Meine sehr geehrten Damen und Herren, ich freue mich sehr über die Gelegenheit,
auf meinem Rückweg von New York nach Kyoto hier in Lindau sprechen zu können.
Es tut mir nur leid, dass ich den Vortrag nicht auf Deutsch halten kann.
Ich musste mich für Englisch entscheiden; diese Sprache habe ich einige Jahre vor Deutsch gelernt.
Jedenfalls aber fällt mir der Vortrag nicht leicht, da meine Muttersprache ganz anders ist als alle europäischen Sprachen.
Ich werde Ihnen etwas über die Arbeit berichten, mit der ich mich seit einigen Jahren befasse.
Die moderne Atomtheorie hat versucht,
mit so wenigen Elementarbausteinen wie möglich ein möglichst vollständiges Bild der materiellen Welt zu zeichnen.
Wie es aussieht, sind wir diesem Ziel näher als je zuvor, seit im Jahr 1932 das Neutron entdeckt wurde.
Die Elektronen, Protonen und Neutronen erwiesen sich als die einzigen Bausteine der gewöhnlichen Materie.
Die Protonen wurden mit dem elektromagnetischen Feld in Verbindung gebracht.
Das Positron wurde im selben Jahr entdeckt,
was als Bestätigung der bereits erfolgreichen Theorie des Elektrons von Professor Dirac begrüßt wurde.
Andererseits war jedoch schon damals klar, dass das Bild noch nicht vollständig war.
Zwei Probleme waren noch ungelöst:
Das eine war der Betazerfall, das andere waren die Kernkräfte.
Der Erfolg von Fermis Theorie über den Betazerfall brachte uns dazu,
die Existenz des von Pauli postulierten Neutrinos zu akzeptieren.
Eine relativistische Feldtheorie der Kernkräfte führte uns zu einem weiteren Elementarteilchen.
Die Feld- und Teilchentheorie scheint die Existenz desjenigen Teilchens vorauszusetzen, das heute Meson genannt wird.
Mesonen sind mit dem Kernkraftfeld in Verbindung zu bringen.
Eine Art von Meson, später mu-Meson genannt, wurde im Jahr 1937 von Anderson und Neddermeyer entdeckt,
hatte jedoch, wie sich herausstellte, wenig bis gar nichts mit den Kernkräften zu tun.
Stattdessen soll es sich bei dem von Professor Powell im Jahr 1947 entdeckten Pi-Meson um dasjenige handeln,
das in erster Linie für Kernkräfte oder zumindest für einen beträchtlichen Teil der Kernkräfte verantwortlich ist.
Das schien schon etwas zu kompliziert zu sein, um als etwas Endgültiges akzeptiert zu werden.
Im Gegenteil – wie sich später herausstellte, war das erst der Beginn weiterer Komplikationen.
Wie Professor Powell vorgestern darlegte, wurde seit 1947 eine Vielzahl instabiler Teilchen in kosmischen Strahlen entdeckt,
eins nach dem anderen.
Einige von ihnen wurden künstlich durch Hochenergiebeschleuniger erzeugt.
Es scheint, dass bei unserem fortgesetzten Streben nach der Hochenergiefusion immer mehr neue Teilchen ans Tageslicht kommen.
Professor Powell machte mich dafür verantwortlich, doch ich benötige tatsächlich nur eine Art von Meson.
Professor Powell dagegen entdeckte eine große Zahl zusätzlicher Teilchen, die ich nicht brauchte.
Jedenfalls sieht es so aus, als würden wir uns sozusagen in einer offenen Welt befinden – in dem Sinn,
dass eine kleine Zahl von Elementarteilchen, die uns vertraut waren, nicht die einzigen elementaren Bausteine unserer Welt sind,
sondern nur die stabileren Mitglieder einer großen Familie von Elementarteilchen.
Natürlich kann man immer noch argumentieren, dass die meisten der neu entdeckten instabilen Teilchen
nicht wirklich elementar sind, sondern dass es sich um Verbundsysteme handelt,
die in Wirklichkeit aus zwei oder mehr Elementarteilchen bestehen.
Unabhängig davon jedoch, ob wir uns bei der Darstellung der Theorie von Elementarteilchen
dieser etwas konservativen Auffassung anschlossen oder eine radikalere Ansicht vertraten und eine Vielzahl von Teilchen
in dem Sinn als elementar akzeptierten, dass sie alle elementar waren – um eine Frage kamen wir nicht herum:
Was ist das Elementarteilchen?
Auf den ersten Blick ist es schwieriger, das Elementarteilchen mathematisch präzise zu definieren.
Nach der schon im Jahr 1930 hauptsächlich von Professor Dirac,
Heisenberg und Pauli begründeten relativistischen Quantenmechanik wird die Idee von Gewicht und Korpuskel am besten
durch das Konzept quantisierter Felder ausgedrückt.
Die klassische Physik definiert ein Feld als die Funktion der drei Raumvariablen und einer Zeitvariablen.
Man könnte auch sagen, es ist die Gesamtheit unendlich vieler Mengen mit Raum-Zeit-Koordinaten als Parameter.
In der Quantentheorie der Felder müssen wir die Funktion dadurch ersetzen,
dass wir ein Feld durch eine große Zahl von Operatoren definieren, um die Dualität von Gewicht und Teilchen zu berücksichtigen.
Das quantisierte Feld ist also die Gesamtheit unendlich vieler Operatoren oder es kann eine Anzahl von Komponenten aufweisen.
