Dan Shechtman

Quasi-Periodic Materials - Crystal Redefined

Category: Lectures

Date: 3 July 2013

Duration: 35 min

Quality: HD MD SD

Subtitles: EN DE

Dan Shechtman (2013) - Quasi-Periodic Materials - Crystal Redefined

Crystallography has been one of the mature sciences. Over the years, the modern science of crystallography that started by experimenting with x-ray diffraction from crystals in 1912, has developed a major paradigm – that all crystals are ordered and periodic

You know the Lindau meeting is one of a kind. The young people amongst you don’t realise it yet but there is nothing like this in the world in which so many Nobel Laureates gather to meet so many students and share experiences and promote science. So I’m grateful for the committee that invited me to talk to you. My subject as you will see there is quasiperiodic materials, crystal redefined. It’s about the redefinition of a crystal that was a paradigm shift in the science of crystallography. To understand what happened let me take you back to the mid ‘80s. In the mid ‘80s there were 3 surprising discoveries on the structure of matter and its properties. And they came year after year starting in 1984 with the discovery of quasiperiodic crystals. And the names on that are Shechtman, Blech, Gratias and John Cahn. And this is the story today. Next came 1985, the discovery of Fullerenes and after that the discovery of high temperature super conductivity. So when high temperature superconductivity was discovered, everybody was happy. You know, superconductivity was discovered in 1909. But nobody expected to have high temperature or so called high temperature superconductivity beyond 30 K, degrees Kelvin or something like that. And so when high temperature superconductivity was discovered everybody was happy. Nobody objected. When Fullerenes were discovered which is another way in which carbon atoms can form. So what do you do? You take a single layer of graphite and you fold it into a ball, this is called buckyballs named after Buckminster Fuller, the famous architect. And it was wonderful. The C60 molecule was a great discovery. There was no objection to the discovery. But when quasiperiodic crystals were discovered and announced, they met a lot of resistance from the top of the scientific community. And part of my talk today will be to tell you what happened and what was the end of the story. But before I even start I want you to understand my talk. And this is why I will start with explaining a few basic concepts, very, very simple concepts. And this is about order. It’s about periodicity. And it’s about rotational symmetry. Let’s start with order. What you have on the board is a drawing of a 2 dimensional crystal if you will. And you can clearly see that these atoms are ordered. If I ask you to continue this in this direction or in this direction, any direction, you know how to do it because you understand the order. That’s all about order. What about periodicity? This order is periodic. That means look in this direction. It means that there is equal distance between every 2 atoms. There is periodicity. In a periodic lattice you have periodicity in every direction. Such as in this direction, in this direction, in this direction, any direction that you chose. A directional lattice meaning connecting 2 atoms. Any direction that you chose you will find periodicity. Ok, what about rotational symmetry? By the way here is another way to show periodicity. This fence is in Easter Island. This is a hotel I was in a couple of weeks ago. A wonderful place, Easter Island. I hope we have representatives from Chile, should be proud of this place. Anyway, so you see this motif. This motif, it repeats itself, ok? Here and here and here and here, ok? This is periodicity. Next -rotational symmetry. What we have here is the same lattice except that I have added a little handle, the red handle at the top so that you will see what happens when you rotate it. And we can rotate this lattice 90 degrees and it looks the same, exactly the same. You can do it 4 times. This is why this lattice has a four-fold rotational symmetry. So much for the introduction. Now rotational symmetry. An image has a rotational symmetry; either a centre point around which the object is turned a certain number of degrees and the object still looks the same that is it matches itself a number of times while it is being rotated. And here are a few examples. The card on the left has a two-fold rotational symmetry. You can turn this card 180 degrees and it will look the same, The triangle has a three-fold rotational symmetry. This flower has a five-fold rotational symmetry. And this pizza has a six-fold rotational symmetry. These are motifs. They can have any rotational symmetry that you want. There is no limitation. Let’s say a few words about crystallography. You know, the Greeks had an idea about atoms. They invented the word. And how atoms are arranged in crystals that they found in nature or grew like salt crystal that they grew in the kitchen. And they have that idea because this crystal has facets. And they measured the angles between the facets and thought that, yes, if the material is made of atoms then the atoms have a certain way in which they are arranged. So ancient people had a notion about crystals. But let me tell you something. If you think that ancient people understood science, this is not the case. They were really, really ignorant. But here and there you can go back and find a trace of truth, of good thinking. But most of all they said was sheer nonsense. The real science of crystallography started with the experiment performed in 1912 by von Laue, a German scientist, who performed the first x-ray diffraction experiment. And he proved in his wonderful experiment 2 things. Number 1 that x-rays have a wavy nature and that crystals are indeed ordered as people thought before. And the crystal that von Laue worked on and the crystals that were examined after him, well, all had something in common. And that something was periodicity. All the crystals that had been studied for 70 years, from 1912 until 1982, they were all periodic. There was no exception. And so based on that there was a crystal definition that was formed. This definition did not come from theory. It came from experience. When you see hundreds of thousands of crystal and measure them precisely by tens of thousands of eminent x-ray crystallographers and they all show that crystals are periodic, you define something as follows. This is from a book by Culity. And he says: “A crystal may be defined as: A solid composed of atoms arranged in a pattern periodic in 3 dimensions.” This is a crystal. Simple, no problem. Another definition, this is from a book by Barrett and Massalski. The same definition, different words. Says: “Atoms in a crystal are arranged in a pattern that repeats itself in 3 dimensions throughout the interior of the crystal.” Repetition and periodicity, same thing. The science of crystallography was governed by a union, still is, called International Union of Crystallography. These are no nonsense mathematical crystallographers who make sure that every definition is just right. Not an extra word is there. These are very strict people and these were the definitions accepted and the science of crystallography was considered a mature science. And a mature science is a science in which no revolution is expected to happen. For instance, biology is not a mature science. We expect new revelations, new discoveries every day. But crystallography was a mature science. We did not expect anything new to happen in that science. Now the books, here is an example of a book on crystallography. It’s by Charles Kittel, “Introduction to Solid State Physics”. I know you cannot read what’s marked in green, this is why I have enlarged it for you. And it says the following: “We can make a crystal from molecules which individually have five-fold rotation axis, but we should not expect the lattice to have five-fold rotation axis.” Why so? Because all crystals are periodic and in a periodic crystal... And we don’t have time to show you the proof of that. But I assure that there is proof. It’s very simple by the way. You can prove that in periodic crystals five-fold rotational symmetry cannot happen. Ok, so these were the text books. And then let me show you how crystals looked like. So, what we have here is a transmission electron microscope picture of atoms in diamond. And these are of course carbon atoms. And you see that there is periodicity in this structure, periodicity in each and every direction. For instance in this direction, in this direction, in this direction, there is periodicity in every direction. The order of carbon atoms in diamonds is periodic. The allowed rotational symmetries are 1, 2, 3, 4 and 6. 