I am very glad to be here in Lindau for the third time
and to have this opportunity of talking to you about problems that I have been working on recently.
This time I would like to talk to you about the theory of gravitation.
Rather different from my previous topics.
You all know that a theory of gravitation was first put forward by Newton more than 200 years ago.
Newton's theory was a very good theory.
It survived unchallenged for more than 200 years.
And then in the present century a new theory of gravitation was put forward by Einstein.
Einstein's theory was connected with his principle of relativity
and he showed how gravitation could be explained as an effect arising from the curvature of space and time.
Einstein's theory was a very beautiful theory mathematically.
And also it was found to be in good agreement with observation and so it became generally accepted in the world of science.
Einstein's theory aroused an enormous scientific interest.
Very many people worked very intensively on this theory for a good many years.
And then the interest in the Einstein theory of gravitation rather died away.
People found the equations difficult to work with.
They found other subjects of interest, largely quantum theory.
And for a while one did not hear so much about the Einstein theory in the world of science.
But in recent times, since the war, there has been a revival of interest in the Einstein theory of gravitation
and at present there are more and more people working on it.
This revival of interest can be explained, I think, or accounted for by two reasons:
Partly there have been new mathematical methods developed for dealing with it.
And partly people have been continually getting new observations about the very distant parts of our universe.
They have been getting these observations with the help of the very big telescopes, which are now available.
And also with the help of the new technique of radio astronomy.
So there is this revival of interest in Einstein's theory of gravitation.
And as a consequence, there are now international conferences on gravitation, which are held regularly every two years.
The third of these international conferences was held only last week near Paris.
At these conferences people who are working on the theory of gravitation from all countries come and meet together
and present reports on their resent researches and discuss the problems, which still remain to be solved.
I think that the people who come to these conferences, the people who work on gravitation
can very clearly be divided into three classes: There are the mathematicians, the physicists and the cosmologists.
The mathematicians are concerned with getting exact solutions of Einstein's equations.
They are interested in all kinds of exact solutions,
independently of whether these solutions have anything to do with our actual world or not.
The other two classes are concerned with the actual world.
The physicists are concerned with studying the gravitational field
as a physical field and finding out the physical effects of gravitational forces.
And they hope to be able to detect these effects with their instruments.
The cosmologists are concerned with the universe as a whole.
They are dealing with what the universe is like at extremely large distances
and their main problem is whether the universe is closed up or whether it is an open universe.
I want to talk to you today only about the point of view of the physicist.
For the physicist there is a fortunate circumstance
in that one does not need to use the exact equations of the Einstein theory.
One can work with a certain approximation.
The effects of the gravitational field are attributed to a curvature in spacetime.
And for the physicist one can count this curvature as extremely small.
In the space of the physicist, this curvature is certainly extremely small
and it is sufficient to work with the approximations of the Einstein theory
applying to the case when the curvature of spacetime is extremely small.
That would not do for the cosmologists, because this approximation would not be a good approximation,
if one were concerned with extremely large distances.
Distances comparable with the distances between disparent nebulae for instance.
But for the distances, which interest the physicist this approximation is certainly a valid one.
Now the exact equations of the Einstein theory is the equation (1) in these notes.
I think a good many of you have the German translation of these notes with you,
so that I need not write down all the equations but can just refer to them.
And I will write down on the blackboard only the more important equations.
If we take the approximate form of the Einstein theory, when it is applied to space,
which is nearly flat, we have this as our basic equation.
We have an equation, which involves a quantity h-mu-nu, which is introduced in this way:
The exact theory of Einstein is based on a certain tensor, which is written like this, G with two suffices mu and nu.
And mu and nu take on the four values 0, 1, 2, 3.
This tensor describes the gravitational field, describes the curvature of spacetime.
And it also fixes the system of coordinates.
This tensor describes the gravitational field, describes the curvature of spacetime.
And it also fixes the system of coordinates.
Now for space, which is nearly flat, this tensor differs only by a small quantity from its value for flat spacetime.
For flat spacetime these different elements all have the values 1 or -1 or 0.
And the differences from flat spacetime we denote by h-mu-nu and we count h-mu-nu as small and neglect quantities,
which are of the second order of smallness.
We then have this as our basic equation of the Einstein theory.
The Laplacian operator, which is denoted by the symbol square applied to h-mu-nu.
