I'm glad that I was able at long last to come to this Lindau conference
after having heard so much about it from my friends who have been here before.
And I would like to express my thanks for the wonderful reception that my wife and I have received here.
Now, from my obvious accent and the fact that most of the audience is certainly more fluent in German than in English,
I might be expected to give this lecture in German.
But having spent most of my life now teaching English,
I think it would not be advisable for me to go back to my early habits and speak in German.
Besides, Niels Bohr said a long time ago that by now like the Latin in the middle ages,
the broken English is really the international language of physics.
And so I will try to speak in a sufficiently broken way so that everybody can understand me.
Now, the properties of helium at low temperatures have been a puzzle for the theorists for a long time.
The fact that of all the gases it requires the lowest temperature of about 4 degree kelvin to liquefy
was not so difficult to understand in view of the small fundamental forces between atoms.
But that there was something peculiar about it was already evident from the fact
that if you went to still lower temperatures it refused, unlike any other decent substance, to solidify.
Instead, at a temperature of 2.2 degree Kelvin,
so called lambda point it even exaggerated its nature as a liquid in becoming super fluid
which means that it was able at this point to pass even through very narrow channels
without any difference pressure gradient whatsoever, rather similar to the transition of a metal into superconductive state.
The first who attempted to explain this behaviour was Fritz London
who suggested that it might somehow relate to the Einstein-Bose condensation of an ideal gas.
But it took still many years, this was before the war
but it was several years after the war until the problem really became clarified primarily through the work of Landau.
Now, I want to say that I have nothing whatsoever new to say about this.
In fact, the only qualification which I have to speak about this topic at all is that I am far from being an expert.
And this has of course a very great advantage because that means
that the few things which I know about super fluidity have to be so simple that even I can understand them
and that means then that everybody else in the audience can certainly likewise understand.
Applause.
So those among you who are really sophisticated in this subject I can only offer my apologies
and hope that you will derive some amusement from hearing things which you know very well perhaps in a somewhat different light.
Now, to make things as simple as possible I will take the geometry of a thin circular tube,
so you have to imagine helium to flow around in a thin tube.
And then I try to explain to you why it is
that in an analogy to a persistent current in a wire loop that we have reasons to expect a persistent flow.
The method which I am using is somewhat similar to one which I have used a few years ago, likewise to superconductors.
It is based on basic principles rather than on microscopic models.
This of course has the disadvantage that I will not be able to give you any numerical results or to derive any numerical results.
And that the reason has to be of more qualitative nature
but it has the advantage that unlike a microscopic theory which necessarily must be approximate,
it can claim a certain amount of rigour.
Unfortunately I didn't have the clever computer that Professor Lamb has at his disposal
and therefore my presentation will not be very elegant, I have only some transparencies here which I have drawn with my own hand.
And I hope that nevertheless I will be able to show what I want to show.
Now I have to learn how to operate this instrument, that looks like the right one.
Alright, so here I have schematically indicated a thin circular tube, these are the walls of the tube.
Please imagine liquid helium being put in here and I will characterise the position of any atom within that tube,
well, naturally by 3 coordinates.
As to the sideways dimensions I will, how does one focus this thing, yeah, as to the side ways dimension,
I'm using 2 corners Y and Z, Y this way and Z that way.
And the more important coordinate is the one around the ring, around this tube.
Well, of course it would be reasonable then to say that one can use an angle phi
but in order to emphasise the analogy to linear motion, direct linear motion,
I'd rather use a coordinate X counted from some arbitrary point around here.
Alright now, then what we would like to know are the energy values, the whole spectrum of energy levels of this system here.
And that will be given as you know by the Schrödinger equation
where the Hamiltonian H shall contain not only the kinetic energy of the atoms
but also an arbitrary interaction which of course in fact is quite strong.
Now, the function psi I shall use in a representation which I make it depend on the coordinates in the usual Schrödinger way.
And so there would be an atom 1 and an atom 2 as a general and an atom S, atom N with XYZ.
Since the X and Y coordinates are not terribly important I will mention them,
I will simply omit them for brevity sake and write this only as a function of the X coordinate, the one around the ring.
And then I might occasionally go even further and write only one of them, so all these 3 rotations are equivalent.
Very good. And I indicated here this is the thickness of the ring
and for simplicity let's assume that's small compared to the radius, although that's not a terribly important feature.
Now, then the Hamiltonian should of course in reality also contain the interaction between the atoms and the wall,
this I will omit for the time being.
Of course I will come back to it, you may say well, so I will assume the wall to be perfectly smooth and perfectly rigid.
And you might of course say no wonder that a liquid runs around in a perfectly smooth and perfectly rigid wall forever.
However I will not stick to this idealisation to the bitter end but mention it of course later.
So, for the time being we'll assume that and then the problem is treated in the usual way,
that is to say in that case the total momentum in the X direction is a constant of motion,
is given by the sum of a momentum of the individual atoms.
And of course PR is the angle of momentum which will also be a constant of motion.
I introduce the coordinate of the centre of gravity which is 1/the total number of atoms x the sum of all of them.
And now I proceed just the way you have learned it in kindergarten, about how one separates off the centre of gravity,
one writes psi as a function of you might say a plain wave regarding the X, the centre of gravity, call it capital X,
that's the total momentum, times the function chi or more explicitly written here, psi(X), in a notation I used before,
equal to this, times the function chi now which depends only on the relative coordinates
and I wrote simply as it depends on the differences between two any arbitrary corners X and Y.
And then you have a separate equation for this quantity, the chi here, I'll write it H(chi),
which simply means that in H prime everything is still there except the centre of gravity motion that has been separated off.
And then, as you well know, the energy is simply additive, P^2/2m is the total kinetic energy of a system.
And then energy which I call little E, it is not little at all, it's as big or bigger than the other one,
but it includes only the relative, the energy of relative motion.
Normally, as you do for example if you use the hydrogen atom of the Schrödinger equation,
you will find that this relative energy E, is totally independent of the total energy.
That is to say to any value of the momentum there belongs an arbitrary value
even that has nothing to do with the momentum whatever.
And that has of course immediately the following consequence, that if you ask now what is the minimum of this energy,
irrespective in its dependence on the total momentum I mean.
Then irrespective of this quantity it is clearly at P=0.
Now I come to the difference between this normal treatment of the addition considerations
which one has to make if one wants to learn something about superfluidity.
In this equation which I just removed, H(chi) = E chi, that is the equation which is supposed to give you the relative energy.
The operator H prime is well defined as I said before, it contains everything except the centre of gravity.
But of course the eigenvalue is little E, which you get from that equation,
will not only depend upon the operator on the left side, it also depends upon the boundary value,
which you impose upon the function chi.
Now, as far as the coordinates X and Y are concerned, this is trivial,
if you think you have a rigid wall, well, it would mean that for any particle as it comes to the wall the function psi
and also the function chi simply has to vanish, that's a trivial boundary condition which we will not further consider.
The important boundary condition comes from the coordinate X and that's where the novelty comes.
And the point that I'm making here is a statement which is accepted
I suppose as one of the axioms of quantum mechanics is that the total function psi must be single value.
That is for each particle, for any one particle S, be it particle 1 or 2 or N,
it must be true that as you take one particle around the whole ring,
that is to say you augment its X coordinate by 2 pi R which is the circumference of the tube.
It ought to return to its original value.
Now, if you remember before the separation of off the centre of gravity, I've simply written it down here once more,
the XS occurs here, XS+2piR, it occurs here too.
And that must be equal to that.
This is identically the same equation except the centre of gravity has been separated off.
And now you see that this implies now a condition on that function chi
because this factor will grow out on both sides and in order that this factor here,
the exponential E^IP/NHbar x 2piR x f(chi) gives the function itself,
means that the function chiS as you increase it by 2piR must be multiplied by the inverse of that factor, call it Alpha,
where this is given by E^-2piPR/NH.
This has one well known and trivial consequence.
What I said here for particle, any particle S, you can do for particle 1 and particle 2 and particle 3 all the way up to N.
And if you do that every time you get another factor alpha and the condition here then says simply that the N^alpha must be =1,
well, then you see the N goes out and as you see that means simply that the angle of momentum which appears here
must be an integer multiple of hbar which is the usual quantisation of the angular momentum or for the momentum itself,
it means it must be HR/R.
And here I would like to say that since we consider R to be a rather large quantity,
I will not say how large but certainly a microscopic quantity,
not metres but maybe millimetres or 10's of millimetres that you can consider P as effectively as a continuous quantity,
the more so certainly the bigger the rings.
Alright, now then, since alpha thus depend on P as you see, that means, and since it determines the boundary condition on chi,
you have to expect in general that the eigenvalues of the equation for chi will likewise depend upon P.
Contrary to what we said before in the normal situation.
Now it has however a very important property, namely if you increase now P by the amount NH/R
then you see it will return to its old value because you're simply multiplying E^-2pi.
And that means therefore that the boundary condition returns to its old value whenever P has increased by this amount.
And therefore the eigenvalues will likewise return to their old values
because again the same sort of boundary condition that I've implied before.
Alright, what does that mean, that means that E is a periodic function of P,
in general does depend on P but not in an arbitrary way
but in a periodic way in the sense that it comes back to its old value whenever you have increased the momentum by this amount.
Furthermore it doesn't matter really, this you might say is only a question of a convention of sense of rotation,
whether you talk about P or -P or if you want a little bit high brow you can say
we believe in this case in time invariance
and therefore it means that the function P does not change either if you reverse P into -P.
And so we come to the conclusion then that in general EP is an even periodic function of P with period NH/R.
Now, I said a function, of course in reality the energy E has a discrete set of eigenvalues.
And what it really means is that to each eigenvalue which you find for a certain momentum
you will find the same value once again if you increase the momentum by this amount, NH/R.
And I have tried to indicate that in this little schematic plot here.
Suppose we plot here P and for P=0 you have a certain set of states.
And then, as P increase, you have another set of states.
The same for -P and then it repeats here and again -P, -P, so the blue ones,
the blue things correspond to a momentum P=0 or 1 x NH or 2 x NH and the red ones.
And then of course there's a whole lot of other sets of eigenvalues in between with possibly quite a different arrangement.