Damit die Feldtheorie mit dem Prinzip der Relativität in Einklang steht,
müssen die Feldmengen nach der Lorentz-Transformation linear transformieren.
Nennen wir ein solches von uns verwendetes Feld ein lokales Feld – im Unterschied zu einem nicht-lokalen Feld,
das später erörtert wird.
Nun könnte man ein Elementarteilchen als dasjenige definieren, das mit einem irreduziblen lokalen Feld verbunden ist.
Ein Feld wird dann irreduzibel genannt, wenn es nicht mehr in selbständig
und nach der Lorentz-Transformation linear transformierende Teile zerlegt werden kann.
Das ist die abstrakte mathematische Darstellung der Tatsache, dass das Teilchen elementar ist,
dass es nicht in noch elementarere Bestandteile zerlegt werden kann.
Auf diese Weise wird der sogenannte Spin des Elementarteilchens genau definiert.
Das Skalarfeld zum Beispiel bzw. das Skalarfeld, dem wir in der Theorie der Mesonen begegnen,
insbesondere in der Theorie der pi-Mesonen mit nur einer Komponente, ist mit Teilchen verbunden,
die einen Spin von null aufweisen, wohingegen das Feld, welches das Elektron beschreibt,
Spinoff-Feld genannt wird und mit Teilchen verbunden ist, die eine Spin von ein halb aufweisen.
Ein quantisiertes Feld ist die Gesamtheit jener Operatoren, die den gewöhnlichen Gesetzen der Algebra
bzw. der gewöhnlichen Zahlen nicht gehorchen; es handelt sich vielmehr um Operatoren,
die untereinander im Allgemeinen nicht kommutativ sind.
Die Kommutationsabweichungen zwischen diesen Mengen sind daher in quantisierten Feldtheorien von größter Bedeutung.
Die Kommutationsabweichungen bestimmen die Statistik des entsprechenden Aufbaus der Teilchen.
Eine der attraktivsten Eigenschaften der Quantentheorie von Feldern bestand darin, dass sie uns in die Lage versetzte,
die allgemein bekannte Abweichung zwischen Spin und Verteilung von Elementarteilchen herzuleiten –
der Teilchen mit einem Spin von null oder einem ganzzahligen Spin der Bose-Einstein-Statistik
bzw. mit einem ganzzahligen Spin der Fermi-Dirac-Statistik.
Das ist eine allgemein bekannte empirische Regel,
die keine Ausnahmen kennt und von der mathematischen Theorie quantisierter Felder abgeleitet werden kann.
Wir gehen außerdem davon aus, dass jede Art von Elementarteilchen seine eigene, einzigartige Masse hat.
Die Problematik der gegenwärtigen Feldtheorien entsteht im Zusammenhang mit einem anscheinend sehr einfachen Problem der Masse.
Für gewöhnlich beginnt man mit der Feldgleichung für das Feld – in unserem Fall für das quantisierte Feld –
in Form der allgemein bekannten Wellengleichung zweiter Ordnung.
Wir gehen also von der Annahme einer einzigartigen Masse für die mit dem Feld verbundenen Teilchen aus.
In den heutigen Feldtheorien, im Rahmen der heutigen Feldtheorien besteht jedoch kein Grund,
warum wir von vornherein für die Masse einen bestimmten eindeutigen Wert festlegen sollten.
Der Wert der Masse ist vollkommen willkürlich.
Das ist mit Sicherheit das Manko der heutigen Feldtheorie.
Was tut man also?
Man setzt einfach die in der Feldgleichung vorkommende Masse mit der beobachteten Masse des fraglichen Teilchens gleich.
Das wiederum ist jedoch unzulässig – einfach deshalb, weil das fragliche Teilchen genau aus dem Grund beobachtet werden kann,
weil es nicht frei ist.
Unser Ausgangspunkt war die Feldgleichung für ein vollkommen freies Teilchen, doch wenn es vollkommen frei ist,
kann es niemals beobachtet werden.
Es wird beobachtet, weil es mit anderen Teilchen in Wechselwirkung tritt.
In der Quantentheorie von Elementarteilchen lässt sich also das Problem der Masse eines Elementarteilchens
nicht vom Problem der Wechselwirkung zwischen Teilchen oder zwischen quantisierten Feldern trennen.
In der gewöhnlichen Feldtheorie nehmen wir an, dass es sich bei der Wechselwirkung zwischen den Feldern
oder zwischen den Teilchen um die lokale Wechselwirkung handelt – lokale Wechselwirkung ist der bessere Ausdruck;
man kann sie auch die Punktwechselwirkung nennen.
Da uns das Bild von Punktteilchen vorschwebt, halten wir Elementarteilchen für Punkte ohne Ausdehnung oder interne Struktur,
so dass sie nur dann miteinander in Wechselwirkung treten, wenn sie einander sehr nahe kommen.
Die Auswirkungen eines anderen Felds auf das Feld, des zweiten Felds auf das erste Feld,
sind nur an ein und demselben Punkt zu spüren.
Der mathematische Ausdruck für die Wechselwirkung in der lokalen Feldtheorie – mit der lokalen Wechselwirkung – lautet also:
Es gibt eine bestimmte zusätzliche Größe in der Feldgleichung,
die vom Produkt einer Zahl von Feldmengen am selben Raumzeitpunkt abhängt.
Nennen wir das die lokale Wechselwirkung.