1, 2, 3, 4, 6. No 5 and nothing beyond 6. The science of crystallography was happy, quiet science. No new revelations were expected. And then let’s now have a look at the reciprocal space. Reciprocal space is a space in which the diffraction pattern occurs. The reciprocal space is an invention. We have invented a mathematical concept called reciprocal space in order to understand diffraction patterns. And in this case we have an electron diffraction pattern. So what do we have in the electron diffraction pattern? You see, you put a specimen in an electron microscope. It is thin. It is thin because we made it thin. A beam of accelerated electrons goes through the specimen, hits a phosphorus screen and makes a point in the centre. This is this point in the centre. But some of the energy of the beam is diffracted to create an electron diffraction. In all the rest of the spots that you see here, all the rest, expect these transmitted beam, are diffracted beam. This is an electron diffraction pattern. What can we say about this electron diffraction pattern? Number 1: Because it was taken from a periodic lattice, the diffraction pattern is periodic. The rotational symmetry is like in the real space, also in the reciprocal space. The rotational symmetries that are allowed are 1, 2, 3, 4 and 6, no 5 and nothing beyond 6. Simple. There is periodicity in this direction, periodicity in this direction, periodicity in this direction, any direction periodicity. And then something amazing happened. The International Union of Crystallography, those hard core mathematicians, came up with a new definition of a crystal. And this definition we will read it slowly because it is a poem. It is such a soft definition it’s a poem. And this comes from the International Union of Crystallography, this hardcore mathematical crystallography body. Let’s read it. It says the following. It doesn’t say crystal is. Not a discrete diffraction diagram, an essentially discrete diffraction diagram. This is now the definition of a crystal. Can you believe it? So what happened? How come these hardcore body of mathematical crystallographers start to compose poems as a definition for a crystal. And you have to know that the definition of a crystal is the foundation of a science. What is a crystal, this is a crystal. This is the foundation of the science. So what happened? And the story is about what happened. And now to understand what happened let me take you back to my laboratory. And here is lesson 1 to the young people amongst you. When you perform an experiment, make a note of it. Write it in a logbook because sometime in the future it will be very important to show that on that date you saw what you saw. Write it in a logbook. And here’s a picture of my electron microscopy experiment logbook. It was not meant to be seen by you, it was meant to be seen by me only. I apologise for the sloppy handwriting. But, you know, in the electron microscopic room it’s very dark. And it’s only for me, so it’s all shortcuts and things. But let’s see what it says. Number 1, it has a date. So in your logbook put a date. The material that I was working on aluminium 25wt% manganese and it was rapidly solidified. I worked only on rapidly solidified material in those years. There is a running number of plates in the electron microscope. SAD doesn’t mean that I was sad, it means selected area diffraction pattern. It’s a diffraction pattern, right. And so on and so forth. So I work, it’s a nice April morning and I’m there in the dark and still of outside working. And then I arrive at plate number 1724. And I look at this plate. I will show you this plate. I’ll show you the picture. And I said: “Hmm, that is very interesting. What do we see?” Then I took a diffraction pattern of that. And then I write: “10-fold!!!” What’s going on? Ok, so this is the picture. Let me explain to you. This is a polycrystalline material. This is one crystal, here is another crystal, here is another crystal. This crystal here is pitch black. This crystal here is pitch black, pitch black, pitch black. Pitch black means and this is bright for the image using the transmitter beam. Pitch black means that the energy that goes to the transmitted beam is very low. There is almost no electrons going there. Everything goes for the diffraction pattern. Hmm, I have never seen such a black crystal and I was a mature, a veteran electron microscopist at the time. So I say: “Let me take a diffraction pattern.” So I took a diffraction pattern from one of these. Let’s say from here. And this is what I see. So I look at this diffraction pattern. And said: “Hmm, what’s going on? This is very, very strange.” Number 1: What is the rotational symmetry I ask myself and start to count. But that is not all. Periodicity is gone. There is no periodicity in this diffraction pattern. Look here. Ok, look at this red line. If you take the distance from here to here, this faint spot here, you multiply by 2 you get here. And there is nothing there. Take the distance from here to here, multiply it by 2, you get here. There is nothing there. No periodicity. Ten-fold rotational symmetry. Such animals do not exist. So the ratio of distances, let’s say from here to here, divided by the distance from here to here, comes out to be the Fibonacci number tau, 1.618. It’s an irrational number. And what I just said is wrong. Because you cannot get an irrational number by taking 2 numbers and dividing by each other. This comes from theory later on. But this is how irrational numbers come into crystallography. And this is why the Fibonacci number comes into this particular phase which was later on called icosahedral phase. And I’ll tell you why. And the Fibonacci number tau is this number, 1 plus root 5 divided by 2 and it’s 1.618.... An endless number of digits behind it. Ok. By the way, as you saw, it’s a ten-fold rotational symmetry but really it’s five-fold. And you cannot tell by looking at the diffraction pattern. You have to make one more experiment called Kikuchi line experiment and then you see that it’s really five-fold. We shall not dwell on that for the sake of time. This five-fold rotational symmetry diffraction pattern was not the only one because you can take your crystal and you can tilt it in the microscope and get different orientation. You can also rotate it and get to any orientation that you need. And so we have the five-fold here, three-fold here, two-fold here and three-fold here, 5, 3, 2, 3. And in another direction 5, 2, 5. This set of diffraction pattern has an icosahedral symmetry. And let me tell you what I thought when I saw that. You see, I knew about twins. And these are pictures that I took many years before. What you see here are twinned crystals. One minute of explanation. These are carbon atoms in diamond. This is a crystal. This is another crystal, number 3, number 4, number 5. But this crystals have boundaries between them. Here is boundary number 1, number 2, number 3, number 4, number 5. But these are not just any boundaries. These are twin boundaries because these crystals are twin related. They look like twins. Let me explain. Look at this line of atoms. It continues here. So this boundary is like a mirror boundary. This continues here. And this continues here. And this continues here. And this continues here. And so on and so forth. These are twins. Now, if you take a diffraction pattern from one of these crystals. Let’s say from here. You will get a regular periodic diffraction pattern. But if you take a diffraction pattern from all of them together. Then you have 5 superimposed diffraction patterns. Superimposed and that will have a five-fold rotational symmetry. But it’s a pseudo five-fold because it’s not taken from one crystal, it is taken from 5 crystals which are 72 degrees from each other. Why 72? 360 divided by 5. This is what I saw. I was looking for the twins. I said to myself: “Record the twins and forget it.” I couldn’t find the twins. So this is a diffraction pattern that you will have if you take a diffraction pattern from all of them, all 5 of them. And if you want to see just 1, here is 1. This is a periodic diffraction pattern and the rest is just superposition. Ok, let’s continue. Then in order to find these twins I performed a series of experiments. We just zip through this experiment. Experiment number 1 called dark field experiment. And I’m not going to explain this but just telling you that this picture was taken by using this diffraction spot. This by using this diffraction spot and so on and so forth. This showed me that there are no twins. I couldn’t find any twins. I performed another experiment called micro diffraction experiment. By that what you do in the electron microscopy, you converge your electron beam onto a very small spot, smallest as you can, and you take a diffraction pattern from that area, very, very small area. And if the twins are larger than that, if each grain is larger than that, then I should get a periodic diffraction pattern from that one crystal. But I couldn’t. Anywhere I went there was this five-fold rotational symmetry. That means that that diffraction pattern is the property of the crystal. It’s not twinning. I knew from day 1 it’s not twinning. Let me show you the last experiment. I didn’t do that, friends from France did that. They had a high resolution electron microscope in the early stages, in the early ‘80s. This is the lattice image. These are atoms. This is a diffraction pattern. But they did something else. They took an optical diffraction pattern. What does it mean? It means that they took an aperture, put it here, shone a laser beam onto it and saw the diffraction pattern generated from this area. And this is the diffraction pattern. This has ten-fold rotational symmetry or five-fold. This has five-fold rotational symmetry. So you can say: Ok, big deal. Both are Fourier transformed with the same image, so what’s the big deal? Ah ha, the big deal is that you can make these apertures smaller and smaller. This diffraction pattern will eventually disappear for a lack of information. But it doesn’t change. The five-fold rotational symmetry was an inherent property of the crystal. Step 2. 