Alright, now let's see what further conclusions one can draw from this.
Now let me first say something else.
As I pointed out to you this is not the normal behaviour that you have in general.
You will find that really this energy, E(P), little energy, the relative energy is independent of the momentum.
And that in fact is the normal behaviour.
I have not said anything so far as you may have noticed
about any special property of helium or even less of helium at low temperatures.
So certainly a normal liquid is totally false, totally within the range of my present discussion.
And now I'd like to point out to you what one ought to understand,
but what I said is perfectly true and I will not revoke it in the case of a normal substance.
But I will tell you what the special property or rather the rather general property of a normal liquid is
in contrast to that of a superfluid.
Well, the point here is that normally, well, if you talk about the hydrogen atom,
you surely assume that the centre of gravity that you can localise,
the centre of gravity of the atom well within the distance in which you are working,
let's say within the dimensions of the gas container in which your atoms buzz around or something like that.
And it is this property of localizability which characterises a normal liquid from a superfluid liquid.
And I have tried to indicate that schematically here.
I am talking here about the function chi.
Well, as you remember psi and chi differ only by a phase factor.
So if psi is localisable, so is chi.
By 'localisable' I mean of course that you can build a wave packet.
So I have here schematically indicated the way how in the localisable case chi will look, this will be how this is 2piR,
rather microscopic this circumference of the circle.
And then there is certain deltaX, the spread of that wave packet.
And if deltaX is very small compared to 2piR which is the normal situation, well, then you can have, this is once,
suppose you have a solution here but then that means again as you go 2piR you come back to the same place,
you have another solution here, you have another solution here.
And as you well know all belonging to the same eigenvalue and as you well know any linear combination of them
will likewise be a solution belonging to the same eigenvalue.
And if you want to, and you can if it pleases you, you can in fact write this way, where this was our factor alpha.
And this thing here has indeed the proper periodic times because every time you go forward by 2piR you change my by my+1,
so you have multiplied by alpha.
Everything is alright.
However it turns out to be irrelevant because in that case no matter,
this is a special linear combination but you can choose any other linear combination, you will still come to the same value.
In other words this is a situation where indeed the relative energy is independent of the momentum.
If you want to have a dependence, then you need a rather extraordinary behaviour.
After all superfluid is a rather extraordinary substance.
And the extraordinarity that I refer to is indicated by this dotted curve very schematically
that really these wave packets ought to overlap.
You can express that in many ways.
You can say you ought to have a phase coherence going around the whole microscopic tube.
Or if you want a little bit more highbrow, you can say that you have to have off-diagonal long-range order
of the reduced density matrix, whatever that may mean.
Okay fine, now alright, so let's now take a big act of faith
and believe that indeed in the case of helium this strange substance does exist,
that we have indeed a periodic dependence of the relative energy on P and in fact perhaps a very pronounced dependence.
And that I have schematically indicated in this figure here.
Oh yeah, well, I should say one more thing, one more simplification.
I make everything as simple as I can.
Let's put ourselves at the absolute 0 and not worry that this is rather hard to do.
I will, if I have time, I will later mention something about the modification at finite temperatures.
But let's assume or put it that way, if a substance did not become superfluid at the absolute 0, well, then it probably never will.
So it is a necessary but maybe not sufficient condition.
So let's assume only the lowest, to each given momentum
we consider only the lowest value of relative energy which I indicate by E0.
On my previous diagram if you tick for the blue and the red and so on, you always take the lowest one.
And since P is practically continued, you can plot it as a function of P.
And I plotted it indeed as a periodic function with a rather pronounced amplitude.
It need not be a sine curve although it could be, I should say a cosine curve because it has to be even.
The fact that I have said it is a minimum at 0, well, that sounds rather reasonable.
That the absolutely lowest state of the system is the one where the liquid is nicely at rest and doesn't move.
But then of course if it has a minimum at 0 because of what I said before, it will also have a minimum at 1,
a minimum at 2 and so forth.
But that's only the relative energy.
And now let's go back again to the lowest value of our total energy for given P, that P^2,
well, what that means is you have to put this wriggly curve here on top of the parabola P^2/2M
and you see that if these minima are deep enough, you'll still have minima,
certainly a minimum at 0, then one around 1 x NH/2R, 2 x NHbar/R and so forth.
That now leads us to immediately a conclusion which is rather interesting, namely the following.
That in that case as I have indicated here,
you get minima here approximately I set integer multiples of NHbar/2R for the momentum.
Now let's go for the momentum to the drift velocity,
which is the average velocity reference which you get of course by dividing by the total mass, I call it V.
That is the definition and that this velocity necessarily,
all you have done is divide that by capital M which is little mass in it, so you get a discrete set of drift velocities.
That is not so interesting yet but now you want to go to a concept
which is well known to the hydrodynamicists which is called the circulation,
which is the line integral of the velocity around a closed curve as you well know that in the case of a liquid without friction,
this circulation is a conservative motion.
It does not mean conservation angular momentum but that's what it is.
Well anyway, well, in our simplified case our DS,
all you do is you go around your circular tube and V is a constant so you get 2piR x V
and therefore if you insert for V this value, you will find that the circulation, again as approximately discrete spectrum,
integer multiple of N x H.
That's now the real Planck's H, not the H-bar, not Dirac's H but Planck's H divided by the mass of a single atom.
This quantisation of circulation as we may properly call it, has indeed been observed as one of the really interesting facts.
One of the very nice experiments, it was done several years ago by Reif
who shot alpha particles into superfluid helium
and this way produced vortexes in the form of a smoke ring and then he accelerated them.
The charge sits on the smoke ring, he accelerates them in an electric field.
And from that can calculate simply by applying classical hydrodynamics the amount of circulation.
And found that indeed very close to that value and ratio H/M derived from his experiments,
agrees with the well-known ratios, to a few percent.
And in fact there are some reasons why you might possibly use that some time to make an even more accurate determination.
But it's not a precision instrument but I just wanted to say that this is not sheer fantasy but has something to do with reality.
Alright, now there is something else you can learn from this simple minded consideration.
Now I have here again drawn my dotted P^2/M curve.
It is here, this time I've plotted it in terms of velocity
because the 2 are very closely related instead of momentum and in a somewhat smaller scale
so you put these wiggles on the top of a parabola and you keep on going and going.
But now something happens, because as you go higher and higher up
of course the slope of your parabola becomes steeper and steeper and except for very singular curves,
periodic curves like that there comes a point where there is no minimum anymore.
I have called that critical velocity, I have tried to indicate it here.
You see how here is still a minimum, here it becomes kind of flat and there is no minimum anymore.
And from then on it stops.
So that means therefore that, okay, I'll come back to that,
so therefore it means that these minima really exist only up to a certain velocity
which one might well call a critical velocity or perhaps even the critical velocity because it is well known.
It is a known fact that you cannot maintain a superflow beyond a certain velocity, oh at liquid helium,
Beyond that it just won't tolerate it anymore.
Now, I should have said something before and I'm sorry, I apologise, about the significance of these minima.
As I said before, so far I have totally neglected the walls or rather I have assumed the wall to be perfectly smooth and rigid.
And if that were the case anything would flow indefinitely.
Now we have to ask ourselves, what would the wall do?
Now, as I told you before I consider the situation at absolute 0
and that means that I want to have a wall at absolute 0
but now a certain amount of interaction between the wall and the helium atoms.
Now, if I sit in a minimum like that and the wall and somehow by interaction of the wall,
the liquid would like to go to a lower momentum as a normal liquid would do dying out,
the wall would say sorry, can't do it, I have no energy to give you because the energy has to go up as you see.
Well, you might say, but listen dear wall, why can't you be a little bit more generous.
Suppose I sit here and you give me enough momentum to jump directly here, then I have lowered my energy from here to here.
Well, this is a well-known situation also in the case of persistent curves and superconductors,
one does not deal with absolute minima and deals with relative minima.
And in a certain sense you may say that also superconductive current in a loop does not run forever.
But it runs several hours or several months or maybe a year or so.
In other words, I have never calculated it, there is certainly a finite probability of a jump.
Oh yes, well, one more thing I would like to say, this is completely analogous to the case of a superconductor.
In the superconductor what corresponds to quantisation of the circulation,
corresponds to the quantisation of a flux and there is quite an analogous argument.
Well, alright, like in a superconductor it could happen in principle but presumably will take a rather long time.
As I say I haven't calculated, maybe the age of the universe, for a rather large ring.
The point is there that although you can go from here to here, it is a very improbable, a highly improbable transition.
What it would mean is namely that each atom simultaneously would have to lose the exact amount,
H/R of one unit of angular momentum.
Well, that all the atoms should so nicely cooperate and make the jump together,
I think with a little hand waving it will be understandable.
That is a rather unlikely process and accounts for the really extremely long stability of persistent flow or persistent currents.
Alright, and now I mention already the critical velocity and you can give it in an expression here,
you can say it occurs when the absolute magnitude of the derivative dE by dP.
Well, it is defined by the maximum value of that because if this becomes,
well, the smaller this is, the earlier this cessation of minima will occur and no more superfluid flow.
Well, yeah, I try to make up for the sins of my predecessors and be short but I just want,
how long have I really talked, half an hour?
Alright, I think I'll finish in the next 15 minutes,
then at least I haven't made up for their sins but at least I have not added to them.
Okay, now you will justly ask yourself now alright fine and good, we have assumed, we have been very nice.
We did our act of faith and believed these minima to exist and that seems to have something to do with reality.
It explains quantisation of circulation, it explains critical velocity.
But now under what conditions can one reasonably expect this really to happen?
Now I am going, at this point I am going to a certain extent into models.
That is to say the general part is finished, what can be generally said, I have said.
But now it would be interesting to ask yourself,
what kind of more microscopic assumptions would you have to make
in order to get indeed this strong or reasonably strong periodic dependence?
And as the first case I want to discuss with you just what London suggested originally,
namely let us forget about the interaction between the atoms, it's certainly an abominably approximation.
But let's assume that we deal indeed with the Einstein-Bose gas and ask ourselves what happens to such a system at absolute 0.