Wenn wir nun eine derartige Wechselwirkung einführen, wird die Masse des Teilchens, das mit dem Feld verbunden ist –
sagen wir mit Feld 1, dem ersten Feld – wegen der Wechselwirkung um einen bestimmten Betrag geändert.
In der klassischen Elektrodynamik zum Beispiel war bekannt,
dass die Energie des elektromagnetischen Felds um eine Punktladung unendlich war, weil sich das Feld, das elektromagnetische Feld,
sehr nahe an der Punktladung befindet – es ist sehr groß, weshalb sich der Gesamtbetrag der Feldenergie als unendlich groß erwies.
Doch die Gesamtenergie des Systems einschließlich der Punktladung
und des sie umgebenden Felds zusammengerechnet muss C2-mal der Gesamtmasse des Systems entsprechen.
In der klassischen Elektrodynamik stoßen wir also auf das ernste Problem der unendlichen Masse oder, anders ausgedrückt,
der unendlichen Selbstenergie – der vom Teilchen erzeugten Energie des Feldes.
In der allgemeinen Quantenfeldtheorie stellten sich die Selbstenergien von Teilchen erneut als unendlich heraus.
Im Fall des Elektrons ist die Energie des das Elektron umgebenden elektromagnetischen Feldes noch immer unendlich,
obwohl der Grad der Unendlichkeit stärker als in der klassischen Elektrodynamik reduziert ist.
Dieses Problem war bereits im Jahr 1930 bekannt, als die Quantenfeldtheorie,
insbesondere die Quantenelektrodynamik, begründet wurde.
Aus Sicht der Wechselwirkung zwischen Feldern oder Teilchen ist es nicht möglich,
die Masse des Elementarteilchens durchgängig zu bestimmen.
Man kann von einem bestimmten vorgegebenen Wert für die Masse eines Teilchens ausgehen, dann führt man Wechselwirkung ein,
woraufhin die Veränderung der Masse grundsätzlich unendlich groß ist,
weshalb die zu Beginn vorgenommene erste Bestimmung der Masse bedeutungslos ist.
Man muss also anerkennen, dass die genaue Bestimmung der Masse eines Elementarteilchen unmöglich ist,
solange man nicht in der Lage ist, die unbegrenzte Energie auf die eine oder andere Weise loszuwerden.
Es gab viele Versuche, dieses äußerst schwerwiegende Problem in der Feldtheorie von Elementarteilchen zu überwinden.
Einer davon war die sogenannte gemischte Feldtheorie,
die Pais und Sakata während des letzten Krieges unabhängig voneinander vorschlugen.
Beschäftigen wir uns noch einmal mit dem uns bereits bekannten Fall
des mit dem elektromagnetischen Feld in Wechselwirkung tretenden Elektrons.
Wie ich schon sagte, ist die Selbstenergie des Elektrons
aufgrund des vom Elektron selbst produzierten elektromagnetischen Feldes unendlich.
Wenn wir jedoch außerdem annehmen, dass das Elektron gleichzeitig mit einem anderen Feld geeigneter Art
auf geeignete Weise in Wechselwirkung tritt, haben wir Grund zu der Hoffnung,
dass die aufgrund der späteren Wechselwirkung auftretende Selbstenergie der elektromagnetischen Selbstenergie
des Elektrons genau entgegenwirkt, so dass die daraus resultierende Selbstenergie endlich werden kann.
Tatsächlich ist das dann der Fall, wenn wir als zweites Feld ein Skalarfeld wählen,
an das neutrale Partikel mit einem Spin von null und mit einer Masse in der Größenordnung der Masse von Mesonen gebunden sind,
die mit dem Elektron genauso stark in Wechselwirkung treten wie das elektromagnetische Feld.
Wenden wir außerdem den gleichen Gedanken auf den Fall des Protons an, erhalten wir das attraktive Ergebnis,
dass die Masse des Protons um einen geringfügigen Betrag in der Größenordnung der Elektronenmasse kleiner sein wird
als das neutrale Gegenstück, bei dem es sich um das Neutron handeln soll.
Im Fall des Elektrons ist die Masse des Elektrons zweifellos größer als die Masse des neutralen Gegenstücks,
bei dem es sich um das Neutrino handeln soll.
Das liegt daran, dass die Masse des Protons oder zunächst des Neutrons als größer angenommen wird
als die Masse des an das Skalarfeld gebundenen Teilchens.
Wobei im Fall des Elektrons die Masse zunächst sicherlich kleiner ist
als die des an das neue Skalarfeld gebundenen Teilchens mit dem Spin von null.
All das weckte neue Hoffnungen im Hinblick auf die Konstruktion einer konsistenten Feldtheorie,
die von den sozusagen pathologischen Problemen des Auftretens der Unendlichkeiten, von Divergenzproblemen befreit wäre,
indem man die Koexistenz einer Anzahl bekannter und unbekannter Felder in der Weise annahm,
dass die Selbstenergien all der an diese Felder gebundenen Teilchen endlich würden, weil sie sich gegenseitig aufhoben.
Genau wie im Fall der Kombination des elektromagnetischen Felds mit dem Skalarfeld.
Der Versuch war einigermaßen erfolgreich, doch es besteht wenig Hoffnung, dass sich alle Unendlichkeiten,
alle Divergenzen beseitigen lassen, so lange wir uns nicht von den lokalen Feldtheorien mit lokalen Wechselwirkungen lösen.