1984, the discovery as you remember was made in 1982, 1984, the end of 1983 actually I came back to the Technion from my postdoc at NBS, National Bureau of Standards, in Maryland where the discovery was made and there I found the first person who was willing to collaborate with me. And he has proposed a model that could describe how these materials could form. His name is Ilan Blech. And we sent the first paper for publication. To make a long story short the paper was utterly rejected by Journal of Applied Physics on grounds that it will not interest the community of physicists. Sent back and I sent it to another journal called Methodological Transactions. They accepted it and published it. But they published it deep into 1985. In the meantime I came back to NBS, met my host John Cahn and I showed him the paper and asked him: Let’s do something about else.” And send it to a different journal for a quick publication to Physical Review Letters, PRL. We sent it, it was published right away. And when this paper was published -it was the second one written, but the first one published- hell broke loose because all over the world I started to get telephone calls, emails, Skype, you know: And very quickly an eminent strong body of young scientists, mainly young scientists, started to grow around the world, repeated my experiments, they took my discovery and made it into a science. And that science grew very, very fast. Ok, let me say a couple of words about icosahedral symmetry. This is an icosahedron. And it has the same symmetry as the crystal. It has 6 five-fold axes, 10 three-fold axes, 15 two-fold axes. Just one example: If you look from here to the centre, clearly there is five-fold rotational symmetry here. And from here five-fold, from here five-fold. There are 6 of them. Enough of that. You can better understand it by looking at a football. That has an icosahedral symmetry. You can clearly see the five-fold here, two-fold here, three-fold here. And I doubt that football players know that they play with icosahedral symmetry. Now, in order to understand quasiperiodicity I have to take you back to the 13th century. And I wanted you to meet Mr. Leonardo Fibonacci de Pisa. And this is a painting of this young bright mathematician. And this is a picture of a statue that is on his grave. Behind the inclined tower of Pisa there is a graveyard under a roof, he is buried there. If you visit the inclined tower of Pisa go 50 metres behind it and say hello from me to Mr. Fibonacci, the greatest mathematician of his time. In order to understand quasiperiodicity you have to understand... And this is general knowledge. Everybody has to know about Fibonacci rabbits. So what did Fibonacci propose in the year 1202? He said the following. Let’s say that we have a female rabbit. And she has a husband or a boyfriend. He comes to visit and now she is pregnant. And in the second month she give birth to a little one. And she repeats this experiment every month. This little one... These are rabbits. So this little one has to mature for one month and then it can repeat this, ok? So in the 4th month we have this mother gives birth to a little one. This little one matures. And this mother gives birth to a little one. That’s it. You understand the rules, you can in principle continue this list forever. What should we know about this? Number 1: Let’s look at what is quasiperiodicity. And look here. We have large, small, large, large, small, large, small, large, large, small, large, large, small, large, small and so on and so forth. There is no motif of any size that repeats itself. And yet there is a clear rule, there is order here. Order means there is a clear rule how to continue this list forever. You know how to do it. There is a clear rule. Yet there is no periodicity. This is a quasiperiodicity arrangement in one dimension. Quasiperiodic arrangement in one dimension. There are 2 questions that you may want to know. Everything is very simple. Equation number 1: The number of rabbits in each month equals the sum of the number of rabbits in the 2 previous months. This means the following. If you go... If N goes to infinity, you continue this to infinity, then the ratio of the last one divided by the previous one is this irrational number tau, which is the Fibonacci number. That’s it. Now this is 1 dimensional quasi periodicity. What about 2 dimensions. Roger Penrose is an eminent scientist living in our time, mathematician, physicist, thinker, great scientist in England. These are the 2 Penrose tiles and when you put them together according to certain matching rules and the arrows will tell you what are the matching rules, you get the Penrose tiles. And the Penrose tiles is again quasiperiodicity in 2 dimensions. Ok, now the story. When I started to talk about my discovery, the people sort of were mostly negative but not all of them. John Cahn, my host, was encouraging. He said: “Danny, this is something that... Your discovery is telling us something. And I challenge you to tell us what it is. What do we have?” Other people were negative. My group leader told me to leave the group because I was a disgrace to his group. He didn’t want to be associated with me. Ok, so the feeling was sort of heavy. And if you want to see what I felt, it was something like that. So these were the first 2 years. And then in 1984 we published the first paper. By now we have a growing community of scientists who developed the field and the field grew very fast. Yet not everybody accepted quasiperiodicity. And the International Union of Crystallographers, which is the final stamp of what is right and what is wrong in crystallography, they say: We do not accept your electron diffraction. Give us x-ray diffraction.” And for 3 years we could not give them that because we didn’t have large enough crystals to make x-ray diffraction experiment for one crystal. But in 1987 we had that. Not me. My colleagues in France and in Japan send me very nice pictures and here is an example of that. This is Laue diffraction pattern, x-ray diffraction pattern, five-fold, three-fold, two-fold, beautiful picture. I showed that in Perth Australia in the meeting of the International Union of Crystallography in 1987 and when I showed this picture, this very picture, people said: “Ok, Danny, now you’re talking.” They accepted quasiperiodicity and created a committee that redefine crystal. And you saw the definition before. So you may think: “Ok, this is the end, right? Everybody believes you now.” Not so fast. Because then there was Professor Linus Pauling. Now, Professor Linus Pauling was the greatest chemist of the 20th century. Definitely in the United States. Not only that, he was the godfather of the American Chemical Society and he had hundreds of thousands of followers. And he stood on stages saying: “Danny Shechtman is talking nonsense. There are no quasicrystals, just quasi-scientists.” But he was wrong. He continued his fight on different stages. By the way he was a flamboyant speaker, really an excellent speaker. And he was a great scientist. But he made a couple of mistakes. And mine is one of them. Anyway, he died in 1994, 10 years after ’84, publication. For 10 years he fought and then he died and that was the end of rejection. To end I want to... Let me tell you something young people. When somebody dies, you have to be sorry. You don’t laugh when somebody dies especially if he’s such an eminent scientist like Linus Pauling, a great theorist. Seminal contributions, very quickly. Roger Penrose and Alan Mackay. Roger Penrose, Penrose tile. And Alan Mackay mathematician. Britain, great, living in our time. Took Penrose tile, made a diffraction pattern, voila. Five-fold rotational symmetry. Diffraction pattern. Sharp points. Very important contribution. I didn’t know about Alan Mackay because he published it in Russia in an obscure journal. Ilan Blech, Denis Gratias and John Cahn published with me the first paper. And Dov Levine and Paul Steinhardt developed... Dov Levine is now professor at Technion. Paul Steinhardt is in Princeton. They developed the tiling model. Connected Penrose tile to quasiperiodic crystals, the tiling model. So now we know that order as before was only periodicity and now we know that order can be periodic and quasiperiodic. And I don’t have time to ask you this question, why quasi periodic materials were never discovered before 1982. And I don’t have time to answer the question. So let me just run through this very quickly to the end. And at the end I want to show you a picture that I took lately in Easter Island. Ok, this is wonderful but, ok these are quasiperiodic crystals. Ah ok, five-fold flowers from Easter Island. Sorry we don’t have more time, thank you very much. Applause.