Of course, as you well know, long before the absolute 0 there occurs this phenomenon of Einstein-Bose condensation.
But let's go even to the extreme and to the bitter end
where in the ground state of the system all the atoms would have 0 momentum.
Now, that we will not assume now but let's see what happens in the case of the ideal Bose gas.
Well, alright, here I have written down now the energy of a single atom which is simply its kinetic energy.
And now I will try to construct the lowest energy for a given momentum.
How do you do that?
Well, you take each atom and you give it a kick in the X direction.
But each only in the X direction, don't waste any momentum sideways
because that will only cost you energy without gaining you circular momentum.
So, suppose you take then new atoms and for the time being they better be less than N
because you don't have anymore, new atoms, an arbitrary number of atoms, each of them you give its minimum momentum,
H/R and that means that the total momentum is this much.
That is the cheapest way, at the lowest energy expense of getting a given amount of the momentum.
So we have new particles with momentum P=H/R and the other ones we'll leave in their momentum state 0, right.
Well, alright, then we can very easily calculate the total energy simply my x the kinetic energy P^2/2M
and that you can also add in this form if you use this form P.
And now let's calculate the corresponding relative energy as I would call it.
Which you will get by subtracting now P^2/2M and this is the form which you get.
That holds between 0 and N.
And as you notice, this is a parabola and I have plotted it here.
It starts with 0 and very nicely as it should, it comes again to 0 when P=NH/R.
But now of course you can go on from here.
Suppose you have brought all your atoms from 0 to N, then you are again here and now you start all over again,
leave most of the atoms in the state 1 and start the same again.
In other words, and in fact this is a general statement as I said before, this is a parabola will have to repeat periodically.
So, that's at least an illustration, a very simple illustration of this case of the periodic function E, not of P.
But the trouble is that when you do superimpose that function on P^2/M to get the total energy,
what you get is what I indicated here.
You see of course the energy increases simply linearly with the momentum, here it is.
And so, instead of these nice minima which I indicated before, you simply get the, you take this point in a straight line,
and another straight line and another straight line, where are the minima, well there's one, the one at 0 but nothing else.
And this is true, unfortunately and here I am talking about my friend, Fritz London, it is not true that the Einstein,
the ideal Einstein-Bose gas leads to superfluidity.
This is a fact which has been recognised quite some time ago.
In fact Bogoliubov has gone so far as to calculate the effect of weak binding
and found that it is quite essential to have superconductivity, superfluidity.
And this is what I'd like to explain now.
Now I'm referring to Bogoliubov's paper which is mathematically a very beautiful paper
but has not terribly much to do with reality because the coupling of helium is far from being weak, it's very strong.
Instead of that I will use the terminology of Landau, I think that was in fact,
one may say the essential contribution of Landau to postulate
that rather than having to consider individual non-interacting atoms in helium as would be in the case of an ideal gas,
you should think of what he called quasi-particles.
Now, these quasi-particles are really the result, the final product of a very complicated game of interactions.
And again it needs a certain amount of faith to believe in those
but it doesn't need too much faith if you restrict yourself to particles of rather low momentum
which means rather long De Broglie wavelengths.
If this De Broglie wavelengths is long compared to the interparticle distance,
then it is rather clear that these quasi-particles are nothing else but the quanta of sound waves, so called phonons.
In that case, just like if this, you as a sound velocity, if it were a light velocity, you would have the energy of a light quantum,
velocity of light x momentum.
Here it's velocity of sound x the absolute magnitude of the momentum.
This would be the energy of a phonon or of a quasi-particle of Landau, at least at low momentum.
And since we are interested in low energies, we might perhaps be satisfied with that.
To give the, that is to say the dependence of epsilon,
P is no more quadratic but at least for low momenta is linear and has a factor discontinuated at P=0, discontinued of a slope.
Alright, now, you want to build up a certain amount of energy, again in the cheapest way,
how do you do it, you excite phonons only in the direction,
phonons travel in only around the thing and don't bother of exciting sideways sound waves because that's a waste of energy.
And that has a very simple consequence because it means that the total energy is simply U x the total momentum.
And the relative energy is then given by that.
Well, alright, this shall be, I want to hold for relatively small momenta in this range
and I have tried to indicate it on this plot here.
You see here this typical discontinuity here, P absolute.
And of course these things somehow may continue, you may go on getting higher momentum for higher excitations.
But we do know that it is periodic.
So this same sharp point here occurs again, must occur again here and here and here and so forth.
Superimpose that on the parabola and now you get a nice result, in that case namely the minima are exactly at the values NH/R.
Also, as you go higher up, of course again there will be a critical velocity in that case,
since the slope here is likely to decrease, the maximum slope is in fact the velocity of light,
you would come out with a result that the critical velocity is equal to the sound velocity.
This is not quite true, actually it's somewhat lower, or a factor 2 or 3 lower.
This comes from the fact that this approximation or the idealisation of keeping the linear law
really holds only for the smallest momentum and if you go a bit higher you have to make corrections.
People have studied this function, epsilon(P), it can be done by neutron diffraction,
inelastic scattering of neutrons in liquid helium.
And it is indeed of course through it starts linear the way I said but then it has some kinks.
And therefore there are qualitative changes.
And as I said, this statement that the critical velocity is equal to the sound velocity is not true.
But it is of the same order of magnitude and more than that we cannot hope.
And the circulation is exact.
Consequently it is a warning to people who want to determine H/M
in contrast to the people who have determined E/H with very great accuracy from flux quantisation.
That if they want to do with great accuracy, they better go to very,
very low temperatures because this statement holds only as long as I have stuck to the lowest energy.
Now, I think my time is almost over, I would like to go only briefly then, mention to you what happens at finite temperature.
Of course this continuity that we have here is just an idealisation
and is the same idealisation as assuming that we are at the absolute 0.
If you are not at the absolute 0, then rather than the energy itself you have to consider the free energy.
But it has rather similar properties.
Alright now, here F, the centre of gravity still comes up,
little F now corresponds to the free energy to correspond to the energy levels of little E, what we had before.
And that is, as you know, well know, obtained by taking a logarithm of this partitian function of this sum here.
And what it does in effect and you can calculate it easily,
it means of course that at high energies you are not so economical anymore,
you do excite phonons also in directions not parallel to the X direction.
And what it does is it makes a rounding off here.
I have indicated here for T=0, F= equal to .
I drew it here only near one of the minima.
Equal to this continuous curve, then it becomes rounded off more and more and more.
You can characterise that by a factor alpha here, that's not all alpha, the same quantity which depends on T,
which is the smaller, the lower the velocity.
In fact you can calculate it and find that it goes like here, like T/T*^4 so it does decrease rather rapidly.
When you go through the whole arithmetic, you find that there is a correction in the quantised value of the circulation.
It is N x H/M, which it would be at the absolute 0 x 1 + alpha.
So it gets reduced and you may in a certain sense assume that alpha maybe goes to infinity at a critical temperature,
so that this value goes to 0. Anyhow it's reduced.
This is a formula which holds for low temperatures,
T small compared to a certain temperature T* which is given by this exact expression here, simple phonon calculation.
And that temperature T* is about 4 times, about 90 degrees kelvin.
If you insert here the measure of velocity over density of helium and the sound velocity,
you come out with 90 degree kelvin, about 4 times the critical temperature.
Just why these two temperatures are of the same order of magnitude may or may not be an accident
and I think it is not an accident.
Anyway, this is what it is.
Now just very briefly, this can be used in other ways because people will say oh no, no, no that's not true,
the circulation is still rigorously H/M and only you shouldn't talk about the whole helium,
you should talk about the superfluid fraction.
There is often very useful model, two-fluid model
where one says that only at absolute 0 is all of the helium superfluid
and at finite temperature is a fraction and then of course at the lambda point all is normal.
You can express it that way, I never quite understood what that mean,
if you ask a helium atom are you normal or are you superfluid, the poor fellow certainly won't know what they are to say,
it's only part of a total system.
But it can be interpreted that way, that's not my discovery either, this is discussed in London's book on superfluid.
And you can in fact say that with that definition of ratio of normal to superfluid
you can in fact say that the circulation is at H/M multiplied in a ration of superfluid to normal
and therefore is 1 at the absolute 0, this factor goes to 0 presumably at the lambda point.
As I say, I don't want to take your time anymore, you're probably hungry and so am I and we want to hear Doctor Esaki.
There are some interesting other points I should have liked to make about helium 3
because that's of course quite a different story.
All I talked about is helium 4 because we are talking about boson systems, whereas helium 3 is a family system.
In that case, well, it was a matter of long debate whether helium 3 would at all become superfluid,
certainly doesn't become superfluid at 2.2 degree kelvin.
But recently in the neighbourhood of millidegrees, a whole lot of interesting transitions has been found.
And one of them is I think pretty well established now to be indeed superfluid.
Now, if you want to explain that you have of course to take the same kind of reasoning that Bardeen, Cooper and Schrieffer took
in the explanation of superfluidity, I am sorry, I mean superconductivity, namely,
and the essential point there is the formation of Cooper pairs.
That is to say, you have to assume and introduce some mechanism by means of which roughly speaking 2 helium 3 atoms form a unit
and then that can become effectively a Bose–Einstein condensate.
I talk in a way that Doctor Cooper will be horrified about but he's a nice man and will forgive me.
It's a very complicated calculation, theorists have wondered for a long time,
the estimates have fluctuated I think between 10^-6 and 10^-1 degree absolute.
The truth is somewhere in the neighbourhood of 10^-3.
But it's a very much more complicated thing.
One thing I would like to say however and that I do not know whether it has been mentioned
but surely the quantum of circulation will have to be half
of what it is in the case of liquid helium, simply because you have 2 atoms to contribute, H/M, you must add H/2M.
That does not exclude my very general statement,
although I drew you your curve pedagogically with minima only at 1 and 2 and integer parts of this characteristic momentum.
Of course a periodic function can also have periodic repeating minima in between.
And that is exactly what one would have to assume in the case of superfluid helium.
Well, as I say, my time is over and thank you for your attention.
Applause.
Ich bin glücklich, dass ich nun endlich einmal zu dieser Lindaukonferenz gekommen bin,
nachdem ich schon von meinen Freunden, die schon hier gewesen sind, so viel über sie gehört habe.