Unter den bei den Feldtheorien auftretenden Divergenzen gibt es nämlich eine namens Vakuumpolarisation,
die sich ein wenig von den einfacheren Divergenzen von der Art der Selbstenergie unterscheidet.
Auf die Definition der Vakuumpolarisation und die damit zusammenhängenden Themen wollen wir jetzt nicht im Einzelnen eingehen.
Ich kann nur sagen, dass sich diese Art von Divergenz
durch die Annahme einer Koexistenz verschiedener Arten von Teilchen nicht beseitigen lässt.
Wir glauben also nicht, dass es eine zutreffende Kombination einer Anzahl dieser Teilchen gibt,
die alle Divergenzprobleme bei Feldtheorien beseitigt.
Trotz dieses Mangels weist jedoch die Idee einer gegenseitigen Aufhebung deutlich darauf hin,
dass die Koexistenz verschiedener Felder und der daran gebundenen Teilchen nicht zufällig ist,
sondern dass sich möglicherweise ein zwingender Grund dafür finden lässt.
Im Zusammenhang damit möchte ich erwähnen, dass die jüngste, auf Tomonaga, Schwinger
und viele andere zurückgehende Entwicklung in der Quantenelektrodynamik wirklich bemerkenswert ist –
alle bisher im Zusammenhang mit der Quantenelektrodynamik bekannten experimentellen Ergebnisse wurden reproduziert.
Und zwar mit großer Genauigkeit, worauf Professor Dirac bereits gestern hingewiesen hat.
Das war jedoch erst möglich, nachdem man die theoretisch unendlichen Massen
und die theoretisch unendliche elektrische Ladung durch die beobachteten endlichen Massen und die endliche Ladung ersetzt hatte.
Diese Ersetzung – wir nennen sie üblicherweise Renormierung von Masse und Ladung – war also völlig gerechtfertigt.
Dem theoretischen Rahmen selbst lässt sich die vollständige Rechtfertigung nicht entnehmen.
Im Zusammenhang mit diesem Verfahren der Ersetzung einer theoretisch unendlichen Masse
oder anderer Größen wie der elektrischen Ladung, vielleicht auch anderer physikalischen Größen, die endlich sein sollten,
theoretisch aber unendlich sind, die Ersetzung dieser theoretisch unendlichen Größen durch die beobachteten endlichen…
Im Zusammenhang mit diesem Verfahren der Renormierung lassen sich verschiedene Arten von Wechselwirkungen,
die normalerweise bei Feldtheorien wie der Quantenelektrodynamik oder der Mesonentheorie auftreten,
in zwei Kategorien unterteilen.
Die erste Kategorie enthält alle Wechselwirkungen, die als renormierbar bezeichnet werden.
Es ist schwierig, in der begrenzten für meinen Vortrag zur Verfügung stehenden Zeit genau zu definieren,
was renormierbare Wechselwirkung ist und was nicht.
Grob lässt sich sagen, dass im Fall der Dynamik, mit der zum Beispiel das Elektron eine Wechselwirkung ausübt,
das Elektron einfach als ein von Diracs Wellengleichung beschriebenes Teilchen angesehen wird,
als Teilchen mit einem Spin ein halb ohne zusätzliche Wechselwirkung.
Diese Wechselwirkung zwischen dem Elektron, zwischen Diracs Elektron und dem elektromagnetischen Feld, wird renormierbar genannt,
weil wir bereits gesehen haben, dass dann, wenn man die Massen und die elektrische Ladung des Elektrons,
die sich in der Theorie als unendlich erwiesen haben, durch die beobachtete endliche Masse und elektrische Ladung ersetzt…
wenn man an diesem Punkt beginnt, kommt man zu befriedigenden Ergebnissen,
die sehr genau mit unserem bekannten Experiment übereinstimmen.
In diesem Sinn kann man also sagen,
dass die in der gewöhnlichen Quantenelektrodynamik auftretenden Wechselwirkungen renormierbar sind.
Es gibt aber noch andere Arten von Wechselwirkungen, die komplizierter sind – so kompliziert,
dass das Renormierungsverfahren scheitert.
Mit anderen Worten:
Wen man das Renormierungsverfahren endliche Male wiederholt, kann man nie die gleichen Ergebnisse erzielen.
Ein paar Unendlichkeiten bleiben immer noch übrig.
Wenn man immer weitermacht, wenn man das Verfahren unendliche Male wiederholt, läuft es auf das Gleiche hinaus –
wenn man die Wechselwirkungen nacheinander einführt, immer singulärer.
Mathematisch ausgedrückt kann man sagen,
dass die Wechselwirkungen mit immer höheren Ableitungen der Feldgrößen nacheinander in alle Ewigkeit auftreten müssen.
In diesem Fall ist die Interaktion im Allgemeinen nicht mehr lokal, denn man kann einfach die Taylorentwicklung der Feldgröße
an einem Punkt betrachten, der sich in einer endlichen Entfernung vom Ausgangspunkt befindet.
Dann kann man die Feldgröße an einem bestimmten Punkt entwickeln,
der sich im Sinne der Feldgröße des Ausgangspunkts in der Nähe eines bestimmten Ausgangspunkts befindet.
Daraufhin treten Ableitungen beliebig höherer Grade auf, so dass dann, wenn man die Wechselwirkung zwischen zwei Feldern nimmt –
nicht nur an ein und demselben Punkt, sondern an zwei Punkten in endlichem Abstand –
dass dann diese Wechselwirkung auf die Wechselwirkung am selben Punkt zurückgeführt werden kann,
jedoch nur mit unendlich vielen Ableitungen beliebiger Grade.
