreiheitsgrade eines Elementarteilchens
bezogen auf die Nichtlokalität des Wellenfeldes, die mit dem Teilchen verbunden ist.
Nämlich das Feldkonzept, das durch eine Funktion eines Satzes von Raumzeitkoordinaten repräsentiert wurde,
wurde so erweitert, dass es das nichtlokale Feld einschließt,
das durch eine Funktion von zwei Sätzen Raumzeitkoordinaten repräsentiert wurde.
Das normale lokale Feld als Grenzfall, wo die Abhängigkeit der relativen Koordinaten dazu tendiert, eine Deltafunktion zu sein.
Das Teilchen, das mit einem solchen Feld verbunden ist,
hat die Freiheitsgrade einer internen Bewegung zusätzlich zu denen der Bewegung des Massezentrums.
Es ist offensichtlich, dass die interne Bewegung, wie auch die Bewegung des Massezentrums,
in derselben Raumzeitwelt der speziellen Relativität, d.h. dem Minkowski-Raum, stattfinden.
Das ist eine unvermeidbare Beschränkung, die ihre eigenen Nachteile hat, wie auch einen Vorteil,
aus dem folgenden Grund:
Einerseits könnten die inhärenten Divergenzschwierigkeiten der relativistischen Feldtheorien exakt behandelt werden,
weil die internen und externen Bewegungen in demselben Raum so miteinander verbunden sind,
dass die interne Bewegung dazu dienen kann, die Divergenzen, die mit der externen Bewegung verbunden sind, zu glätten.
Andererseits verursacht dies aber wiederum einen Nachteil:
In der Welt der speziellen Relativitätstheorie kann eine invariante Raumzeitregion nämlich nicht auf ein kleines Volumen
um den Ursprung beschränkt werden. Sondern dehnt sich immer entlang des Lichtkegels in die Unendlichkeit aus.
Wir könnten die Schwierigkeit überwinden, indem wir die interne Bewegung als etwas betrachten,
das fest mit der Bewegung des Massezentrums verbunden ist, vorausgesetzt, dass die Masse nicht gleich Null war.
Die Situation ist aber sehr kompliziert, wenn das betreffende nichtlokale Feld mit anderen Feldern in Wechselwirkung tritt.
Die interne Bewegung und auch die externe Bewegung würden durch die Wechselwirkung beeinflusst.
Oder mit anderen Worten: Das Teilchen würde auf eine komplizierte Art verformt.
Wir wissen noch nicht, wie wir angemessen mit einer solchen Verformbarkeit umgehen sollen.
Das Kausalitätsproblem ist eng verwandt mit dem der Nichtlokalität, wie schon von Professor Heisenberg diskutiert.
Um die kausale Beziehung zwischen zwei Ereignissen in der speziellen Relativitätstheorie zu beschreiben,
muss man die scharfe Trennung von Vergangenheit,
Gegenwart und Zukunft voneinander durch den Lichtkegel im Minkowski-Raum akzeptieren.
Die Einführung einer Nichtlokalität irgendwo in der Theorie hat aber die Tendenz, diese scharfe Unterscheidung zu verschleiern.
Es ist daher für eine nichtlokale Theorie generell schwer, die Forderung nach Kausalität in Einklang zu bringen
mit denen der speziellen Relativitätstheorie.
Obwohl es nicht unmöglich sein kann, aber es ist sicher generell sehr schwierig.
Andererseits sind diese beiden Forderungen in lokalen Feldtheorien auf Kosten der Regularität der Funktion
wie beispielsweise Propagatoren auf dem Lichtkegel erfüllt.
Es gibt noch einen weiteren Punkt, den man im Kopf behalten muss, wenn man in der Feldtheorie von Kausalität spricht:
Man muss sich nämlich am Beginn fragen, auf welche Phänomene die kausalen Gesetze angewendet werden sollen.
Eine derartige Frage ist seit der Entwicklung der Feldtheorie in den letzten Jahren wichtiger geworden,
wo die Renormalisierungsprozedur sich als unverzichtbar herausgestellt hat.
Allgemein gesprochen darf die kausale Beziehung nicht direkt auf die primären Größen angewendet werden,
mit denen die fundamentalen Naturgesetze formuliert sind, sondern auf diejenigen sekundären Größen,
die von primären Größen her so modifiziert sind, dass sie direkter mit beobachtbaren Phänomenen verbunden sind.
Man kann sich beispielsweise vorstellen, dass man bei einer zukünftigen Elementarteilchentheorie
von einem Gesamtbild der Raumzeit aus startet und dann kausale Beziehungen zwischen Phänomenen ableitet,
die mehr oder weniger lokalisiert sind.
Unter diesen Umständen wäre es nicht nutzlos, das ganze Thema aus einem komplett unterschiedlichen Standpunkt neu zu betrachten.
Dies sind zwei Elementarteilchentheorien, die von bestimmten Arten klassischer Felder starten, die danach quantisiert wurden.
Sprich: Wir begannen mit dem Wellenaspekt des Elementarteilchens. Und dem Teilchenaspekt hinterher.
Nun könnte man die Frage stellen: "Ist es überhaupt möglich die Ordnung umzukehren?" Es ist sicherlich nicht leicht,
das zu tun, weil wir die gut etablierte Raumzeitstruktur der speziellen Relativitätstheorie verlassen müssen,
wenigstens für einen Moment.
Und wir beginnen neu bei der reinen Tatsache des Erscheinens und Verschwindens von verschiedenen Teilchen in der Natur.