Ich möchte mich herzlich für den wunderbaren Empfang bedanken, den meine Frau und ich hier genießen durften.
Nun, vom meinem offensichtlichen Akzent her und der Tatsache,
dass der größte Teil des Publikums Deutsch flüssiger versteht als Englisch,
könnte man von mir erwarten, dass ich diesen Vortrag in Deutsch halte.
Aber wenn man den größten Teil seines Lebens damit verbracht hat, auf Englisch zu lehren, denke ich,
wäre es nicht ratsam für mich, zu meinen früheren Gewohnheiten zurück zu gehen und Deutsch zu sprechen.
Außerdem sagte Niels Bohr vor langer Zeit, dass jetzt, wie Latein im Mittelalter,
gebrochenes Englisch wirklich die internationale Sprache der Physik ist.
Und so werde ich versuchen, in einer hinreichend gebrochenen Weise zu reden, so dass mich jeder verstehen kann.
Nun, die Eigenschaften von Helium bei niedrigen Temperaturen waren eine lange Zeit ein Rätsel für Theoretiker.
Die Tatsache, dass es von allen Gasen die niedrigste Temperatur von 4 Grad Kelvin benötigt, um flüssig zu werden,
war angesichts der niedrigen Van-der-Waals-Kräfte zwischen Atomen nicht so schwierig zu verstehen.
Aber es gab etwas, das beim Helium sonderbar war; das wurde schon offensichtlich durch die Tatsache, dass es sich weigerte,
fest zu werden, wenn man zu immer tieferen Temperaturen ging, ganz anders als alle anderen "vernünftigen" Substanzen.
Dafür übertrieb es, bei einer Temperatur von 2,2 Grad Kelvin, dem sogenannten Lambdapunkt, sogar seine Natur als eine Flüssigkeit,
indem es suprafluid wird, das bedeutet, dass es an diesem Punkt in der Lage war,
sogar sehr enge Kanäle ohne überhaupt irgendeinen Differenz... Druckgradienten zu passieren,
recht ähnlich dem Übergang eines Metalls in den supraleitenden Zustand.
Der erste, der versuchte dieses Verhalten zu erklären, war Fritz London, der vorschlug,
dass es irgendwie in Verbindung stand mit der Einstein-Bose-Kondensation eines idealen Gases.
Aber es dauerte noch viele Jahre, dies war vor dem Krieg, aber es war viele Jahre nach dem Krieg,
bis das Problem wirklich geklärt wurde, primär durch die Landaus Arbeit.
Nun, ich möchte sagen, dass ich darüber überhaupt nichts Neues sagen kann.
Tatsächlich ist die einzige Qualifikation, die ich habe, um über dieses Thema zu sprechen, die,
dass ich sehr weit davon entfernt bin, ein Experte zu sein.
Und das hat natürlich einen großen Vorteil, weil es bedeutet, dass die wenigen Dinge,
die ich über die Suprafluidität weiß, so einfach sein müssen, dass sogar ich sie verstehen kann,
und das bedeutet, dass jeder andere im Publikum sie genauso verstehen kann.
Applaus.
Bei denjenigen unter Ihnen, die auf diesem Gebiet wirklich sehr fortgeschritten sind, kann ich mich nur entschuldigen und hoffe,
dass Sie ein wenig dadurch unterhalten werden, dass Sie Dinge hören, die Sie sehr gut kennen,
vielleicht betrachtet unter einem etwas anderen Blickwinkel.
Nun, um die Dinge so einfach wie möglich zu gestalten, werde ich die Geometrie einer dünnen kreisförmigen Röhre nehmen.
Sie müssen sich also vorstellen, dass das Helium in einer dünnen Röhre herum fließt.
Und dann werde ich versuchen Ihnen zu erklären, warum man Gründe hat, einen anhaltenden Fluss zu erwarten,
in Analogie zu einem anhaltenden Strom in einer Drahtschleife.
Die Methode, die ich benutze, ähnelt ein wenig der Methode, die ich vor eine paar Jahren benutzt habe, genauso für Supraleiter.
Sie basiert auf grundsätzlichen Prinzipien, nicht auf mikroskopischen Modellen.
Das hat natürlich den Nachteil, dass ich Ihnen keine numerische Resultate geben
oder irgendwelche numerische Resultate ableiten kann.
Und dass der Grund von einer stärker qualitativen Natur sein muss, aber das hat den Vorteil,
dass es eine gewisse Menge an Exaktheit hat, im Gegensatz zu einer mikroskopischen Theorie,
die notwendigerweise eine Näherung sein muss.
Unglücklicherweise hatte ich nicht den schlauen Computer zur Verfügung, den Professor Lamb zur Verfügung hatte,
und daher wird meine Präsentation nicht sehr elegant sein, ich habe nur einige Folien, die ich eigenhändig gezeichnet habe.
Und ich hoffe, dass ich trotzdem in der Lage sein werde, das zu zeigen, was ich zeigen möchte.
Nun, ich muss lernen, dieses Instrument zu bedienen, dass sieht richtig aus.
Gut, so ich habe hier schematisch eine dünne, kreisförmige Röhre angedeutet, dies sind die Rohrwände.
Stellen Sie sich bitte vor, dass flüssiges Helium hier hinein getan wird,
und ich werde die Position jedes Atoms innerhalb dieses Rohrs charakterisieren, nun natürlich durch drei Koordinaten.
Was die seitlichen Dimensionen betrifft, werde ich, wie fokussiert man dieses Ding, so,
was die seitlichen Dimensionen betrifft, benutze ich zwei Koordinaten Y und Z, Y in diese Richtung und Z in dieser.
Und die wichtigste Koordinate ist diejenige um den Ring herum, um dieses Rohr herum.
Nun, es wäre dann sicher vernünftig zu sagen, dass man einen Winkel phi benutzen kann,
aber um die Analogie zur linearen Bewegung zu betonen, direkte lineare Bewegung,
benutze ich lieber eine Koordinate X, gezählt von irgendeinem Punkt ungefähr hier.
Gut, was wir nun kennen möchten, sind die Energiewerte, das gesamte Spektrum der Energiezustände dieses Systems hier.
Und sie werden, wie Sie wissen, durch die Schrödingergleichung gegeben,
wo der Hamiltonoperator H nicht nur die kinetische Energie der Atome enthält,
sondern auch eine willkürliche Wechselwirkung, die tatsächlich recht stark ist.
Nun, die Funktion psi, die ich in dem Vortrag, den ich halte, benutzen werde,
hängt in der üblichen Schrödingerweise von den Koordinaten ab.
Da wären also ein Atom 1 und ein Atom 2 und generell ein Atom S, Atom N mit XYZ.
Da die X- und Y-Koordinaten nicht richtig wichtig sind, werde ich sie erwähnen, ich werde sie einfach auslassen,
der Kürze wegen, und dies nur also Funktion der X-Koordinate schreiben, der um den Ring herum.
Und dann könnte ich manchmal sogar weiter gehen und nur eine von ihnen schreiben, so alle diese 3 Rotationen sind gleichwertig.
Sehr gut und ich habe hier angedeutet, dies ist die Ringdicke, und zur Vereinfachung lassen Sie uns annehmen,
dass sie klein ist verglichen mit dem Radius, obwohl das kein wirklich wichtiges Merkmal ist.
Nun, dann sollte der Hamiltonoperator natürlich auch die Wechselwirkung zwischen Atomen und der Wand enthalten,
ich vernachlässige dies zunächst einmal.
Natürlich komme ich darauf zurück, Sie könnten sage, nun, so werde ich annehmen,
dass die Wand perfekt glatt und perfekt starr ist.
Und Sie könnten natürlich sagen, es ist kein Wunder,
dass eine Flüssigkeit an einer perfekt glatten und perfekt starren Wand für ewig herumläuft.
Aber ich werde nicht bis zum bitteren Ende an dieser Idealisierung festhalten, aber erwähne es natürlich später.
So, zunächst werden wir das annehmen,
und dann wird das Problem in der üblichen Weise behandelt,
i.e. in dem Fall ist der Gesamtimpuls in der X-Richtung eine Bewegungskonstante,
und wird gegeben durch die Summe der Impulse der einzelnen Atome.
Und PR ist natürlich der Winkel des Impulses, der auch eine Bewegungskonstante ist.
Ich führe die Schwerpunktkoordinate ein, die der Kehrwert der gesamten Zahl der Atome ist
multipliziert mit der Summe von allen Koordinaten.
Und nun mache ich weiter in genau der Art, wie Sie es im Kindergarten gelernt haben, wie man den Schwerpunkt abtrennt,
man schreibt psi als eine Funktion von, man könnte sagen, einer ebenen Welle in Bezug auf X, dem Schwerpunkt,
wir nennen es groß X, das ist der Gesamtimpuls, multipliziert mit der Funktion chi, oder expliziter geschrieben hier, psi(X),
in einer Notation, die ich schon vorher benutzt habe, ist gleich diesem, multipliziert die Funktion chi nun,
die nur von den relativen Koordinaten abhängt,
und ich schrieb einfach wie sie von den Unterschieden zwischen zwei willkürlichen Koordinaten X und Y abhängt.
Und dann hat man eine unabhängige Gleichung für diese Größe, das chi hier, ich werde es H‘(chi) schreiben, was einfach bedeutet,
dass in H‘ noch alles da ist, außer der Schwerpunktbewegung, die wurde absepariert.
Und dann, wie Sie gut wissen, ist die Energie einfach additiv, P^2/2m ist die kinetische Gesamtenergie des Systems.
Und dann die Energie, die ich klein E nenne, sie ist überhaupt nicht klein, sie ist so groß oder größer als die andere,
aber es schließt nur die relative, die Energie der relativen Bewegung ein.
Normalerweise, wie man das macht, zum Beispiel wenn man das Wasserstoffatom mit der Schrödingergleichung behandelt,
wird man finden, dass diese relative Energie E total unabhängig von der Gesamtenergie ist.
Das heißt, zu jedem Wert des Impulses dort gehört ein willkürlicher Wert, der sogar überhaupt nichts mit dem Impuls zu tun hat.