Man kann also sagen, dass im Allgemeinen auch die lokale Wechselwirkung die nicht-lokale Wechselwirkung hervorrufen kann,
wenn man das Verfahren der Renormierung wiederholt,
was im Fall der Quantenelektrodynamik bei bestimmten Mesonentheorien erfolgreich war.
In diesem Zusammenhang kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist,
atomare und nukleare Phänomene ausschließlich in Form von renormierbaren Wechselwirkungen zu beschreiben.
Ist das der Fall, kann man sich mit der Quantentheorie der Felder in ihrer gegenwärtigen Form einigermaßen zufrieden geben,
ohne so etwas wie eine nicht-lokale Wechselwirkung einzuführen.
Doch die Antwort lautet sehr wahrscheinlich nein.
Die Wechselwirkung zwischen dem Elektron-Neutrino-System bzw. dem Elektron-Neutrino-Feld und dem Neutron-Proton-System,
das wir insgesamt als Nukleon bezeichnen… man weiß, dass das Nukleonfeld zwischen dem Elektron-Neutrino-Feld und dem Nukleon-Feld,
das in Fermis Theorie des Betazerfalls auftaucht, eine lineare Kombination aus fünf selbständigen Wechselwirkungen ist.
Auf die mathematische Formulierung der Theorie des Betazerfalls können wir nicht im Einzelnen eingehen.
Nur so viel:
Es gibt fünf Arten verschiedener Wechselwirkungen, unter anderem die so genannte Tensor-Wechselwirkung,
die für die Erklärung zahlreicher experimenteller Ergebnisse im Zusammenhang mit dem Betazerfall unerlässlich ist.
Diese bestimmte Art der Wechselwirkung, die Tensor-Wechselwirkung, ist aber leider nicht renormierbar.
Selbst wenn wir den von mir ganz zu Beginn der Mesonentheorie eingenommenen Standpunkt akzeptieren,
dass der Betazerfall kein Elementarprozess ist, sondern in zwei weitere Phasen unterteilt werden kann,
bei denen die Bildung und Migration eines virtuellen Mesons unbekannter Art stattfindet –
selbst wenn man einen derartigen Standpunkt akzeptiert, benötigen wir dennoch eine renormierbare Wechselwirkung.
Ist also die Wechselwirkung zwischen Feldern nicht renormierbar im gewöhnlichen Sinn, läuft dies,
wie ich bereits ausgeführt habe, auf das Gleiche hinaus – auf die Einführung einer Wechselwirkung,
die nicht nur das Produkt einer Feldquantisierung an einen Punkt ist.
Eine Wechselwirkung, die Ableitungen enthält, eine Wechselwirkung,
zu der die Wechselwirkung zwischen Feldquantisierungen an verschiedenen Punkten gehört, wird nicht-lokale Wechselwirkung genannt.
Die Einführung einer nicht-lokalen Wechselwirkung in Feldtheorien kann als Wiederbelebung der Theorie der Fernwirkung gelten,
von der man annahm, dass sie dem Begriff des Feldes in der klassischen Physik widerspricht.
Der einzige Grund, warum wir an Feldtheorien festhielten, war nämlich der, dass wir so die Fernwirkung vermeiden konnten.
In der Quantentheorie ist das aber möglicherweise anders, da das quantisierte Feld nicht nur aus dem Feld besteht,
sondern bereits Feld und Teilchen als zwei Erscheinungsformen derselben Substanz enthält.
In der Quantentheorie der Felder kann die Situation also eine andere sein.
Und vielleicht kann man die nicht-lokale Wechselwirkung einführen – die erinnert uns zwar an den Widerspruch
zwischen der Theorie der Fernwirkung und der Feldtheorie, aber in der Quantentheorie kann das dennoch möglich sein.
Auf die mathematische Formulierung einer derartigen Theorie möchte ich nicht im Einzelnen eingehen.
Man kann aber sagen, dass es dann, wenn man die nicht-lokale Wechselwirkung einführt, eine große Anzahl von Möglichkeiten gibt.
In der Tat sind die Wahlmöglichkeiten im Hinblick auf eine solche allgemeine oder lokale Wechselwirkung derart zahlreich,
dass die Theorie der nicht-lokalen Wechselwirkung im derzeitigen Stadium so willkürlich ist,
dass es auf viele Fragen im Zusammenhang mit Feldtheorien keine endgültige Antwort gibt.
Doch es gibt ein attraktives Merkmal, das unlängst in Kopenhagen von Müller und Christensen entdeckt wurde –
einige pathologische Merkmale der herkömmlichen Feldtheorien ließen sich
durch die Einführung bestimmter Arten nicht-lokaler Wechselwirkung beseitigen.
So kann man sich zum Beispiel in den einfachen Fällen der Mesonentheorie der Unendlichkeiten bei den Selbstenergien
oder in der Masse der Nukleonen entledigen, indem man die nicht-lokale Wechselwirkung zwischen ihnen einführt.
Das gilt sowohl für die Nukleonen als auch für die miteinander in Wechselwirkung tretenden Mesonen.
Beide konnten endliche Werte annehmen, so dass man die beobachtete Masse
mit der theoretisch hergeleiteten endlichen Masse gleichsetzen kann.
Führt man allerdings irgendeine Art nicht-lokaler Wechselwirkung ein, kann man es damit nicht einfach bewenden lassen,
denn dann wird eine grundlegende Änderung des Systems der relativistischen Quantentheorie erforderlich.