First I will write down all the equation and then explain it.
dv-mu by dx-mu plus dv mu by dx mu equal 16 pi gamma rho-mu-nu.
This rho-mu-nu is constructed from the tensor, which describes any matter which is present.
And in particular, this rho vanishes when there is no matter.
Gamma here is the gravitational constant and it counts as very small in the approximation with which we are working.
This v-mu is a certain quantity, which is constructed from the first derivatives of h-mu-nu.
And you will find the expression for v-mu written down in equation (3).
And I need not say more about that.
This is then our fundamental equation.
Now for dealing with this equation people usually choose a system of coordinates, which makes this quantity v-mu vanish.
It's quite a nice condition to impose on the coordinates.
And when people are working with these coordinates, they say that they are working with harmonic coordinates.
This harmonic condition on the coordinates, is one which is used very extensively
and it results in a big simplification in the equation, because with these harmonic coordinates these two terms just vanish.
And we are left with this equation with just those two terms.
Now if we apply that equation to a region of space and time, where there is no matter present,
we have this term also vanishing and we have just this equation left, square h-mu nu equals 0.
And that is just the well-known equation for wave propagation,
the equation, which we have for all kinds of fields when there are waves, which propagate with the speed of light.
So that we can say that in this approximation of weak fields,
the theory of Einstein leads to these waves in this quantity h-mu-nu.
In those regions of space and time where there is no matter.
Now an important feature of Einstein's theory is that it is valid for all systems of coordinates.
We are working with a case when the field is weak.
And the natural thing to do under those conditions is to work with a system of coordinates,
which is approximately Cartesian.
We cannot say that it is exactly Cartesian because there is still a little curvature in our space,
which prevents one from giving a precise meaning to Cartesian coordinates.
But still, we can take coordinates, which are approximately Cartesian
and that is what we are doing when we introduce these quantities h-mu-nu.
But even with these coordinates, which are approximately Cartesian
and even with the harmonic condition there is still some arbitrariness left in our system of coordinates.
And because of this arbitrariness which is still left in our system of coordinates,
we cannot be very sure about the meaning of these waves.
Whose existence is shown by this equation.
We cannot be sure whether these waves are really something physical
or whether they are just connected with our system of coordinates.
Now that is really the main difficulty all the time when one is working with the Einstein theory.
It is the difficulty of separating what is real and physical, from what depends simply on our system of coordinates.
And that will be our main problem of discussion today.
Now in order to fix our ideas rather more precisely, let us suppose that we have some actual physical problem.
We have some masses coming together, perhaps even with high speeds, interacting with each other in some way.
And we have gravitational forces between them.
And we want to discuss exactly what happens.
I shouldn't say exactly what happens, I should say we want to discuss what happens
in this approximation of weak gravitational fields.
We then have to look for a solution of this first equation here.
Now solutions to that equation are quite familiar to physicists,
because this equation itself is very similar to the equation, which we have in electrodynamics.
We can look upon this right hand side as generating waves in this quantity h,
in the same way as electric charges and currents generate electromagnetic waves.
And from our familiarity with a solution of electromagnetic equations,
we can immediately get information about the solution of this equation here.
We know that there is a solution when we are given the value of rho.
There is a solution in terms of retarded potentials.
And this will be the solution, which is the important one - physically - if there are no incoming gravitational waves.
The general solution one gets from this retarded solution by adding on to the retarded solution
certain arbitrary incoming waves.
But it will be mainly the retarded solution that I want to talk to you about.
With this retarded solution we have the h-mu-nu at larger distances proportional to one over r.
r being the distance.
The h-mu-nu are rather like the electromagnetic potentials
and to get something which corresponds to the electromagnetic field,
something which we can count as the gravitational field, we must differentiate this h-mu-nu once.
If we differentiate something, which is of the form of one over r for great distances, then we get two terms appearing:
One term depending on one over r^2 and the other term depending on omega over r.
I should say a term of the order of omega over r, where omega is the frequency of oscillations,
which are occurring in this distribution of matter.
For distances, which are not too large the one over r^2 term is the important term.
That one over r^2 term gives you the Coulomb force in electrodynamics.
And it gives you the Newtonian force in gravitation.
But for much larger distances than that the omega over r term is the dominant term.
And this term corresponds to waves.
So that this will be the important term for our talk today.
This term which dominates the solution at very large distances.
Let us now fix our attention on the waves, which come out in one particular direction.