Und das hat natürlich sofort die folgende Konsequenz, dass, wenn Sie jetzt fragen, was das Minimum dieser Energie ist,
ungeachtet seiner Abhängigkeit vom Gesamtimpuls, meine ich, dann ist unabhängig von dieser Größe es klar dass P=0.
Nun komme ich zum Unterschied zwischen dieser normalen Behandlung zu den zusätzlichen Überlegungen, die man machen muss,
wenn man etwas über die Suprafluidität lernen möchte.
In dieser Gleichung, die ich gerade entfernt habe, H‘(chi) = E chi, das ist die Gleichung,
die Ihnen die relative Energie geben soll.
Der Operator H‘ ist gut definiert, es enthält alles, außer dem Schwerpunkt.
Aber der Eigenwert ist natürlich klein E, den man von dieser Gleichung bekommt,
und hängt nicht nur vom Operator auf der linken Seite ab, sondern er hängt auch von dem Randwert ab,
den man der Funktion chi unterwirft.
Nun, soweit die Koordinaten X und Y betroffen sind, das ist trivial, wenn man denkt, man hat eine starre Wand, nun,
es würde bedeuten, dass für irgendein Teilchen, wenn es zur Wand kommt,
die Funktion psi und auch die Funktion chi einfach verschwinden müssen,
das ist eine trivial Randbedingung, die wir nicht weiter betrachten werden.
Die wichtige Randbedingung stammt von der Koordinate X und das ist es, wo etwas Neues hereinkommt.
Und der Punkt, den ich hier mache, ist eine Aussage, die als eine der Axiome der Quantenmechanik akzeptiert ist,
denke ich, dass die Gesamtfunktion psi nur einen eindeutigen Wert haben kann, d.h. für jedes Teilchen, für jedes Teilchen S,
sei es Teilchen 1 oder 2 oder N, muss es wahr sein, dass die Funktion zu dem Ausgangswert zurückkehren muss,
wenn man das Teilchen sich um den gesamten Ring herum bewegt, i.e.
wenn man 2 pi R zu seiner X-Koordinate addiert, das entspricht dem Umfang des Rohrs.
Nun, wenn Sie sich erinnert, vor der Abtrennung des Schwerpunkts, ich habe es hier einfach noch einmal hin geschrieben,
das XS findet hier statt, XS+2piR, es findet auch hier statt.
Und das muss gleich dem sein.
Das ist genau dieselbe Gleichung, nur dass der Schwerpunkt absepariert wurde.
Und jetzt sieht man, dass dies nun eine Bedingung an diese Funktion chi impliziert,
weil dieser Faktor auf beiden Seiten wachsen wird, und damit dieser Faktor hier,
das Exponential E^IP/N h quer x 2piR x f(chi) die Funktion selbst gibt, was bedeutet, dass die Funktion chiS,
wenn man es um 2piR erhöht, mit dem Kehrwert dieses Faktors multipliziert werden muss,
nennen wir ihn Alpha, wo dieser gegeben ist durch E^-2piPR/Nh.
Das hat eine sehr bekannte und triviale Konsequenz.
Was ich hier für Teilchen gesagt habe, irgendein Teilchen S, kann man für Teilchen 1 und Teilchen 2 machen, bis zu Teilchen N.
Und wenn man das macht, bekommt man einen weiteren Faktor alpha und die Bedingung hier sagt einfach, das alpha^N =1 sein muss.
Nun, Sie sehen, dass N verschwindet und, wie man sieht, bedeutet das einfach, dass das Drehimpuls, der hier erscheint,
ein ganzzahliges Vielfaches von h quer sein muss, was die übliche Quantisierung des Drehimpulses ist,
oder für den Impuls selbst bedeutet das, er muss hR/R sein.
Und hier möchte ich sage, da wir R als eine ziemlich große Größe betrachten, ich werde nicht sagen, wie groß,
aber sicherlich eine makroskopische Größe, keinen Meter, aber vielleicht Millimeter oder einige zehn Millimeter,
dass man P effektiv als eine kontinuierliche Größe betrachten kann, sicherlich umso mehr, je größer der Ring ist.
Gut, nun da alpha daher von P abhängt, wie man sieht, heißt das, und da es die Randbedingung für chi bestimmt,
muss man generell erwarten, dass die Eigenwerte der Gleichung für chi auch von P abhängen.
Im Gegensatz zu dem, was wir vorher in der normalen Situation gesagt haben.
Nun, sie hat aber eine sehr wichtige Eigenschaft, i.e.
wenn man nun P um den Wert Nh/R erhöht, dann sieht man, dass sie zu ihrem alten Wert zurückkehrt,
weil man sie einfach mit E^-2pi multipliziert.
Und das bedeutet, dass die Randbedingung jedes Mal zu ihrem alten Wert zurückkehrt, wenn P um diesen Wert gewachsen ist.
Und daher werden die Eigenwerte genauso zu ihren alten Werten zurückkehren, wieder dieselbe Art von Randbedingung,
die ich schon vorher angedeutet habe.
Nun, was heißt das; es bedeutet dass E eine periodische Funktion von P ist, sie hängt ganz allgemein von P ab,
aber nicht in einer willkürlichen Art, sondern in einer periodischen Art, in dem Sinn,
dass sie immer zu seinem alten Wert zurückkehrt, wenn man den Impuls um diesen Wert erhöht.
Zudem kommt es wirklich nicht darauf an, dies ist, könnte man sagen, nur eine Konvention über den Drehsinn,
ob man über P spricht oder über -P, oder, wenn Sie es etwas vornehmer sagen wollen,
können Sie sagen, wir glauben in diesem Fall in die Zeitinvarianz, und das bedeutet daher,
dass die Funktion P sich auch nicht ändert, wenn man P zu -P umkehrt.
Und so kommen wir dann zu dem Schluss, dass generell EP eine gerade, periodische Funktion von P ist mit einer Periode von Nh/R.
Nun, ich sagte eine Funktion, aber natürlich hat die Energie E in der Realität einen diskreten Satz von Eigenwerten.
Und was es tatsächlich bedeutet ist, dass man für jeden Eigenwert, den man für einen bestimmten Impuls findet,
denselben Wert wieder findet, wenn man den Impuls um diesen Wert vergrößert, Nh/R.
Und ich habe versucht, dies in diesem kleinen schematischen Bild hier anzudeuten.
Nehmen wir an, wir zeichnen hier P und für P=0 hat man einen bestimmten Satz an Zuständen.
Und dann, wenn P größer wird, hat man einen anderen Satz von Zuständen.
Dasselbe für -P, und dann wiederholt es sich hier und wieder -P, -P so die blauen,
die blauen Dinger entsprechen einem Impuls P=0 oder 1 x Nh oder 2 x NH und die roten.
Und dann gibt es natürlich eine ganze Menge anderer Sätze von Eigenwerten dazwischen
mit einer möglicherweise ganz anderen Anordnung.
Gut, nun lassen Sie uns sehen, welche weiteren Schlüsse wir daraus ziehen können.
Nun, lassen Sie mich zuerst etwas anderes sagen.
Wie ich Ihnen schon aufgezeigt habe, ist das nicht das normale Verhalten, dass man generell hat.
Man findet, dass wirklich diese Energie, E(P), die kleine Energie, die relative Energie unabhängig ist vom Impuls.
Und das ist tatsächlich das normale Verhalten.
Wie Sie vielleicht bemerkt haben, habe ich bis jetzt irgendetwas über irgendwelche speziellen Eigenschaften des Heliums gesagt,
oder und noch weniger von Helium bei tiefen Temperaturen.
So, eine normale Flüssigkeit ist total falsch, total innerhalb des derzeitigen Diskussionsbereichs.
Und nun möchte ich Ihnen aufzeigen, was man verstehen sollte,
aber was ich gesagt habe, ist wirklich richtig und ich werde es nicht für den Fall einer normalen Substanz zurücknehmen.
Aber ich werde Ihnen sagen, was die spezielle Eigenschaft,
oder vielmehr die ziemlich generelle Eigenschaft einer normalen Flüssigkeit ist
im Gegensatz zu der einer supraflüssigen Flüssigkeit.
Nun, der Punkt hier ist, dass normallerweise, wenn man von dem Wasserstoffatom spricht, man sicherlich annimmt,
dass der Schwerpunkt, dass man den Schwerpunkt des Atoms innerhalb der Entfernung, in der man arbeitet, lokalisieren kann,
sagen wir innerhalb der Dimensionen des Gasbehälters, in dem Ihre Atome herumschwirren oder so etwas.
Und es ist die Eigenschaft der Lokalisierbarkeit, die eine normale Flüssigkeit von einer supraflüssigen Flüssigkeit unterscheidet.
Und ich habe versucht, dies schematisch hier anzudeuten.
Ich spreche hier über die Funktion chi.
Nun, wie Sie sich erinnern, unterscheiden sich psi und chi nur durch einen Phasenfaktor.
Wenn also psi lokalisierbar ist, ist es auch chi.
Mit ‚lokalisierbar‘ meine ich natürlich, dass man ein Wellenpaket konstruieren kann.
So, ich habe hier schematisch angedeutet, wie chi im lokalisierbaren Fall aussehen wird,
hier ist wie; das ist 2piR, ziemlich mikroskopisch, dieser Kreisumfang.
Und dann gibt es ein bestimmtes deltaX, die Ausdehnung dieses Wellenpakets.
Und wenn deltaX sehr klein verglichen mit 2piR ist, was die normale Situation ist, dann kann man haben, das ist eine;
nehmen wir an, man hat eine Lösung hier, aber das bedeutet wieder, wenn man 2piR weitergeht,
kommt man wieder an derselben Stelle an, wir haben eine andere Lösung hier, wir haben eine andere Lösung hier.
Und wie Sie wissen, gehören alle zu demselben Eigenwert, und wie Sie wissen,
wird jede lineare Kombination von ihnen auch eine Lösung sein, die zu demselben Eigenwert gehört.
Und wenn Sie wollen, und Sie können es, wenn es Ihnen gefällt, Sie können es so schreiben, wo dies unser Faktor alpha war.