Es ist nämlich überhaupt noch nicht klar, was dann aus der Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik wird.
Die Schrödinger-Gleichung war ja erforderlich, um die Wellenfunktion
bzw. die Schrödinger-Funktion für ein quantenmechanisches System zu einem bestimmten Zeitpunkt T – zu einem beliebigen Zeitpunkt T –
in Bezug auf die Wellenfunktion zum vorherigen Zeitpunkt zu bestimmen.
Das war möglich, weil die Schrödinger-Gleichung im Hinblick auf die Differenzierung
hinsichtlich der Zeit eine Differentialgleichung erster Ordnung war.
Gibt man also den Anfangszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt in die Wellenfunktion ein,
wird das Verhalten der Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt durch Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung bestimmt.
Als ein gegebener Anfangszustand.
Möglich war das aufgrund der Eigenschaft der Wechselwirkung, die als lokal erschien.
Wenn man die nicht-lokale Wechselwirkung einführen möchte, breitet sich die Wechselwirkung aus,
die Elementarteilchen selbst breiten sich sozusagen in gewissem Umfang aus.
Sie sind dann nicht mehr Punktteilchen, die nur dann miteinander in Wechselwirkung treten,
wenn sie am selben Punkt zusammentreffen, sondern sie können auch dann miteinander in Wechselwirkung treten,
wenn sie sich in endlicher Entfernung voneinander befinden.
Diese Situation ist nicht in einfachen Worten auszudrücken,
aber sehr wahrscheinlich werden wir uns von der Schrödinger-Gleichung im eigentlichen Sinn verabschieden.
Wahrscheinlich müssen wir für die Schrödinger-Gleichung einen Ersatz finden.
Ein Vorschlag wurde vor einigen Jahren von Professor Heisenberg unterbreitet.
Er wies darauf hin, dass es bei künftigen Theorien vielleicht nicht möglich ist, die Schrödinger-Funktion als solche zu bestimmen,
dass wir aber wahrscheinlich weiterhin die als S-Metrik bezeichnete Masse bestimmen können,
von der wir die Relation zwischen Anfangszustand und Endzustand erhalten – mit der Einschränkung,
dass wir unter einem Anfangszustand den Zustand in einer sehr weit entfernten Vergangenheit
und unter dem Endzustand den Zustand in sehr weit entfernter Zukunft verstehen.
In jedem der realen Experimente verfügen wir nur über Informationen, die sich auf sehr lange Zeiträume beziehen.
Wir haben bestimmte Kenntnisse zu einem bestimmten Zeitpunkt, und zu einem anderen Zeitpunkt haben wir andere Kenntnisse.
Diese Zeitspanne ist vom mikroskopischen Standpunkt aus sehr groß.
Was wir also im Zusammenhang mit der tatsächlichen Beobachtung wahrscheinlich benötigen,
ist nicht die minütliche Veränderung der Substanz von einem Zeitpunkt zum anderen –
vielleicht reicht uns schon die Kenntnis des statistischen Zusammenhangs
zwischen dem Zustand der Substanz zu einem bestimmten Zeitpunkt und einem anderen Zustand zu einem anderen Zeitpunkt,
wobei die dazwischen liegende Zeitspanne sehr groß ist – vom mikroskopischen Standpunkt aus betrachtet.
Ein derartiger statistischer Zusammenhang kann durch die S-Metrik genannte Masse charakterisiert werden.
Die S-Metrik lässt sich auch dann theoretisch bestimmen und kalibrieren,
wenn wir die herkömmliche lokale Wechselwirkung durch eine allgemeinere nicht-lokale Wechselwirkung ersetzen.
In der Tat gilt das, was man im Zusammenhang mit der Endlichkeit der Masse, der Endlichkeit der Selbstenergie sagt,
auch im Zusammenhang mit der S-Metrik.
Jedenfalls bescherte die Einführung der nicht-lokalen Wechselwirkung den Feldtheorien mehr Alternativen.
Außerdem verleiht sie uns neue Impulse, in diese Richtung weiterzugehen, in der Hoffnung auf eine einheitlichere,
zufriedenstellendere Theorie der Elementarteilchen.
Der zweite Schritt in diese Richtung könnte darin bestehen, das Konzept des Feldes einzuführen bzw. weiter zu generalisieren.
Wir haben das quantisierte Feld definiert als die Gesamtheit
der durch die Raum-Zeit-Punkte als Parameter charakterisierten Operatoren.
An jedem Punkt der Raumzeit haben wir also ein Quantenfeld...
die Gesamtheit des Feldes, unendlich viele Feldgrößen geben uns eine Vorstellung vom quantisierten Feld.
Und es zeigte sich, dass sie auf das Punktteilchen reagieren.
Die Frage ist – wir kennen eine Vielzahl von Teilchen mit unterschiedlichen Eigenschaften, und wir fragen uns,
ob wir dieser großen Vielfalt von neu entdeckten Teilchen gerecht werden,
wenn wir uns auf die relativ einfache Vorstellung eines Feldes beschränken.
In der lokalen Feldtheorie werden die Eigenschaften der Elementarteilchen
im Zusammenhang mit den Eigenschaften des quantisierten Feldes definiert.
Wie ich schon sagte, lassen sich Spin, Statistik und Masse in Verbindung mit dem quantisierten Feld mathematisch ausdrücken.