Let us say the waves, which come out in the direction of the axis x3.
Suppose this is the axis x3.
And then we want to examine the solution of our field equation,
four points out there where x3 has some large and positive value.
And x1 and x2 are small.
In this region out here, we shall have waves moving radially outward.
And those will be the dominant part of our solution.
To examine the solution in that region of space, we must put d by dx1 and d by dx2 equal to zero.
But we must also put d by dx3 equal to minus d by dx0.
There is an error in the paper, which has been distributed; this minus sign has been omitted so please insert it.
We can no see what is the effect of putting in these conditions into the solution of our field equations.
If we examine the harmonic conditions in that region of space and time,
we get a set of equations, which is written down in the notes, equation (6).
Now as I mentioned before, even with the harmonic conditions there is still some arbitrariness in our system of coordinates.
So we can take this question, let us make a change in our system of coordinates,
a change, which preserves the harmonic conditions.
I don't want to make a general change in the coordinates, which is going to disturb the harmonic conditions.
But I'm going to make a change, which preserves the harmonic conditions.
And such a change is described by the equation (5) in the notes.
Where a-mu is a field function which fixes the change.
And a-mu must satisfy the wave equation, which is written immediately after equation (5).
Well the effect of making this change is to bring in certain changes in all the ten quantities, h-mu-nu.
And these changes are given in the notes.
I don't need to describe them in detail, but I will just say what the important result is:
We find that when we make this change in coordinates six of the h-mu-nu remain invariant
and the other four of these ten quantities can get changed and they can be changed arbitrarily.
Things, which can be changed arbitrarily when we make a change in our system of coordinates,
cannot have any physical meaning.
So that these four components of h-mu-nu which gets changed arbitrarily, will not have any physical significance.
There are the six invariant ones and of these six invariant ones,
four must be zero because of the harmonic conditions themselves.
And that leaves only two, which are invariant and which are not restricted to be zero.
Those two are the components h12 and h11 minus h22.
These two components we may therefore expect to have a physical meaning.
For waves which are moving in the direction of the axis x3.
They are invariant under any transformations, which we can make,
which preserve the harmonic conditions and they are not restricted to be zero.
Well this means then that we should expect that we have these gravitational waves,
which are physical and that we have these two kinds of polarisation
for gravitational waves moving in the direction of the axis x3.
The question remains: "Should these waves really be counted as something physical?"
And that is rather to the question: "Do these waves carry energy?"
So that brings us to the discussion of the question of the energy of the Einstein field of gravitation.
For this discussion of energy one can set up a certain tensor or tensor density, T-mu-nu,
which has the physical significance that its components are connected with stresses and energy density, momentum density.
And one of its components, the T-0-0 component, can be interpreted as the energy density.
One finds that this T-mu-nu added on to a suitable tensor describing the matter,
satisfies the conservation law, which is written down in the notes there.
So that if we define the energy density as T-0-0, we get exact conservation of energy.
But there is some trouble with this little t.
I talked about it as a tensor density, but it is not really a tensor density,
it is something, which is called a pseudo tensor density.
Because when we make a change in coordinates, it does not transform correctly to be a tensor density.
And that means that if we use this T-0-0 as the energy density and we work out the energy in a certain region.
Then if we make a change in our system of coordinates we shall get a different energy.
Now energy ought to be something, which is physical, we want it to be a really physical thing.
And it should be independent of our system of coordinates.
This T-0-0 is really the best thing, which we can do for discussing energy density.
And we have here a real difficulty.
This difficulty has bothered people for very many years.
And it has led to a procedure in practice, when people want to discuss energy in connection with the Einstein theory,
they adopt some nice system of coordinates.
And they assume that if the energy is calculated with this nice system of coordinates,
the result will have some physical meaning.
But that of course is not a very logical process, it's not logical at all and it is unreliable.
And on account of that there has been much discussion for very many years
as to whether these gravitational waves really do carry energy or not.
Well with the development of the theory of gravitation,
which has taken place in recent times, this question has been cleared up.
One of the main lines of this recent development
has been the expression of the equations of the Einstein theory in the Hamiltonian form.
Now the Hamiltonian form of writing equations is a form, which has very great mathematical power.
It was discovered more than 100 years ago by Hamilton,
who worked it out simply because of the mathematical beauty connected with it.
And Hamilton himself did not realise the great importance of his form of equations.