Die Lindauer Tagung ist etwas ganz Besonderes. Die jungen unter Ihnen realisieren das noch nicht, aber es gibt keine vergleichbare Veranstaltung auf der Welt, bei der so viele Nobelpreisträger auf so viele Studenten treffen und mit ihnen ihre Erfahrungen teilen und sich für die Wissenschaft stark machen. Daher danke ich dem Komitee für die Einladung hier zu sprechen. Das Thema meines Vortrags lautet: Quasiperiodische Materialien – crystal redefined. Es geht um die Neudefinition des Kristalls, die einen Paradigmenwechsel in der Wissenschaft der Kristallographie bedeutete. Um Ihnen das verständlich zu machen, nehme ich Sie mit in die Mitte der 80er Jahre. Damals wurden in drei aufeinander folgenden Jahren drei überraschende Entdeckungen bezüglich der Struktur und der Eigenschaften von Materie gemacht. Es begann mit der Entdeckung quasiperiodischer Kristalle im Jahr 1984 – durch mich, Blech, Gratias und John Cahn. Darum geht es in meinem heutigen Vortrag. Drei Entdeckungen, drei Nobelpreise – 1984, 1985, 1986. Im Falle der Hochtemperatur-Supraleitfähigkeit freuten sich alle. Wie Sie wissen, wurde die Supraleitfähigkeit 1909 entdeckt, doch niemand erwartete, dass Materialien bei Temperaturen über 30 Grad Kelvin supraleitend sind. Als dann die Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleitfähigkeit kam, waren alle glücklich. Niemand hatte Einwände. Als die Fullerene – eine neue Anordnung von Kohlenstoffatomen – entdeckt wurden, war das ebenfalls eine große Sache. Wie erzeugt man Fullerene? Man nimmt eine einzelne Graphitschicht und faltet sie zu einem Ball, dem so genannten Buckyball, benannt nach dem berühmten Architekten Buckminster Fuller. Dieses C60-Molekül war eine tolle Entdeckung. Niemand hatte Einwände. Doch als wir die quasiperiodischen Kristalle entdeckten und veröffentlichten, stießen wir auf erheblichen Widerstand seitens der führenden Köpfe in der wissenschaftlichen Fachwelt. Ich werde Ihnen die Geschichte im Verlauf meines Vortrages erzählen und Ihnen auch verraten, wie sie ausging. Bevor ich beginne, möchte ich jedoch, dass Sie das Thema meines heutigen Vortrages verstehen. Deshalb erläutere ich Ihnen zunächst einige sehr einfache Grundbegriffe zum Thema Ordnung, Periodizität und Rotationssymmetrie. Beginnen wir mit der Ordnung. Sie sehen hier eine Darstellung eines zweidimensionalen Kristalls. Sie erkennen deutlich, dass diese Atome geordnet sind. Wenn ich Sie bitten würde, das Muster in diese oder jene Richtung fortzuführen, wäre das kein Problem für Sie, denn Sie verstehen das Prinzip. Soweit zu diesem Punkt. Wie sieht es mit der Periodizität aus? Diese Ordnung ist periodisch. Schauen Sie in diese Richtung – zwischen jeweils zwei Atomen herrscht immer derselbe Abstand. Das ist Periodizität. Ein periodisches Gitter ist in alle Richtungen periodisch, in diese, in diese, in diese – in jede Richtung, die Sie möchten. Ein ausgerichtetes Gitter bedeutet die Verknüpfung zweier Atome. In jede Richtung, die Sie wählen, herrscht Periodizität. Und worum geht es bei der Rotationssymmetrie? Übrigens kann man Periodizität auch so darstellen. Das hier ist ein Zaun vor einem Hotel auf der Osterinsel, wo ich vor einigen Wochen war. Ein wunderbarer Platz, die Osterinsel. Ich hoffe, unter den Zuhörern befinden sich auch Chilenen; Sie können stolz auf diesen Ort sein. Wie auch immer – sehen Sie, wie sich dieses Motiv wiederholt? Hier und hier und hier? Das ist Periodizität. Jetzt also zur Rotationssymmetrie. Wir haben hier dasselbe Gitter, das ich allerdings oben mit dieser kleinen roten Kurbel versehen habe. Dreht man das Gitter mit der Kurbel um 90 Grad, sieht es genauso aus wie vorher. Dreht man es um 180 Grad, sieht es ebenfalls genauso aus wie vorher. Das Gleiche passiert, wenn man es um 270 bzw. 360 Grad dreht. Da man es viermal drehen kann, hat dieses Gitter eine 4-fache Rotationssymmetrie. So viel als Einführung in unser Thema. Ein Bild ist rotationssymmetrisch, wenn es einen Mittelpunkt besitzt, um den das Objekt in einem bestimmten Winkel gedreht wird, und das Objekt immer gleich aussieht, d.h. während der Drehung mehrfach mit sich selbst übereinstimmt. Hier haben wir ein paar Beispiele. Die Karte hier links besitzt eine 2-fache Rotationssymmetrie. Sie lässt sich um 180 Grad drehen und sieht genauso aus wie vorher. Dreht man sie erneut um 180 Grad, ist sie wieder in ihrer Ausgangsposition. Sie ist also 2-fach rotationssymmetrisch. Das Dreieck weist eine 3-fache Rotationssymmetrie auf, die Blume eine 5-fache und die Pizza eine 6-fache. Diese Motive können jede Rotationssymmetrie aufweisen, die Sie möchten; es gibt keine Beschränkungen. Nun ein paar Wort zur Kristallographie. Wie Sie wissen, hatten die Griechen bereits eine Vorstellung von Atomen. Sie erfanden das Wort. Sie entdeckten, dass die Atome in natürlich vorkommenden Kristallen bzw. Kristallen, die sie züchteten, z.B. Salzkristalle in einer bestimmten Anordnung vorliegen. Sie kamen auf diese Idee, weil Kristalle Facetten besitzen. Daraufhin maßen sie die Winkel zwischen den Facetten. Sie dachten, wenn das Material aus Atomen besteht, müssen diese in einer bestimmten Art und Weise angeordnet sein. Man hatte also in der Antike bereits eine Vorstellung von Kristallen. Ich möchte dazu aber etwas anmerken. Wenn Sie denken, die alten Griechen verstanden etwas von Wissenschaft, so liegen Sie falsch. Sie waren wirklich gänzlich unwissend. Doch ab und an stößt man in der Vergangenheit auf einen Funken Wahrheit, einen guten Gedanken. Die meisten ihrer Ideen waren aber reiner Unsinn. Die eigentliche Wissenschaft der Kristallographie begann mit dem Experiment des deutschen Wissenschaftlers von Laue im Jahr 1912, der erstmals eine Röntgenbeugung durchführte. Er bewies in seinem wunderbaren Experiment zwei Dinge, nämlich dass Röntgenstrahlen eine Wellennatur haben und Kristalle in der Tat die Ordnung aufweisen, die man vermutet hatte. Der Kristall, an dem von Laue arbeitete, und die Kristalle, die später untersucht wurden, hatten alle etwas gemeinsam, und zwar die Periodizität. Alle Kristalle, die in den 70 Jahren zwischen 1912 und 1982 untersucht wurden, waren periodisch. Es gab keine Ausnahme. Auf dieser Grundlage erfolgte die Definition von Kristallen. Sie entstammte nicht der Theorie, sondern der Erfahrung. Wenn zehntausende herausragender Röntgenkristallographen hunderttausende von Kristallen präzise vermessen und übereinstimmend feststellen, dass Kristalle periodisch sind, ist das Ergebnis die folgende Definition. Dieses Zitat stammt aus einem Buch von Culity: “Ein Kristall ist definitionsgemäß ein Feststoff, der aus Atomen besteht, die in einem dreidimensional periodischen Muster angeordnet sind.” Das ist ein Kristall. Einfach, kein Problem. Eine andere Definition stammt aus einem Buch von Barrett und Massalski. Dieselbe Definition, nur anders ausgedrückt: das sich dreidimensional durch das Innere des Kristalls wiederholt.” Wiederholung und Periodizität, genau dasselbe. Die Wissenschaft der Kristallographie untersteht auch heute noch dem so genannten Internationalen Kristallographie-Verband. Ihre Mitglieder sind ernsthafte Mathematiker, die sicherstellen, dass alle Definitionen richtig sind und kein Wort zu viel enthalten. Diese Leute sind äußerst streng. Sie akzeptierten die obige Definition, und ab da galt die Kristallographie als ausgereifte Wissenschaft. Eine ausgereifte Wissenschaft ist eine, in der keine