Doch wie es aussieht, reichen sie zur Charakterisierung der kürzlich entdeckten Elementarteilchen nicht aus.
Sie unterscheiden sich sehr voneinander; die Transformation von einem zu einem anderen ist ein sehr kompliziertes Verfahren.
Und wir wissen noch nicht, ob eine einfache mathematische Definition der Elementarteilchen im Zusammenhang
mit dem quantisierten Feld für diesen Zweck ausreicht.
Wir fürchten, dass das wahrscheinlich nicht der Fall ist.
Wir fürchten außerdem, der Hauptfehler der gegenwärtigen Theorie besteht darin, dass wir keinen Grund dafür angeben können,
warum es in der Natur so viele Teilchen mit unterschiedlichen Massen gibt, die noch dazu anscheinend nicht sehr regelmäßig sind.
Eines der grundlegendsten Probleme der theoretischen Physik besteht heute darin,
auf die eine oder andere Art das so genannte Massenspektrum von Teilchen herzuleiten.
Von den meisten dieser Teilchen wird angenommen, dass sie elementar sind.
Viele Teilchen sind in der Tat elementar; es gibt keine Möglichkeit, die Beziehungen zwischen Massen herzuleiten.
Wir beginnen einfach mit beliebigen Werten für die Massen, wir setzen sie mit den beobachteten Massen gleich
oder wir renormieren sie später, oder ein ähnlicher sehr unbefriedigender Prozess ist erforderlich.
Es wäre also sehr schön, wenn wir uns eine Vorstellung von den Massen der Elementarteilchen verschaffen könnten.
Die herkömmliche Feldtheorie war dazu sicherlich nicht in der Lage.
Selbst wenn man die nicht-lokale Wechselwirkung einführt und sich größte Mühe gibt, auf die endlichen Massen zu kommen,
versteht man immer noch nicht, warum es eine Anzahl von Elementarteilchen mit diesen und jenen Massen gibt.
Denn man kann zwar eine theoretische Interpretation sozusagen in Gestalt der Feinstruktur im Massenspektrum anbieten,
doch es ist sehr unwahrscheinlich, dass zum Beispiel der auffallende Unterschied
zwischen der Masse des Elektrons und der Masse der Mesonen und der Masse des Protons und des Neutrons als schwerere Teilchen...
man kann sich schwer vorstellen,
dass diese großen Unterschiede ausschließlich auf die durch die Wechselwirkung hervorgerufenen Unterschiede zurückzuführen sind.
Ein wesentlicher Teil zumindest der Massen des Protons und des Neutrons muss etwas sein,
das zu den Teilchen selbst gehört und nicht auf die Wechselwirkung mit anderen Feldern zurückzuführen ist.
Wir wünschen uns also eine Theorie, die von Anfang an den wesentlichen Teil der Massen der Elementarteilchen liefert.
Zu diesem Zweck habe ich vor einigen Jahren den Begriff des nicht-lokalen Feldes eingeführt.
Das ist sozusagen die mathematische Formulierung eines elementaren Objekts – elementar in dem Sinn,
dass es nicht mehr in weitere elementare Bestandteile zerlegt werden kann, gleichzeitig aber so viel Substanz hat,
dass es eine große Vielzahl von Teilchen mit verschiedenen Massen, Spins und anderen inhärenten Eigenschaften enthalten kann.
Etwas bildhafter kann man sagen, dass wir Teilchen mit einer Art innerer Struktur haben,
dass die innere Struktur je nach Elementarteilchen verschieden sein kann,
die Gesamtheit all dieser Teilchen mit unterschiedlichen inneren Strukturen
jedoch durch eine bestimmte Art von Feld beschrieben werden kann,
wobei es sich hierbei nicht um das herkömmliche lokale Feld handelt.
Anhand des herkömmlichen Feldes kann man nämlich die verschiedenen inneren Strukturen
der verschiedenen Teilchen nicht beschreiben.
Aus diesem Grund habe ich den Begriff des nicht-lokalen Feldes eingeführt.
Ich habe die bei Feldtheorien weit verbreitete Zurückhaltung aufgegeben,
wonach es sich bei dem Quantenfeld um eine Punktfunktion handelt.
Stattdessen kann es von zwei Punkten in der Raum-Zeit-Welt abhängen.
Es sieht so aus, aus würde der klassische Begriff des Feldes vollständig aufgegeben.
Allerdings ist das Quantenfeld in der Quantentheorie keine gewöhnliche Zahl oder Funktion mehr ist, sondern ein Operator,
so dass es vielleicht möglich ist, den Begriff des Feldes so zu verallgemeinern,
dass das Feld die Gesamtheit einer unendlichen Zahl von Quanten darstellt,
bei denen es sich um eine Punktfunktion handeln kann oder auch nicht, und den Punkt zu definieren.
Es kann aber auch etwas Allgemeineres sein.
Die Einzelheiten der mathematischen Formulierung nicht-lokaler Feldtheorien möchte ich Ihnen ersparen.
Stattdessen möchte ich auf eine Anzahl charakteristischer Eigenschaften nicht nicht-lokaler Feldtheorien
in bekannten mathematischen Ausdrücken hinweisen.
Zunächst einmal:
Wenn man die nicht-lokalen Theorien einführt, bedeutet das die Einführung einiger innerer Freiheitsgrade,
die es bei der herkömmlichen Feldtheorie nicht gab.
Man kann also ein für die inneren Freiheitsgrade charakteristisches Eigenwertproblem bestimmter Art einführen.