Und dieses Ding hier hat in der Tat die richtigen periodische Abhängigkeit, weil man jedes Mal,
wenn man um 2piR weitergeht, mü zu mü+1 ändert, man hat also mit alpha multipliziert.
Alles ist gut.
Aber es stellt sich heraus, dass das irrelevant ist, weil in diesem Fall egal was,
das ist eine spezielle lineare Kombination, aber man kann irgendeine lineare Kombination wählen,
man kommt immer beim selben Wert an.
Anders gesagt, dies ist eine Situation, wo tatsächlich die relative Energie unabhängig vom Impuls ist.
Wenn man eine Abhängigkeit haben möchte, dann benötigt man ein ziemlich außergewöhnliches Verhalten.
Alles in allem ist eine Supraflüssigkeit eine ziemlich außergewöhnliche Substanz.
Und die Ungewöhnlichkeit, auf die ich mich beziehe, ist sehr schematisch durch diese gestrichelte Kurve angezeigt,
dass eigentlich diese Wellenpakete sich überlappen müssten.
Das kann man auf vielfältige Weise ausdrücken.
Man kann sagen, man sollte eine Phasenkohärenz haben, wenn man die ganze makroskopische Röhre herumgeht.
Oder, wenn man ein wenig vornehmer sein möchte, kann man sagen,
man muss eine Fernordnung außerhalb der Diagonale der reduzierten Dichtematrix haben, was auch immer das bedeuten mag.
Ok, gut, lassen Sie uns nun einen großen Glaubensakt begehen und glauben,
dass im Fall des Heliums diese seltsame Flüssigkeit tatsächlich existiert,
dass wir tatsächlich eine periodische Abhängigkeit der relativen Energie von P
und in der Tat vielleicht eine sehr ausgeprägte Abhängigkeit haben.
Und das habe ich schematisch hier in diesem Bild angezeigt.
Oh ja, ich sollte noch eine Sache erwähnen, eine weitere Vereinfachung.
Ich mache alles so einfach wie möglich.
Wir setzen uns einfach auf den absoluten Nullpunkt, und sorgen uns nicht darüber, dass das sehr schwer zu tun ist.
Ich werde, wenn ich Zeit habe, ich werde später noch etwas über die Modifikation bei endlichen Temperaturen sagen.
Aber lassen Sie es uns annehmen, oder anders gesagt, wenn eine Substanz nicht am absoluten Nullpunkt suprafluid wird,
nun, dann wird sie es vermutlich nie werden.
Es ist also eine notwendige, aber vielleicht nicht ausreichende Bedingung.
So, lassen Sie uns nur den niedrigsten, zu jedem gegebenen Impuls betrachten wir nur den niedrigsten Wert der relativen Energie,
die ich mit E0 andeute.
Auf meinem früheren Diagramm, wenn man blau und rot und so weiter nimmt, nimmt man immer den tiefsten.
Und da P praktisch kontinuierlich ist, kann man sie als eine Funktion von P zeichnen,
es ist tatsächlich eine periodische Funktion mit einer ziemlich ausgeprägten Amplitude.
Es muss keine Sinuskurve sein, obwohl sie eine sein kann, ich sollte sagen Kosinuskurve, da sie gerade sein muss.
Die Tatsache, dass ich gesagt habe, sie hat ein Minimum bei null, nun, das klingt recht vernünftig.
Das der absolut tiefste Zustand des Systems derjenige ist, bei dem die Flüssigkeit in Ruhe ist und sich nicht bewegt.
Aber dann hat es natürlich, wenn sie ein Minimum bei null hat, wegen der Tatsache,
dich ich zuvor gesagt habe, wird sie auch ein Minimum bei 1 haben, eine Minimum bei 2 und so weiter.
Aber das ist nur die relative Energie.
Und nun lassen Sie uns zum niedrigsten Wert unserer totalen Energie für ein gegebenes P zurückkehren,
nun, was das heißt ist, dass man diese sich schlängelnde Kurve hier der die Parabel P^2/2M überlagern muss,
und Sie sehen, wenn diese Minima tief genug sind, hat man immer noch Minima, sicherlich ein Minimum bei 0,
dann eins bei ungefähr 1 x Nh/2R, 2 x Nh quer/R und so weiter.
Das führt uns sofort zu dem Schluss, der ziemlich interessant ist, d.h.
dem folgenden: dass man in diesem Fall, wie ich hier angedeutet habe, ein Minimum ungefähr hier,
ich setze ganzzahlige Vielfache von Nh quer/2R für den Impuls.
Nun lassen Sie uns vom Impuls zur Driftgeschwindigkeit gehen, deren Referenz die durchschnittlichen Geschwindigkeit ist,
die man natürlich durch Division mit der Gesamtmasse bekommt, ich nenne sie V.
Dies ist die Definition und dies ist notwendigerweise die Geschwindigkeit, alles, was man tun muss,
ist dies durch groß M zu teilen, das die kleinen Massen enthält, so bekommt man einen diskreten Satz von Driftgeschwindigkeiten.
Das ist noch nicht so interessant, aber nun will man zu einem Konzept gehen, die den Hydrodynamikern gut bekannt ist
und die Zirkulation genannt wird, die das Linienintegral der Geschwindigkeit um eine geschlossene Kurve herum ist;
wie Sie wissen, ist diese Zirkulation im Fall einer Flüssigkeit ohne Reibung eine Bewegungskonstante.
Es bedeutet nicht die Erhaltung vom Drehimpuls, aber das ist, was es ist.
Nun, in unserem vereinfachten Fall unser DS, alles was man macht, ist, dass man in dem kreisförmigem Rohr herumgeht,
und V ist eine Konstante, dann bekommt man 2piR x V und wenn man daher diesen Wert für V einsetzt, dann findet man,
dass die Zirkulation, wieder als ungefähres diskretes Spektrum, ein ganzzahliges Vielfaches von N x h ist.
Dies ist nun die wirkliche Plancksche Konstante h, nicht h quer, nicht Diracs h, sondern Plancks h,
geteilt durch die Masse eines einzelnen Atoms.
Diese Quantisierung der Zirkulation, wie wir sie richtig nennen können,
wurde tatsächlich als einer der richtig interessanten Fakten beobachtet.
Eines der sehr schönen Experimente, es wurde von mehreren Jahren durch Reif durchgeführt,
der Alphateilchen in suprafluides Helium schoss und so Wirbel in Form eines Rauchkringels produzierte und sie dann beschleunigte.
Die Ladung sitzt auf dem Rauchkringel, er beschleunigt ihn in einem elektrischen Feld.
Und davon berechnet er durch Anwendung der klassischen Hydrodynamik einfach den Wert der Zirkulation.
Und er fand tatsächlich einen Wert sehr nah an diesem und dem h/M Verhältnis, das von seinen Experimenten stammt,
und der stimmt mit den gut-bekannten Verhältnissen überein, bis auf ein paar Prozent.
Und es gibt tatsächlich einige Gründe, warum man mehr Zeit benutzen sollte, eine genauere Bestimmung durchzuführen.
Aber es ist kein Präzisionsinstrument, aber ich wollte nur sagen, dass es keine reine Phantasie ist,
sondern etwas mit der Realität zu tun hat.
Gut, nun gibt es noch etwas anderes, dass man von dieser einfach gestrickten Betrachtung lernen kann.
Nun, ich habe hier wieder meine gestrichelte P^2/M Kurve gezeichnet.
Sie ist hier, dieses Mal habe ich sie als Funktion der Geschwindigkeit anstelle des Impulses gezeichnet,
weil die zwei eng verwandt sind, und auf einer etwas kleineren Skala,
so setzt man diese Schlangen auf die Parabel auf und man macht weiter und weiter.
Aber jetzt passiert etwas, weil die Steigung der Parabel steiler und steiler wird
wenn man Ihre Parabel höher und höher hinauf geht, und mit der Ausnahme von sehr singulären Kurven,
periodische Kurven wie das dort, da kommt ein Punkt, wo es kein Minimum mehr gibt.
Ich habe dies kritische Geschwindigkeit genannt, ich habe versucht, sie hier anzudeuten.
Und Sie sehen, hier gibt es noch ein Minimum, hier wird es ziemlich flach, und dort gibt es kein Minimum mehr.
Und ab dann hört es auf.
So, das bedeutet daher, dass.., ok, ich komme hierauf zurück, es bedeutet daher,
dass diese Minima nur bis zu einer bestimmten Geschwindigkeit wirklich existieren,
die man eine kritische Geschwindigkeit, sogar die kritische Geschwindigkeit nennen kann, weil sie sehr bekannt ist.
Es ist eine bekannte Tatsache, dass man jenseits einer bestimmten Geschwindigkeit keinen Suprafluss aufrechterhalten kann,
bei flüssigem Helium, 1 Grad Kelvin oder so, von der Ordnung vielleicht 20, 30 Meter pro Sekunde.
Darüber wird es nicht mehr toleriert.
Nun sollte ich etwas schon vorher gesagt haben, und ich entschuldige mich dafür, über die Signifikanz dieser Minima.
Und ich habe schon vorher gesagt, bis jetzt habe ich die Wand total vernachlässigt,
oder ich habe angenommen, dass die Wand perfekt glatt und starr ist.
Und wenn das der Fall wäre, würde alles unendlich lang fließen.
Nun müssen wir uns fragen, was würde die Wand tun?
Nun, wie ich schon vorher gesagt habe, zuvor habe ich die Situation beim absoluten Nullpunkt betrachtet, und das bedeutet,
dass ich eine Wand bei absolute Null haben will,
aber nun erlaube ich eine bestimmte Menge an Wechselwirkung zwischen der Wand und den Heliumatomen.
Nun, wenn ich in einem Minimum wie hier sitze und die Wand und mit irgendeiner Wechselwirkung der Wand,
würde die Flüssigkeit zu einem niedrigeren Impuls gehen wollen als es eine normale Flüssigkeit tun würde,
wenn sie austrocknet, dann würde die Wand sagen, leider kann ich das nicht tun, ich kann dir keine Energie geben,
weil die Energie steigen muss, wie man sieht.
Nun, man könnte sagen, liebe Wand, warum kannst Du nicht ein wenig generöser sein.