Revolutionen zu erwarten sind. Die Biologie beispielsweise ist keine ausgereifte Wissenschaft. Dort erwarten wir jeden Tag neue Enthüllungen, neue Entdeckungen. Die Kristallographie dagegen galt als etablierte Wissenschaft, und man ging nicht davon aus, dass sich darin irgendetwas Neues tut. Hier haben wir ein Buch über Kristallographie; es ist von Charles Kittel und trägt den Titel “Einführung in die Festkörperphysik”. Da ich weiß, dass Sie die grün unterstrichenen Stellen nicht lesen können, habe sich sie vergrößert. Hier heißt es: “Wir können einen Kristall aus Molekülen herstellen, die einzeln eine 5-fache Rotationsachse besitzen, sollten aber nicht erwarten, dass das Gitter eine 5-fache Rotationsache aufweist.” Warum das? Weil alle Kristalle periodisch sind und in einem periodischen Kristall... Ich habe leider nicht die Zeit, Ihnen den Beweis zu zeigen; ich versichere Ihnen aber, dass es ihn gibt und er ganz simpel ist. Es ist also erwiesen, dass in periodischen Kristallen keine 5-fache Rotationssymmetrie existiert. Soweit die Lehrbücher. Als Nächstes möchte ich Ihnen zeigen, wie Kristalle aussehen. Wir haben hier eine transmissionselektronenmikroskopische Aufnahme der Atome eines Diamanten. Dabei handelt es sich natürlich um Kohlenstoffatome. Sie sehen, dass die Struktur periodisch ist, und zwar in alle Richtungen, z.B. in diese, in diese oder in diese. Die Ordnung der Kohlenstoffatome in einem Diamanten ist periodisch. Die erlaubten Rotationssymmetrien sind 1-, 2-, 3-, 4- und 6-fach. Nicht 5-fach und nicht mehr als 6-fach. Die Kristallographie war also eine zufriedene, ruhige Wissenschaft, in der man nicht mit neuen Enthüllungen rechnete. Werfen wir nun einen Blick auf den reziproken Raum. Dabei handelt es sich um einen Raum, in dem ein Beugungsmuster auftritt. Der reziproke Raum ist eine Erfindung. Wir erfanden ein mathematisches Konzept mit diesem Namen, um Beugungsmuster zu verstehen. In diesem Fall haben wir ein Elektronenbeugungsmuster. Was ist ein Elektronenbeugungsmuster? Man erzeugt eine dünne Probe und legt sie in ein Elektronenmikroskop. Jetzt durchdringt ein Strahl aus beschleunigten Elektronen die Probe, trifft auf ein Phosphorraster und erzeugt hier in der Mitte diesen Punkt. Doch ein Teil der Energie des Strahls wird gebeugt; es kommt zu einer Elektronenbeugung. Alle anderen Punkte, die Sie hier sehen, mit Ausnahme des Transmissionsstrahls, stellen den Beugungsstrahl dar. Das ist ein Elektronenbeugungsmuster. Was lässt sich über dieses Elektronenbeugungsmuster sagen? Erstens: Da es von einem periodischen Gitter stammt, ist es periodisch. Die Rotationssymmetrie im reziproken Raum entspricht der des echten Raums, d.h. sie darf 1-, 2-, 3-, 4- und 6-fach sein, aber nicht 5-fach und nicht mehr als 6-fach. Einfach. Außerdem liegt eine Periodizität in diese, diese und diese Richtung, d.h. in alle Richtungen vor. Jetzt geschah etwas Erstaunliches. Der Internationale Kristallographie-Verband – diese staubtrockenen Mathematiker – warteten mit einer neuen Definition des Kristalls auf. Ich werde sie Ihnen langsam vorlesen, denn sie ist lieblich wie ein Gedicht In der Definition heißt es nicht “Ein Kristall ist”, sondern “Mit Kristall meinen wir...” – butterweich – “jeden Feststoff” – hören Sie gut zu – “... jeden Feststoff mit einem im Wesentlichen diskreten Beugungsdiagramm.” Nicht “einem diskreten Beugungsdiagramm”, sondern “einem im Wesentlichen diskreten Beugungsdiagramm”. in dem eine dreidimensionale Gitterperiodizität als abwesend gelten kann.” Ein Gedicht. Das ist also jetzt die Definition eines Kristalls. Ist das zu glauben? Was war passiert? Wie kommen diese knochentrockenen Mathematiker dazu, die Definition eines Kristalls in Gedichtform zu verfassen? Sie müssen wissen, dass die Definition des Kristalls die Grundlage unserer Wissenschaft ist. Was ist ein Kristall? Das ist ein Kristall. Das ist die Basis. Was also war geschehen? Ich werde Ihnen die Geschichte erzählen. Damit Sie die Geschehnisse verstehen, nehme ich Sie mit in mein Labor. Und hier haben wir auch gleich schon Lektion Nr. 1 für die jungen Wissenschaftler unter Ihnen. Sie führen ein Experiment durch? Machen Sie sich Notizen! Schreiben Sie ein Protokoll, denn es könnte später von großer Bedeutung sein, um zu belegen, dass Sie an einem bestimmten Tag etwas Bestimmtes gesehen haben. Vermerken Sie alles in einem Protokoll. Hier sehen Sie ein Bild des Protokolls über mein elektronenmikroskopisches Experiment. Es war nicht für Ihre Augen bestimmt, sondern lediglich für meine. Ich entschuldige mich deshalb für die schlampige Handschrift, aber im Elektronenmikroskopraum ist es sehr dunkel. Und da ich die Notizen nur für mich gemacht habe, stehen hier all diese Abkürzungen und so weiter. Schauen wir einmal nach, was da drin steht. Zunächst einmal ist da ein Datum. Schreiben Sie immer ein Datum in Ihr Protokoll. Dann ist da das Material, mit dem ich gearbeitet habe, Aluminium mit 25 Gewichtsprozenten Mangan, das rasch auskristallisiert. Damals habe ich ausschließlich mit rasch auskristallisierenden Materialien gearbeitet. Diese Platten sind fortlaufend nummeriert. SAD bedeutet nicht, dass ich traurig war, es steht für “selected area diffraction pattern”, das Beugungsmuster einer ausgewählten Fläche. Und so weiter und so fort. Also, es ist ein schöner Aprilmorgen und ich arbeite hier im Dunkeln anstatt draußen das schöne Wetter zu genießen. Ich komme zu Platte Nr. 1724 – ich werde Ihnen gleich ein Bild davon zeigen – und denke mir “Hm, das ist ja interessant. Was ist denn darauf zu sehen?” Ich nehme ein Beugungsmuster auf und schreibe ins Protokoll “10-fach???” Was war geschehen? Das hier ist das Bild; ich werde es Ihnen erklären. Es handelt sich um ein polykristallines Material. Hier ist ein Kristall, hier ein anderer und hier noch einer. Dieser Kristall ist pechschwarz, dieser und dieser auch. Pechschwarz bedeutet – aufgrund des Transmissionsstrahls ist das ein helles Bild – dass die Energie, die in den Transmissionsstrahl fließt, sehr gering ist. Es wandern kaum Elektronen dorthin, sie bewegen sich alle zum Beugungsmuster. Ich hatte noch nie einen so schwarzen Kristall gesehen und ich war damals schon ein Elektronenmikroskopveteran. Ich beschloss also, ein weiteres Beugungsmuster aufzunehmen, und suchte hierfür eine andere Stelle aus, sagen wir diese hier. Ich schaute mir das neue Beugungsmuster an und dachte “Hm, was ist da los? Das ist wirklich sehr merkwürdig.” Zwei Dinge sind hier merkwürdig. Erstens: Ich fragte mich, welche Rotationssymmetrie wohl vorliegt, und fing an zu zählen. Also schrieb ich 10-fach mit drei Fragezeichen in mein Protokoll. Aber das war noch nicht alles. Es gab keine Periodizität in diesem Beugungsmuster. Schauen Sie sich diese rote Linie an. Multipliziert man diesen Abstand von hier nach hier, zu diesem undeutlichen Punkt, mit 2, ist man hier. Aber hier ist nichts. Multipliziert man diesen Abstand von hier nach hier mit 2, ist man hier. Auch hier ist nichts. Keine Periodizität. Eine 10-fache Rotationssymmetrie. So etwas existiert nicht. Der Abstand von hier nach hier, geteilt durch den Abstand von hier nach hier, ergibt 1,618. Das ist die Fibonacci-Zahl Tau, eine irrationale Zahl. Was ich eben gesagt habe, ist falsch, denn man erhält keine irrationale Zahl, wenn man zwei Zahlen dividiert. Das ergibt sich erst später aus der Theorie. Auf diese Weise tauchte eine irrationale Zahl, die