Man könnte geneigt sein zu glauben, dass dies zu weit weg ist von der vertrauten Quantenfeldtheorie, um zu erwarten,
dass es in irgendetwas Fruchtbares münden wird.
Aber ein solcher Zugang scheint nicht sehr merkwürdig zu sein,
wenn wir uns an diesen Teil der Einstein'schen Allgemeinen Relativitätstheorie erinnern:
von der Materie- und Energieverteilung in ihm. Sondern sie sind innig miteinander verwandt".
Man kann wohl vermuten, dass eine solche zukünftige Regulierung von Rahmen und Inhalt
auch in der Welt des kleinen Maßstabs existieren würde.
Aber irgendwie sehr unterschiedlich von der in der Welt des großen Maßstabs.
In den üblichen Feldtheorien ist die Regulierung einseitig, weil die Raumzeitstruktur festgelegt wird,
bevor man das Wellenfeld betrachtet.
Das Gegenteil der gegenseitigen Regulierung wäre sozusagen der Einfluss des Verhaltens der Elementarteilchen
auf die Feinstruktur der Raumzeitwelt. Oder der Welt des kleinen Maßstabs in einem generelleren Sinn.
Ich meine die Welt einschließlich des Omegaraums oder irgendeines anderen Raums,
der irgendeine Beziehung zur Strangeness-Quantenzahl haben kann.
Eine solche Welt kann asymptotisch in den Minkowski-Raum und den Raum zerfallen,
der den zusätzlichen Freiheitsgraden wie Isospin und Strangeness entspricht.
Um dieser Idee ein wenig mehr Bestimmtheit zu geben,
lassen Sie uns das Erscheinen und Verschwinden der Teilchen als solches annehmen.
Die Struktur der Raumzeitwelt im Hintergrund ist absichtlich beiseitegelassen.
Diese Teilchen können in einer großen Vielfalt von Weisen existieren.
Sie können sich voneinander unterscheiden, entweder weil sie unterschiedlichen Massen, Spins,
Ladungen usw. haben, oder auch nur, weil sie an unterschiedlichen Orten existieren
oder unterschiedliche Werte der Energie oder des Impulses haben.
Lassen Sie uns im Moment vergessen, dass solche Begriffe wie Spin, Energie,
Impuls usw. schon eng mit der Struktur der Raumzeitwelt verbunden sind.
Und lassen Sie uns verallgemeinernd sagen, dass die Teilchen in einer großen Anzahl von verschiedenen Arten existieren können,
die voneinander durch einen Satz von bestimmten Quantenzahlen unterschieden werden können.
Einige dieser Quantenzahlen können diskret sein und andere können kontinuierlich sein, aber lassen Sie uns, um es abzukürzen,
den Satz der Quantenzahlen einfach mit J bezeichnen, das Null oder eine ganze Zahl sein kann.
Dann könnte das Erscheinen und Verschwinden eines Teilchens des Typs J durch einen Erzeugungsoperator
und ein Vernichtungsoperator repräsentiert werden, die die gewohnten Kommutationsregeln erfüllen.
Es sollte irgendeine direkte oder indirekte Verbindung zwischen dem Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
mit unterschiedlichen Variationen von J geben.
Ansonsten könnte das Erscheinen und Verschwinden einer großen Vielfalt von Teilchen gänzlich chaotisch sein,
ganz zu schweigen von deren geordnetem Verhalten in der Raumzeitwelt.
Nun, nach unserer üblichen Denkweise gibt es zwei Arten der geordneten Teilchenbewegung:
Die eine ist die geordnete Teilchenbewegung im engen Sinn.
In der klassischen Mechanik wurde das durch eine Bahn im Raum dargestellt oder eine Weltlinie in der Raumzeitwelt.
In der modernen Formulierung der klassischen Mechanik erscheint der entsprechende Term bei dem kinetischen Energieteil
oder freien Teil der Langrange-Funktion.
Die zweite Art der geordneten Bewegung ist die Möglichkeit der Umwandlung zwischen unterschiedlichen Teilchentypen.
Eine solche Möglichkeit kann nur in der Quantenmechanik behandelt werden
und ist durch entsprechende Terme in dem Wechselwirkungsteil des Langrange-Operators dargestellt.
Wenn wir das im Gedächtnis behalten, können wir hoffen,
die chaotische Ansammlung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu ordnen.
Das heißt, wir können annehmen, dass bestimmte Funktionen dieser Operatoren existieren,
die eine ähnliche Rolle spielen wie der Langrange-Operator in der klassischen Quantenfeldtheorie.
Die Invarianz oder Symmetrieeigenschaften dieser Funktion in Bezug auf die linearen Transformationen
von unendlich vielen Operatoren wäre mit den geläufigeren Symmetrieeigenschaften
in heutigen Feldtheorien der Elementarteilchen verbunden. All dies ist sicherlich Wunschdenken.
Ich erwarte überhaupt keinen leichten Erfolg eines solchen Verfahrens.
Ich schlage nur vor, dass ein solcher Zugang nicht gänzlich nutzlos sein könnte, da wir noch nicht wissen,
in welchem Ausmaß die Strukturwelt der sehr kleinen Skala sich von der jener Welt unterscheidet,
die für uns leichter zugänglich ist.
Es scheint mir, dass der Zugang von der Bildwelt her, der von dem klassischen Wellenfeld startet und dann quantisiert,
so weit entwickelt und so breit untersucht wurde, dass wir nahe an dem Punkt sind,
wo ein komplementärer Zugang mit demselben Ziel für weiteren Fortschritt sehr hilfreich wäre.