Nehmen wir an, ich sitze hier und Du gibst mir einen ausreichenden Impuls, um direkt hierhin zu springen,
dann habe ich meine Energie von hier zu hier erniedrigt.
Nun, das ist eine gut bekannt Situation, auch im Fall von anhaltenden Strömen und Supraleitern,
man behandelt keine absoluten Minima, sondern behandelt relative Minima.
Und in einem bestimmten Sinn kann man sagen, dass auch supraleitender Strom in einem Kreis nicht ewig anhält.
Aber er hält für mehrere Stunden an, oder mehrere Monate oder vielleicht ein Jahr oder so.
Anders gesagt, ich habe es nie berechnet, es besteht eine endliche Wahrscheinlichkeit eines Sprungs.
Oh ja, nun, eines will ich noch sagen, das ist vollständig analog zum Fall eines Supraleiters.
Die Quantisierung der Zirkulation entspricht der Quantisierung eines Flusses in dem Supraleiter,
und das ist ein sehr analoges Argument.
Nun gut, wie in einem Supraleiter, es könnte im Prinzip passieren, aber es wird vermutlich eine ziemlich lange Zeit benötigen.
Wie ich sagte, habe ich es nicht berechnet, aber vielleicht das Alter des Universums für einen ziemlich großen Ring.
Der Punkt hier ist, dass es sehr unwahrscheinlich ist, obwohl man von hier zu hier gehen kann,
ein sehr unwahrscheinlicher Übergang.
Was es nämlich bedeutet, ist, dass jedes Atom gleichzeitig exakt dieselbe Menge h/R von einer Drehmomenteinheit verlieren muss.
Nun, dass alle die Atome so nett kooperieren sollten und den Sprung zusammen machen,
ich denke mit ein wenig Händewedeln wird es verständlich, das ist ein reichlich unwahrscheinlicher Prozess
und ist für die wirklich extrem lange Stabilität von andauernden Flüssen oder andauernden Strömen verantwortlich.
Gut, und nun habe ich die kritische Geschwindigkeit schon erwähnt und man kann es ausdrücken, man kann sagen, es passiert,
wenn der absolute Wert der Ableitung dE nach dP, nun, es ist durch den absoluten Wert von dem hier definiert, weil,
wenn dies kleiner wird, je kleiner dies ist, umso früher werden die Minima aufhören und es gibt keinen suprafluiden Fluss mehr.
Nun ja, ich versuche, die Sünden meiner Vorgänger gut zu machen und kurz zu sein, aber ich will nur,
wie lange habe ich wirklich geredet, eine halbe Stunde?
Gut, ich denke, ich werde in den nächsten 15 Minuten fertig, dann habe ich zwar nicht ihre Sünden wieder gut gemacht,
aber auch nicht dazu beigetragen.
Ok, nun Sie haben sich mit Recht gefragt nun, schön und gut, wir haben angenommen, wir waren wirklich sehr gut.
Wir haben unseren Glaubensakt begangen und geglaubt, dass diese Minima existieren, und dass das etwas mit der Realität zu tun hat.
Es erklärt die Quantisierung der Zirkulation, es erklärt die kritische Geschwindigkeit.
Aber unter welchen Bedingungen kann man nun vernünftigerweise erwarten, dass dies wirklich passiert?
Nun werde ich, an diesem Punkt werde ich ein wenig auf Modelle eingehen.
Das heißt, der generelle Teil ist beendet, was man generell sagen kann, habe ich gesagt.
Aber jetzt wäre es interessant sich zu fragen, welche Art von mikroskopischen Annahmen müsste man machen,
um tatsächlich diese starke oder einigermaßen starke periodische Abhängigkeit zu bekommen.
Und als ersten Fall will ich mit Ihnen das diskutieren, was London ursprünglich vorschlug, i.e.
lassen Sie uns die Wechselwirkung zwischen Atomen vergessen, es ist sicherlich eine fürchterliche Näherung.
Aber nehmen wir an, wir würden tatsächlich mit dem Bose-Einstein-Gas zu tun haben und fragen uns,
was mit einem solchen System beim absoluten Nullpunkt passiert.
Wie Sie natürlich gut wissen, lange vor dem absoluten Nullpunkt tritt dieses Phänomen der Einstein-Bose-Kondensation auf.
Aber lassen Sie uns sogar zu diesem Extrem gehen und bis zum bitteren Ende gehen,
wo im Grundzustand des Systems alle Atome den Impuls Null haben.
Nun, das werden wir jetzt nicht annehmen, aber lassen Sie uns sehen, was im Fall des idealen Bosegases passiert.
Gut, hier habe ich nun die Energie eines einzelnen Atoms aufgeschrieben, die einfach seine kinetische Energie ist.
Und nun werde ich versuchen, die niedrigste Energie für einen gegebenen Impuls zu konstruieren.
Und wie macht man das?
Nun, man nimmt jedes Atom und gibt ihm einen Stoß in die X-Richtung.
Aber jedes nur in die X-Richtung, vergeuden Sie keine Zeit für irgendeinen seitlichen Impuls,
der wird Sie nur Energie kosten, ohne Ihnen einen Kreisimpuls zu geben.
So, nehmen wir an, Sie nehmen nun neue Atome und derzeit wären es besser weniger als N,
weil Sie keine mehr haben, neue Atome, eine beliebige Zahl von Atomen,
man gibt jedem davon seinen minimalen Impuls, h/R und das bedeutet, dass der Gesamtimpuls das hier ist.
Das ist der billigste Weg, der mit dem niedrigsten Energieaufwand, einen gegebene Menge an Impuls zu bekommen.
So, wir haben neue Teilchen mit Impuls P=h/R und die anderen, wir lassen sie in ihrem Impulszustand 0, gut.
Nun gut, dann können wir sehr einfach die Gesamtenergie berechnen, mü x der kinetischen Energie P^2/2M
und das können Sie auch in dieser Form addieren, wenn Sie diese Form P benutzen.
Und nun lassen Sie uns die entsprechende relative Energie, wie ich sie nennen würde, berechnen.
Die bekommt man, indem man jetzt P^2/2M subtrahiert und dann ist dies die Form, die man bekommt.
Das ist zwischen 0 und N gültig.
Und wie Sie bemerken, dies ist eine Parabel und ich habe sie hier gezeichnet.
Sie startet mit 0 und sehr schön, wie es sollte, kommt sie wieder zu 0, wenn P=Nh/R.
Aber jetzt kann man hier natürlich weitermachen.
Nehmen Sie an, Sie haben alle Ihre Atome von 0 zu N gebracht, dann sind Sie wieder hier und Sie fangen wieder an,
lassen die meisten der Atome im Zustand 1 und fangen dasselbe wieder an.
Mit anderen Worten, und dies ist, wie ich schon vorher sagte, eine generelle Aussage,
dies ist eine Parabel, die sich periodisch wiederholen muss.
So, das ist endlich ein Bild, ein sehr einfaches Bild dieses Falls der periodischen Funktion E0 von P.
Aber der Ärger ist, dass Sie dies hier bekommen, was ich hier angedeutet habe, wenn Sie diese Funktion P^2/M überlagern,
um die Gesamtenergie zu erhalten.
Sie sehen, dass die Energie natürlich einfach linear mit dem Impuls ansteigt, hier ist es.
Und so anstelle diese netten Minima zu sehen, die ich vorher gezeigt habe, bekommt man einfach, man nimmt diesen Punkt,
eine geraden Linie, und noch eine gerade Linie und noch eine, wo sind die Minima, nun, hier ist eins, das bei 0,
aber sonst nichts.
Und das stimmt, unglücklicherweise, und ich spreche jetzt über meinen Freund, Fritz London,
es ist nicht richtig, dass das Einstein..., das ideale Einstein-Bose-Gas zur Suprafluidität führt.
Dies ist eine Tatsache, die schon vor einer ganzen Weile erkannt wurde.
Tatsächlich ist Bogoliubov so weit gegangen, den Effekt einer schwachen Bindung zu berechnen,
und er fand, dass sie richtig wichtig ist, um Supraleitung, Suprafluidität zu haben.
Und das möchte ich jetzt erklären.
Ich beziehe mich jetzt auf Bogoliubovs Veröffentlichung, die mathematisch eine ganz wunderbare Veröffentlichung ist,
aber sie hat nicht sehr viel mit der Wirklichkeit zu tun,
weil die Kopplung des Heliums ganz weit entfernt ist schwach zu sein, sie ist sehr stark.
Stattdessen werde ich die Landausche Terminologie benutzen, ich denke, das war tatsächlich der wichtige Beitrag von Landau,
zu postulieren, dass man, statt individuelle nicht-wechselwirkende Atome im Helium zu betrachten,
wie es bei einem idealen Gas der Fall wäre, sollte man an das denken, was er Quasipartikel nennt.
Nun, diese Quasipartikel sind wirklich das Resultat, das Endprodukt eines sehr komplizierten Spiels von Wechselwirkungen.
Und es benötigt wieder ein gewisses Maß an Glauben, um in sie zu glauben, aber man benötigt nicht zu viel Glauben,
wenn man sich auf Partikel mit einem ziemlich niedrigen Impuls beschränken, das bedeutet ziemlich lange De Broglie-Wellenlängen.
Wenn diese De Broglie-Wellenlänge lang ist verglichen mit der Distanz zwischen den Teilchen,
dann ist es ziemlich klar, dass diese Quasipartikel nichts anderes sind als die Quanten der akustischen Wellen,
sogenannte Phononen.
In diesem Fall hat man die Schallgeschwindigkeit, wenn es die Lichtgeschwindigkeit wäre,
hätte man die Energie eines Lichtquants, Lichtgeschwindigkeit x Impuls.
Hier ist die Schallgeschwindigkeit x der absolute Betrag des Impulses.
Dies wäre die Energie eines Phonons oder eines Quasiteilchens von Landau, wenigstens bei niedrigem Impuls.
Und da wir in niedrige Energien interessiert sind, sind wir vielleicht damit zufrieden.
Um die Abhängigkeit von epsilon zu geben, P ist nicht länger quadratisch, sondern, wenigstens für niedrige Impulse,
ist es linear und hat einen Faktor, eine Diskontinuität bei P=0, Diskontinuität der Steigung.