Fibonacci-Zahl in diesem später als Ikosaederphase bezeichneten Stadium auf. Ich sage Ihnen auch warum. Die Fibonacci-Zahl ist diese Zahl Tau: 1 plus Wurzel aus 5 geteilt durch 2 ist gleich 1,618 Übrigens sieht das zwar aus wie eine 10-fache Rotationssymmetrie, in Wirklichkeit ist es aber nur eine 5-fache Rotationssymmetrie. Durch Betrachtung des Beugungsmusters lässt sich das jedoch nicht feststellen; man muss hierfür ein weiteres Experiment durchführen, das so genannte Kikuchi-Linien-Experiment. Dann sieht man, dass es sich in Wirklichkeit um eine 5-fache Rotationssymmetrie handelt. Ich werde aber aus Zeitgründen nicht näher darauf eingehen. Dieses Beugungsmuster mit 5-facher Rotationssymmetrie war allerdings nicht das einzige, denn man kann den Kristall im Mikroskop neigen und anders ausrichten. Man kann ihn auch drehen und so ausrichten, wie man es braucht. Auf diese Weise haben wir hier eine 5-fache, hier eine 3-fache, hier eine 2-fache und hier eine 3-fache Rotationssymmetrie – 5, 3, 2, 3. Und in die andere Richtung 5, 2, 5. Diese Beugungsmuster weisen eine Ikosaeder-Symmetrie auf. Ich möchte Ihnen erzähle, was ich dachte, als ich das sah. Ich wusste, dass es Zwillingskristalle gibt. Diese Bilder habe ich vor vielen Jahren aufgenommen; sie stellen einen Zwillingskristall dar. Ich erkläre das kurz. Das hier sind Kohlenstoffatome in einem Diamanten. Das ist ein Kristall, das ist ein anderer Kristall, Nummer 3, Nummer 4, Nummer 5. Doch zwischen diesen Kristallen befinden sich Grenzen. Das ist Grenze Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3, Nummer 4, Nummer 5. Doch das sind nicht einfach irgendwelche Grenzen, es sind Zwillingsgrenzen, denn diese Kristalle sind wie Zwillinge miteinander verbunden. Sie sehen aus wie Zwillinge. Lassen Sie mich das erklären. Sie sehen diese Reihe von Atomen, die sich hier fortsetzt. Diese Grenze ist wie eine Spiegelgrenze, sie setzt sich nach hier, nach hier, nach hier usw. fort. Es sind Zwillingsgrenzen. Erstellt man ein Beugungsmuster von einem dieser Kristalle, sagen wir von dieser Stelle, erhält man ein regelmäßiges periodisches Beugungsmuster. Erstellt man aber ein Beugungsmuster von allen Kristallen, entstehen fünf überlagerte Beugungsmuster mit einer 5-fachen Rotationssymmetrie. Es handelt sich dabei jedoch nur scheinbar um eine 5-fache Symmetrie, denn sie stammt nicht von einem Kristall, sondern von fünf Kristallen, die jeweils 72 Grad Abstand voneinander haben. Warum 72 Grad? 360 Grad geteilt durch 5. Und genau das habe ich gesehen. Ich suchte also nach den Zwillingen und dachte mir, ich mache eine Aufnahme davon und das war’s. Ich konnte aber keine Zwillinge finden. Das ist das Beugungsmuster, das entsteht, wenn man Beugungsmuster von allen fünf Kristallen erstellt. Wenn Sie ein einzelnes Muster sehen wollen – schauen Sie hier. Das ist ein periodisches Beugungsmuster, der Rest ist nur Überlagerung. Machen wir weiter. Um die Zwillinge zu finden, führte ich eine Reihe von Experimenten durch, die ich aber jeweils nur kurz anreißen möchte. Experiment Nr. 1 war das so genannte Dunkelfeldexperiment. Ich werde das jetzt nicht näher erläutern, sage Ihnen aber, dass dieses Bild mit diesem Beugungspunkt, dieses Bild mit diesem Beugungspunkt und so weiter aufgenommen wurde. Dadurch wurde mir klar, dass es keine Zwillinge gab. Ich konnte keine Zwillinge finden. Ich führte ein weiteres Experiment durch, das so genannte Mikrobeugungsexperiment. In der Elektronenmikroskopie fokussiert man den Elektronenstrahl auf einen möglichst kleinen Punkt; von dieser winzig kleinen Stelle erstellen Sie dann ein Beugungsmuster. Sind die Zwillinge, die einzelnen Körner größer als diese Stelle, erhalten Sie ein periodisches Beugungsmuster dieses Einkristalls. Aber das gelang mir nicht. Wohin ich auch schaute, überall fand sich eine 5-fache Rotationssymmetrie. Das bedeutete, dass dieses Beugungsmuster eine Eigenschaft des Kristalls ist. Es handelt sich nicht um einen Zwillingskristall – das wusste ich vom ersten Tag an. Ich möchte Ihnen noch das letzte Experiment zeigen. Ich habe es nicht selber durchgeführt, sondern Freunde aus Frankreich. Sie verfügten Anfang der 80er Jahre über eines der ersten hochauflösenden Elektronenmikroskope. Hier sehen Sie das Gitterbild, hier die Atome. Das ist ein Beugungsmuster. Zusätzlich nahmen sie ein optisches Beugungsmuster auf, d.h. sie richteten unter Verwendung einer Blende einen Laserstahl auf einen bestimmten Punkt und erhielten so das Beugungsmuster dieser Stelle. Hier ist es. Es besitzt eine 10-fache bzw. 5-fache Rotationssymmetrie. Man kann also sagen, tolle Sache, beide sind Fourier-transformiert mit demselben Bild. Aber was ist so besonders daran? Der Punkt ist, dass man die Blende immer kleiner machen kann, bis das Beugungsmuster schlussendlich mangels Informationen verschwindet. Das Muster veränderte sich aber nicht. Die 5-fache Rotationssymmetrie war eine inhärente Eigenschaft des Kristalls. Schritt 2. Als ich 1984 von meiner Postdoc-Stelle am National Bureau of Standards (NBS) in Maryland, wo wir, wie Sie wissen, Ende 1983 die Quasikristalle entdeckt hatten, ans Technion zurückkehrte, stieß ich zum ersten Mal auf jemanden, der bereit war mit mir zusammenzuarbeiten. Er schlug ein Modell vor, das die Entstehung dieser Materialien beschreiben könnte. Sein Name war Ilan Blech. Wir reichten also das erste Paper zur Veröffentlichung ein. Um es kurz zu machen: Das Paper wurde vom Journal of Applied Physics von vorneherein abgelehnt, und zwar mit der Begründung, es sei für die physikalische Fachwelt nicht von Interesse. Also reichten wir es bei einem anderen Journal namens Methodological Transactions ein, die es zwar akzeptierten und publizierten, jedoch erst 1985. In der Zwischenzeit ging ich zurück ans NBS, traf mich dort mit meinem Gastgeber John Cahn und zeigte ihm das Paper. Ich fragte ihn: “Warum wurde das Paper deiner Meinung nach abgelehnt?”, und er sagte: “Danny, das ist eine fantastische Sache. Damit müssen wir etwas anfangen.” Er reichte das Paper bei einer anderen Fachzeitschrift, Physical Review Letters (PRL), zur Schnellpublikation ein und es wurde umgehend veröffentlicht. Kaum war das Paper erschienen – es war das zweite, das wir geschrieben hatten, aber das erste, das publiziert wurde – brach die Hölle los, weil mich Leute aus aller Welt anriefen, mir E-Mails schickten oder mir über Skype mitteilten: “Hey Danny, wir haben es geschafft, das ist fantastisch!” Sehr schnell entstand weltweit eine ungemein starke Gemeinschaft aus vor allem jungen Wissenschaftlern, die meine Experimente wiederholten, meine Entdeckung aufgriffen und sie zu einem Wissenschaftszweig machten, der unglaublich rasch wuchs. Ich möchte aber noch ein paar Worte zur Ikosaeder-Symmetrie sagen. Das ist ein Ikosaeder, er besitzt dieselbe Symmetrie wie der Kristall, d.h. er weist sechs 5-fache Achsen, zehn 3-fache Achsen und fünfzehn 2-fache Achsen auf. Nur ein Beispiel: Blickt man von hier zur Mitte, sieht man deutlich die 5-fache Rotationssymmetrie; auch von hier und von hier aus sieht man eine 5-fache Symmetrie. Es sind insgesamt sechs 5-fache Symmetrien. Doch genug davon. Sie verstehen das Ganze besser, wenn Sie sich einen Fußball anschauen – er besitzt eine Ikosaeder-Symmetrie. Sie erkennen deutlich die 5-fache Symmetrie hier, die 2-fache hier, die 3-fache hier. Ich bezweifle, dass Fußballspieler wissen, dass sie es mit einer