But we see now that his form is really of fundamental importance in nature because his form of equations is the form,
which lends itself naturally to a passage to the quantum theory.
Just working from the Newtonian form of equations in motion, one has not got any good way of passing to the quantum theory.
But working from the Hamiltonian form we have well defined rules,
which have been applied successfully in very many cases
for passing from any classical field theory or classical theory of particles to the corresponding quantum theory.
A good deal of the recent interest in the theory of gravitation has been concerned with
obtaining a quantum theory of gravitation.
And for that purpose one must first put the classical theory into Hamiltonian form.
Now, with the Hamiltonian form of the equations one deals with the state at a certain time.
Now the state at a certain time means the state for all values of the coordinates x1, x2, x3,
but for one particular value of the coordinate x0.
Now you see when we discuss the state at a certain time, we are introducing a dissymmetry between the four coordinates.
One of the great features of Einstein's theory, was the fact that we had asymmetry between the four coordinates,
the three coordinates of space and the one time coordinate.
And for a long time people were interested only in developing the Einstein theory in a form, which preserved this symmetry.
It is just within the last few years that people have found,
that they can get a lot of new results by departing from this symmetry
and in particular by working with this concept of the state at a certain time.
Where we go entirely away from this four-dimensional symmetry
and we go back to the old idea of a three-dimensional world changing with a time coordinate.
With the development of the Hamiltonian form, we get this work in which we destroy the four-dimensional symmetry.
And of course in a way it's a pity to destroy the four-dimensional symmetry, everyone would agree with that.
But there are these compensations that one has great mathematical power
and one finds some new features of the equations, which are not so obvious when one keeps to the four-dimensional symmetry.
With the Hamiltonian form one's dynamical variables are all paired off into dynamical coordinates and conjugate momenta.
So far as concerns the gravitational field,
we have the G-mu-nu for all values of x1, x2, x3 appearing as dynamical coordinates.
And we have then momentum variables P-mu-nu appearing as the conjugates of these dynamical coordinates.
Now one of the first things one found when one started to put the theory into Hamiltonian form one got a result,
which was rather unexpected.
Which was of the ten quantities G-mu-nu and their conjugate P-mu-nu,
four of the P-mu-nu and their conjugates drop out from the Hamiltonian equations of motion.
Namely these four: G-mu-0, P-mu-0.
If one of these indices takes on the value 0, either one, either the first or the second because it's symmetrical,
then we get these quantities here.
And these quantities drop out from the Hamiltonian equations
and we are left with Hamiltonian equations involving only the variables G-r-s, P-r-s.
Now these roman letters r and s take on the values 1, 2 and 3
and they are to be sharply distinguished from the Greek letters, which take on the values 0, 1, 2, 3.
We have here just six G-r-s's and six P-r-s's instead of the ten G-mu-nu's and P-mu-nu's.
And that means that with the Hamiltonian formulation,
we start off expecting to have ten degrees of freedom for each point of space.
But four of the degrees of freedom drop out and we're left with just six degrees of freedom for each point of space.
And that is a big simplification and this simplification, which brings out the advantages of the Hamiltonian formalism.
Now this simplification ought not to surprise one too much.
One might have expected it if one just looked into what is really needed for describing the state at a certain time.
The state at a certain time means the state for all regions of space for a certain value of x0.
And that is to be pictured in spacetime as a three-dimensional hypersurface.
The hypersurface x0 equals constant.
Which is to be pictured as existing in four-dimensional spacetime.
Now to describe such a hypersurface, we need only the six G-r-s's.
They are sufficient to describe the geometry of the hypersurface and the coordinate system in the hypersurface.
And these G-mu-0's are needed only to describe the relationship of this hypersurface to a neighbouring hypersurface.
But if you're interested only in describing the state at one particular time, then we only need these six G-r-s's
and we also need their dynamical conjugates.
So that from rather general arguments, arguments of a geometrical and kinematical nature,
one can see that these six degrees of freedom are all that is really necessary.
If we ask this physical question, how should we set up the energy at a certain time,
then it seems clear that this energy should not depend on any variables,
which are not needed for describing the state at that time.
So the energy at a certain time or the energy density in the region at a certain time
should not depend on these variables G-mu-0, P-mu-0.
Now if you look at the energy density given by the pseudo tensor, this T-0-0, that we had before,
and you work it out, you see that T-0-0 does depend on G-mu-0.