Gut, nun will man eine bestimmte Menge an Energie aufbauen, wieder auf dem billigsten Weg, wie man das macht,
man regt Phononen nur in die Richtung an, Phononen, die sich nur um das Ding herum bewegen und denkt nicht daran,
seitliche Schallwellen anzuregen, das ist eine Energieverschwendung.
Und das hat eine einfache Konsequenz, weil das bedeutet, dass die Gesamtenergie einfach U x dem Gesamtimpuls ist.
Und die relative Energie ist dann durch dies gegeben.
Nun gut, dies soll sein, ich will bei relativ kleinen Impulsen in diesem Bereich bleiben und ich habe versucht,
dieses auf dieser Zeichnung hier anzudeuten.
Und sie sehen hier diese typische Diskontinuität, P absolut.
Und natürlich können diese Dinge sich irgendwie fortsetzen,
man kann weiter machen und erhält größere Impulse für höhere Anregungen.
Aber wir wissen, dass sie periodisch ist.
So derselbe scharfe Punkt hier ist wieder da, muss hier wieder da sein und hier und hier und so weiter.
Wenn man das der Parabel überlagert, bekommt man jetzt ein nettes Resultat, das heißt in diesem Fall,
dass die Minima genau bei den Werten Nh/R sind.
Also wenn man höher geht, wird da natürlich wieder die kritische Geschwindigkeit sein; in diesem Fall,
da die Steigung hier wahrscheinlich kleiner wird, ist die größte Steigung tatsächlich die Lichtgeschwindigkeit,
man bekäme das Resultat, dass die kritische Geschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit ist.
Das ist nicht die ganze Wahrheit, sie ist ein wenig niedriger, oder einen Faktor 2 oder 3 niedriger.
Das kommt von der Tatsache, dass diese Näherung oder die Idealisierung, dieses lineare Gesetz zu behalten,
wirklich nur für die kleinsten Impulse gültig ist und wenn man ein wenig höher geht, muss man Korrekturen anwenden.
Wissenschaftler haben diese Funktion untersucht, epsilon(P), man kann es mit Neutronenstreuung machen,
unelastische Streuung von Neutronen in flüssigen Helium.
Und es ist tatsächlich so, obwohl sie, so wie ich sagte, linear beginnt, aber dann hat sie einige Knicke.
Und daher gibt es qualitative Änderungen.
Und wie ich sagte, diese Äußerung, dass die kritische Geschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit ist, ist nicht richtig.
Aber sie ist von derselben Größenordnung, und wir können nicht auf mehr als das hoffen.
Und die Zirkulation ist exakt.
Daher ist das eine Warnung für Leute, die h/M bestimmen wollen, im Unterschied zu den Leuten,
die E/h mit sehr großer Genauigkeit über die Flussquantisierung bestimmt haben.
Wenn man es mit großer Genauigkeit tun will, müssen Sie besser zu sehr, sehr niedrigen Temperaturen gehen,
weil diese Aussage nur gilt, solange ich bei der niedrigsten Energie bleibe.
Nun, ich denke, meine Zeit ist fast vorbei, ich möchte nur kurz weitergehen, Ihnen mitteilen,
was bei endlichen Temperaturen passiert.
Natürlich ist diese Kontinuität, die wir hier haben, nur eine Idealisierung und es ist dieselbe Idealisierung,
wie die Annahme, dass wir am absoluten Nullpunkt sind.
Wenn Sie nicht am absoluten Nullpunkt sind, dann muss man, statt der Energie selbst, die freie Energie betrachten.
Aber sie hat ziemlich ähnliche Eigenschaften.
Gut, nun kommt hier F, der Schwerpunkt, wieder auf, klein F entspricht nun der freien Energie,
die den Energieniveaus von klein E entspricht, die wir vorher hatten.
Und dann, wie Sie wissen, wurde es erhalten, indem wir den Logarithmus von dieser Partitionsfunktion dieser Summe hier nehmen.
Und was das effektiv macht, und man kann das leicht berechnen, es bedeutet natürlich,
dass man bei hohen Energien nicht mehr so sparsam ist,
man regt Phononen auch in Richtungen an, die nicht parallel zur X-Richtung sind.
Und was das macht ist, dass es dies hier runder macht.
Ich habe dies hier für T=0 angezeigt, F= ist gleich .....
gleich dieser diskontinuierlichen Kurve, dann wird es runder und runder.
Das kann man durch den Faktor alpha hier charakterisieren, dies ist nicht ganz alpha, eine Größe, die von T abhängt,
die kleiner wird, je kleiner die Geschwindigkeit.
Tatsächlich kann man sie berechnen und herausfinden, dass sie so aussieht, wie T/T*^4 so sie nimmt ziemlich schnell ab.
Wenn man die ganze Rechnung durchgeht, findet man, dass es eine Korrektur für den quantisierten Wert der Zirkulation gibt.
Es ist N x h/M, wie er am absoluten Nullpunkt wäre, x 1 + alpha.
Er wird also reduziert und man kann in einem gewissen Sinn annehmen,
dass alpha vielleicht bei der kritischen Temperatur unendlich wird, so dass dieser Wert auf null zugeht.
Wie auch immer, er ist reduziert.
Dies ist eine Formel, die für niedrige Temperaturen gilt, T klein verglichen mit einer gewissen Temperatur T*,
die durch diesen genauen Ausdruck hier gegeben wird, eine einfache Phononenrechnung.
Und diese Temperatur T* ist ungefähr 4-mal, ungefähr 90 Grad Kelvin.
Wenn Sie hier das Maß der Geschwindigkeit über der Dichte von Helium und der Schallgeschwindigkeit einsetzen,
kommen 90 Grad Kelvin heraus, ungefähr 4-mal die kritische Temperatur.
Warum genau diese zwei Temperaturen von derselben Größenordnung sind, es mag oder mag kein Zufall sein,
und ich denke, es ist kein Zufall.
Wie auch immer, es ist, was es ist.
Nun, nur sehr kurz: das kann auch anders benutzt werden, weil Leute sagen werden, oh nein, nein, nein, das ist nicht wahr,
die Zirkulation ist immer noch streng h/M und man sollte nur nicht über das ganze Helium sprechen,
sondern man sollte über den suprafluiden Teil sprechen.
Es gibt ein oft nützliches Modell, ein zwei-Flüssigkeits-Modell, bei dem man sagt,
dass nur am absoluten Nullpunkt alles Helium suprafluid ist, und bei endlichen Temperaturen ist es das teilweise,
und dann ist am Lambda-Punkt natürlich alles normal.
Und man kann das so ausdrücken, ich habe nie ganz verstanden, was das bedeutet;
wenn man ein Heliumatom fragt: Bist Du normal oder bist Du suprafluid?,
der arme Kerl wird sicherlich nicht wissen, was er sagen soll, er ist nur Teil einen Gesamtsystems.
Aber es kann so interpretiert werden, das ist auch nicht meine Entdeckung,
es wurde in Londons Buch über Suprafluidität diskutiert.
Und man kann tatsächlich sagen, dass mit dieser Definition von normal zu suprafluid die Zirkulation h/M ist,
multipliziert mit dem Verhältnis von suprafluid zu normal und daher beim absoluten Nullpunkt 1 ist,
dieser Faktor wird wahrscheinlich Null am Lambdapunkt.
Wie ich sagte, ich will Ihre Zeit nicht länger in Anspruch nehmen, Sie sind wahrscheinlich hungrig und ich bin das auch,
und wir wollen Doktor Esaki hören.
Da gibt es einige andere interessante Punkte, die ich gerne über Helium-3 gemacht hätte,
weil das natürlich eine ganz andere Geschichte ist.
Ich habe nur über Helium-4 gesprochen, weil wir über Bosonen-Systeme gesprochen haben,
wohingegen Helium-3 ein Fermionen-System ist.
In diesem Fall, nun, es war eine Sache von einer langen Debatte, ob Helium-3 überhaupt suprafluid werden würde,
es wird sicherlich nicht suprafluid bei 2,2 Grad Kelvin.
Aber kürzlich, in der Nähe von einigen Milligrad, wurden einen Menge interessanter Übergänge gefunden.
Und einer davon ist, denke ich, nun ziemlich gut etabliert, ist tatsächlich Suprafluidität.
Wenn man das erklären will, müssen Sie natürlich dieselbe Art von Argumentation verwenden wie Bardeen, Cooper und Schrieffer
es bei der Erklärung der Suprafluidität, Entschuldigung, ich meine Supraleitung taten,
und der entscheidende Punkt dort ist die Bildung von Cooperpaaren.
Das heißt, man muss einen Mechanismus annehmen und einführen, durch den ungefähr 2 Helium-3 Atome eine Einheit bilden,
und dann kann das effektiv ein Bose-Einstein-Kondensat werden.
Ich rede in einer Art und Weise, die Doktor Cooper entsetzen wird, aber er ist ein netter Mann und wird mir vergeben.
Es ist eine sehr komplizierte Berechnung, die Theoretiker sind eine lange Zeit herumgeirrt,
die Schätzungen haben zwischen 10^-6 und 10^-1 Grad absolut fluktuiert, denke ich.
Die Wahrheit ist irgendwo in der Nähe von 10^-3.
Aber es ist noch sehr viel komplizierter.
Aber eine Sache möchte ich sagen, und ich weiß nicht, ob es gemessen wurde,
aber das Quant der Zirkulation muss sicherlich die Hälfte vom dem Quant im Fall von flüssigen Helium sein,
einfach weil man 2 Atome hat, die beitragen, h/M, man muss h/2M schreiben.
Das schließt meine sehr generelle Aussage nicht aus, obwohl ich Ihnen Ihre Kurve pädagogisch nur mit Minima bei 1 und 2
und ganzen Teilen dieses charakteristischen Impulses gezeichnet habe.
Eine periodische Funktion kann natürlich auch sich periodisch wiederholende Minima dazwischen haben.
Und das ist genau das, was man im Fall des suprafluiden Heliums annehmen müsste.
Nun, wie ich sagte, meine Zeit ist vorbei und vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
Applaus.