Ikosaeder-Symmetrie zu tun haben. Damit Sie die Quasiperiodizität besser verstehen, müssen Sie mir in 13. Jahrhundert folgen. Dort stelle ich Ihnen Herrn Leonardo Fibonacci da Pisa vor. Das ist ein Gemälde dieses jungen klugen Mathematikers. Und das ist ein Bild von einer Statue auf seinem Grab. Hinter dem Schiefen Turm von Pisa befindet sich ein überdachter Friedhof; dort ist er begraben. Wenn Sie den Schiefen Turm besuchen, gehen Sie die 50 Meter bis zum Friedhof und richten Sie Herrn Fibonacci, dem größten Mathematiker seiner Zeit, einen schönen Gruß von mir aus. Um die Quasiperiodizität zu verstehen, müssen Sie... Das ist Allgemeinwissen, jeder muss die Fibonacci-Kaninchen kennen. Welche Hypothese stellte Fibonacci im Jahr 1202 auf? Er sagte Folgendes: Nehmen wir an, wir haben ein weibliches Kaninchen. Sie hat einen Ehemann oder Liebhaber. Er kommt auf Besuch und jetzt ist sie trächtig. Einen Monat später bringt sie ein Junges zur Welt. Sie wiederholt dieses Experiment jeden Monat. Dieses Junge… das sind Kaninchen. Dieses Junge ist in einem Monat erwachsen, dann kann es sich fortpflanzen. Nach vier Monaten bringt diese Mutter ein Junges zur Welt. Das Junge wird erwachsen und bringt ebenfalls ein Junges zur Welt. Das war’s. Wenn Sie die Regeln verstehen, können Sie diese Liste im Prinzip unendlich fortführen. Was sollten wir darüber wissen? Zunächst sollten wir uns anschauen, was Quasiperiodizität ist. Hier haben wir ein großes Kaninchen, hier ein kleines, ein großes, ein kleines, ein großes, ein kleines, groß, klein, groß, klein und so weiter. Es gibt kein Motiv irgendeiner Größe, das sich wiederholt. Und dennoch existiert eine klare Regel, es herrscht eine Ordnung. Ordnung bedeutet, dass es eine klare Regel gibt, wie sich die Liste unendlich weiterführen lässt. Sie wissen, wie das geht, es existiert eine klare Regel. Dennoch liegt keine Periodizität vor. Es handelt sich um eine eindimensionale quasiperiodische Anordnung. Hierzu möchten Sie vielleicht zwei Dinge wissen. Alles ist ganz einfach. Gleichung Nr. 1: Die Anzahl der Kaninchen pro Monat ist gleich der Summe der Anzahl der Kaninchen in den beiden vorangegangenen Monaten. Das bedeutet, wenn N gegen Unendlich geht, d.h. man diese Liste unendlich fortführt, dann ist das Verhältnis der letzten Zahl geteilt durch die vorangegangene Zahl die irrationale Zahl Tau, die Fibonacci-Zahl. Das ist also eindimensionale Quasiperiodizität. Wie sieht es zweidimensional aus? Das Penrose-Parkett. Roger Penrose ist ein bedeutender zeitgenössischer Wissenschaftler – Mathematiker, Physiker und Denker – aus England. Sie sehen hier die beiden Penrose-Kacheln; fügt man sie nach bestimmten Regeln, die durch die Pfeile angegeben sind, zusammen, erhält man das Penrose-Parkett. Auch hier haben wir wieder eine Quasiperiodizität, diesmal zweidimensional. Drei Dimensionen? Voilà. Das sind quasiperiodische Kristalle, in denen die Atome quasiperiodisch angeordnet sind. Ok, jetzt die Geschichte. Als ich begann, von meiner Entdeckung zu erzählen, standen mir die meisten Leute ziemlich negativ gegenüber – jedoch nicht alle. John Cahn, mein Gastgeber, ermutigte mich und meinte: “Danny, wir haben hier etwas, das... Deine Entdeckung will uns etwas sagen. Ich möchte, dass du dich dieser Herausforderung stellst und herausfindest, womit wir es hier zu tun haben.” Andere Leute äußerten sich abwertend. Mein Arbeitsgruppenleiter forderte mich auf, seine Gruppe zu verlassen, weil ich sie blamieren würde. Er wollte nicht in einem Atemzug mit mir genannt werden. Es herrschte also eine ziemlich angespannte Atmosphäre. Wenn Sie wissen wollen, wie ich mich gefühlt habe – etwa so. Das waren die ersten beiden Jahre. Dann publizierten wir 1984 das erste Paper. Inzwischen gab es eine wachsende Anzahl von Wissenschaftlern, die dieses Gebiet weiter entwickelten, so dass es sehr rasch wuchs. Doch nicht jeder akzeptierte die Quasiperiodizität. Der Internationale Kristallographie-Verband, der das letzte Wort hat, wenn es darum geht, was in der Kristallographie richtig ist und was nicht, mahnte: “Danny, bring uns Röntgenbeugungsresultate. Wir akzeptieren deine Elektronenbeugung nicht, wir brauchen die Röntgenbeugung.” Da unsere Kristalle nicht groß genug waren, um Röntgenbeugungsexperimente an einem Einkristall durchzuführen, konnten wir dieser Bitte drei Jahre lang nicht nachkommen. Nicht ich, sondern meine Kollegen in Frankreich und Japan schickten mir sehr hübsche Aufnahmen; hier sehen Sie ein Beispiel. Das ist das Röntgenbeugungsmuster von Professor von Laue, 5-fach, 3-fach, 2-fach, ein wunderbares Bild. Ich habe genau diese Aufnahme auf der Tagung des Internationalen Kristallographie-Verbandes im Jahr 1987 im australischen Perth gezeigt und die Leute sagten: “Ok, Danny, jetzt legst du Fakten auf den Tisch.” Sie akzeptierten die Quasiperiodizität und gründeten ein Komitee, das den Kristall neu definierte. Ich habe Ihnen diese Definition vorhin gezeigt. Jetzt denken Sie vielleicht: “Ok, das ist das Ende, nicht wahr? Alle glauben Ihnen jetzt.” Doch nicht so vorschnell – schließlich gab es da noch Professor Linus Pauling. Linus Pauling war der größte Chemiker des 20. Jahrhunderts, auf jeden Fall der Vereinigten Staaten. Doch nicht nur das, er war außerdem der Vater der American Chemical Society und hatte hunderttausende von Anhängern. Dieser Mann stand auf dem Podium und sagte: “Danny Shechtman redet Unfug. Es gibt keine Quasikristalle, nur Quasiwissenschaftler.” Aber er hatte Unrecht. Dennoch setzte er seinen Kampf in jedem nur erdenklichen Forum fort. Er war übrigens ein großartiger, herausragender Redner. Und er war ein großartiger Wissenschaftler. Aber er machte eben auch Fehler – einer davon war ich. Wie auch immer, er starb 1994, zehn Jahre nach meiner Publikation im Jahr 1984. Er kämpfte noch zehn Jahre und dann starb er. Das war das Ende der Ablehnung. Ich möchte Ihnen etwas sagen. Wenn jemand stirbt, sollte einem das leidtun. Man lacht nicht, wenn jemand stirbt, vor allem nicht, wenn es sich dabei um einen so herausragenden Wissenschaftler und großartigen Theoretiker wie Linus Pauling handelt. Ich meine das ernst. Wichtige Beträge, ganz schnell. Roger Penrose und Alan Mackay. Roger Penrose, die Penrose-Kacheln. Der zeitgenössische britische Mathematiker Alan Mackay erzeugte mit Hilfe der Penrose-Kacheln ein Beugungsmuster, voilà. Alan Mackays Arbeit war mir kein Begriff, denn er veröffentlichte seine Ergebnisse in Russland in einem obskuren Journal. Ilan Blech, Denis Gratias und John Cahn publizierten mit mir zusammen das erste Paper. Dov Levine und Paul Steinhardt – Dov Levine ist heute Professor am Technion, Paul Steinhardt arbeitet in Princeton – entwickelten das Tiling-Modell und verbanden damit die Penrose-Kachel mit den quasiperiodischen Kristallen. Wir wissen heute, dass Ordnung nicht wie früher automatisch Periodizität bedeutet, sondern periodisch und quasiperiodisch sein kann. Ich habe nicht mehr die Zeit Sie zu fragen, warum quasiperiodische Materialien erst 1982 entdeckt wurden, bzw. diese Frage zu beantworten. Lassen mich also schnell zum Ende kommen. Zum Schluss möchte ich Ihnen noch ein Bild zeigen, dass ich kürzlich auf der Osterinsel aufgenommen habe. Ja, das ist auch schön. Hier sehen Sie quasiperiodische Kristalle. Und hier haben wir 5-fach rotationssymmetrische Blumen auf der Osterinsel. Bitte entschuldigen Sie, dass wir nicht mehr Zeit haben. Vielen Dank.