Sodann kann man annehmen, dass die Massen der Teilchen ein bestimmtes,
für die inneren Freiheitsgrade charakteristisches Eigenwertproblem darstellen.
Wenn es also richtig ist, für die Elementarteilchen eine innere, durch das nicht-lokale Feld charakterisierte Struktur anzunehmen,
so erhält man vielleicht als Ergebnis der Lösung eines bestimmten Eigenwertproblems
ein bestimmtes diskretes Spektrum, ein Massenspektrum.
Das ist möglich – ein Beispiel dafür wurde bereits vor einigen Jahren von Max Born angeführt,
unabhängig vom Begriff des nicht-lokalen Feldes.
Ich glaube aber, dass ich seinen Ansatz in der jetzigen Form nicht akzeptieren kann,
da sich dagegen einige erhebliche Einwände im Zusammenhang mit der relativistischen Invarianz erheben lassen.
Wenn wir stattdessen sein Modell im Hinblick auf die interne Struktur im Zusammenhang mit dem nicht-lokalen Feld interpretieren,
dann können wir verstehen, dass man dann, wenn man ein bestimmtes Modell für die innere Struktur übernimmt,
das Massenspektrum für die Elementarteilchen herleiten kann.
Das von Born angewandte Modell kann man Oszillatormodell nennen.
Wir betrachten die innere Struktur, so etwas wie die Oszillation des Teilcheninneren,
doch die Oszillationen müssen vierdimensional sein.
Wir werden versuchen, eine vollständig relativistische Theorie zu konstruieren;
deshalb müssen die Vibrationen selbst vierdimensional sein.
Nicht nur die Vibrationen im dreidimensionalen Raum; auch die Oszillation im Raum einschließlich der Zeit muss enthalten sein.
Wir haben es also mit einem vierdimensionalen Eigenwertproblem zu tun.
Doch wie bei jedem vierdimensionalen Problem taucht ein weiteres Problem auf, nämlich die Degeneration –
das bedeutet, dass es für die Masse 2.000 Eigenwerte gibt, und es gibt unendlich viele, grundsätzlich unendlich viele Zustände.
Grundsätzlich kann es also unendlich viele verschiedene Arten von Elementarteilchen mit der gleichen Masse geben.
Dieses Problem ist nur schwer zu lösen.
Wir wissen noch nicht, ob wir das einfache Oszillatormodell
durch die Einführung einiger anderer Ausdrücke von Grund auf modifizieren müssen,
oder ob wir mit dem einfachen Modell beginnen und die Wechselwirkung zwischen nicht-lokalen Feldern einsetzen können.
Dann muss die unerwünschte Degeneration als Folge der Wechselwirkung verschwinden.
Ich kann darüber nichts Endgültiges sagen, und ich habe keine Zeit, dieses ziemlich komplizierte Problem weiter zu erörtern.
Nur so viel:
Wenn wir auf diesem Weg weitergehen,
wird möglicherweise die Formulierung einer vereinigten Theorie der Elementarteilchen gefunden – wenn wir sehr viel Glück haben.
Jedenfalls ist das erst der Anfang einer bestimmten Art von Theorie, und ich glaube nicht, dass es der einzige Weg ist.
Oder dass der Begriff des nicht-lokalen Felds im Zusammenhang
mit der inneren Struktur der Elementarteilchen für unseren Zweck ausreicht.
Wahrscheinlich brauchen wir noch etwas Anderes, denn wir kennen andere Dinge,
die in Verbindung mit einem anderen Begriff vielleicht gut erklärt werden können.
Ich muss außerdem anmerken, dass das, was wir hier erörtert haben, nur eine Eigenschaft der Feldtheorien ist.
Gewöhnlich begann man mit dem Begriff des freien Feldes.
Wir glauben, dass die Teilchen zu Beginn vollständig voneinander getrennt sind, dann führen wir Wechselwirkung ein und sehen,
was aufgrund der Wechselwirkung geschieht.
Doch dieser Ansatz setzt voraus, dass die Wechselwirkungen zwischen ihnen ziemlich schwach sind,
dass die durch die Wechselwirkung hervorgerufenen Veränderungen ziemlich klein sind.
Wir sagen also, dass wir bei den so genannten Näherungswerten der schwachen Kopplung bleiben.
Wir sind uns der Grenzen dieser Näherungswerte der schwachen Kopplung im Zusammenhang
mit dem Problem der nuklearen Kräfte sehr wohl bewusst.
Die nuklearen Kräfte sind äußerst stark, und wir haben Zweifel daran, dass die Näherungswerte der schwachen Kopplung gültig sind.
Leider verfügen wir aber noch nicht über eine relativistische Theorie, die von der Annahme der schwachen Kopplung frei ist.
Wenn wir darauf abstellen, dass die Wechselwirkungen sehr stark sind,
wird möglicherweise eine ganz neue Eigenschaft der Feldtheorie sichtbar.
Doch das ist ein sehr schwieriges mathematisches Problem, und niemand weiß, was dabei herauskommt.
Wir mussten also gewissermaßen am Begriff der schwachen Kopplung festhalten.
Deshalb sind unsere Erörterungen stark eingeschränkt,
und genau aus diesem Grund stellt meine eigene Arbeit nur eine Möglichkeit
aus einer Vielzahl anderer Möglichkeiten der Konstruktion einer vereinigten Theorie von Elementarteilchen dar.
Vielen Dank.