Crystallography has been one of the mature sciences. Over the years, the modern science of crystallography that started by experimenting with x-ray diffraction from crystals in 1912, has developed a major paradigm – that all crystals are ordered and periodic. In-deed, this was the basis for the definition of “crystal” in textbooks of crystallography and x-ray diffraction. Based upon a vast number of experimental data, constantly improving research tools, and deepening theoretical understanding of the structure of crystalline materials no revolution was anticipated in our understanding the atomic order of solids.

However, such revolution did happen with the discovery of the Icosahedral phase, the first quasi-periodic crystal (QC) in 1982, and its announcement in 1984 [1, 2]. QCs are ordered materials, but their atomic order is quasiperiodic rather than periodic, enabling formation of crystal symmetries, such as icosahedral symmetry, which cannot exist in periodic materials. The discovery created deep cracks in this paradigm, but the acceptance by the crystallographers' community of the new class of ordered crystals did not happen in one day. In fact it took almost a decade for QC order to be accepted by most crystallographers. The official stamp of approval came in a form of a new definition of “Crystal” by the International Union of Crystallographers. The paradigm that all crystals are periodic has thus been changed. It is clear now that although most crystals are ordered and periodic, a good number of them are ordered and quasi-periodic.

While believers and nonbelievers were debating, a large volume of experimental and the-oretical studies was published, a result of a relentless effort of many groups around the world. Quasi-periodic materials have developed into an exciting interdisciplinary science.

This talk will outline the discovery of QCs and describe the important role of electron microscopy as an enabling discovery tool.

[1] D. Shechtman, I. Blech, Met. Trans. 16A (June 1985) 1005-1012.

[2] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn, Phys. Rev. Letters, Vol 53, No. 20 (1984) 1951-1953.