T-0-0 thus involves some quantities which are not really relevant for describing the state at a certain time.
It involves certain things, which are concerned only with the coordinate system.
Now that is quite a bad feature in this energy density, this pseudo energy density.
And we can improve upon this feature by taking a modified expression for the energy density.
We get a modified expression for the energy density by expressing this T-0-0
in a suitable way and substituting for the G-mu-0's which occur in it, their values for flat spacetime.
namely we substitute for G-0-0 the value -1 and for G-1-0, G-2-0, G-3-0, the values 0.
By this procedure we can get an improved expression for the energy density.
An improved expression, which I call W.
Now W still depends on our system of coordinates.
Although not so badly as T-0-0.
It means that we have made some improvement,
with regard to this difficulty of the dependence of the energy on the coordinate system.
But there is still some trouble left.
There is still a dependence of W on the three coordinates x1, x2, x3.
And further, if we want to look at things from the physical point of view,
we should consider W defined on a certain hypersurface in spacetime.
And we may ask ourselves: "What happens if we make just a small deformation in this hypersurface?"
A small deformation of the order of gamma or gravitational constant.
Which is really an extremely small deformation.
But we find that with this extremely small deformation W changes by a quantity of the same order of magnitude as itself.
Well there is still this difficulty but there are some nice features about this expression for the energy density W.
The gravitational part of this energy density can be divided into two terms.
It falls very naturally into two terms.
Which are given by equations (8) and (9).
One of these terms, which I have written W suffice K, can be interpreted as kinetic energy
because it is quadratic in the momentum variables p.
It is quadratic and homogeneous in these momentum variables.
And is just like any ordinary kinetic energy is in physics.
So that can be very naturally interpreted as kinetic energy.
The other term does not involve momentum variables at all.
And we call that the potential energy.
It is quadratic and homogenous in the field quantities, which we get by taking the first derivatives of the h's.
So the gravitational part of the energy density divides into these two terms.
The first of these terms is subject to an uncertainty, when we make a small deformation of the surface.
But is not subject to any uncertainly, when we change the coordinates in the surface.
It is of the correct tensor form with respect to the coordinates in the surface.
The other part, the potential energy, is just the other way around.
That behaves all right when we make a small deformation of the surface.
But that gets disturbed when we change the coordinates in the surface.
Well that is the situation with regard to this improved expression for the energy density.
And that shows that there is still some uncertainly in the improved expression for the energy density.
Depending on our system of coordinates.
So that we are still in difficulties,
with regard to the question of whether our gravitational waves really carry energy or not.
However there is one example where these difficulties can be eliminated.
And that is the example when we have waves moving only in one direction.
If we apply these expressions for the energy density to the case when there are waves moving in only one direction.
The direction of the axis x3, then we get the expressions written down by equations (12) and (13).
That's what the potential and kinetic energy...(end).
Ich freue mich, zum dritten Mal hier in Lindau zu sein und diese Gelegenheit zu haben,
Ihnen über die Problematiken zu berichten, an denen ich in jüngster Zeit gearbeitet habe.
Dieses Mal möchte ich Ihnen etwas über die Gravitationstheorie erzählen.
Ein ziemlicher Unterschied zu meinen vorherigen Themen.
Wie Sie alle wissen, stellte Newton vor mehr als 200 Jahren als Erster eine Gravitationstheorie auf.
Die Newton'sche Theorie war eine gute Theorie. Sie überlebte mehr als 200 Jahre ohne Widerspruch.
Und in diesem Jahrhundert stellte Einstein dann eine neue Gravitationstheorie auf.
Die Einstein'sche Theorie war mit seinem Relativitätsprinzip verbunden und er zeigte,
wie die Gravitation als ein Effekt erklärt werden konnte, der von der Krümmung von Raum und Zeit herrührt.
Mathematisch gesehen war die Einstein'sche Theorie eine sehr schöne Theorie.
Und man fand auch heraus, dass sie in guter Übereinstimmung mit Beobachtungen war
und so wurde sie in der Wissenschaftswelt allgemein akzeptiert.
Einsteins Theorie erzeugte ein enormes wissenschaftliches Interesse.
Sehr viele Menschen haben viele Jahre lang intensiv an dieser Theorie gearbeitet.
Und dann nahm das Interesse an Einsteins Gravitationstheorie ziemlich ab.
Leute fanden es schwierig, mit den Gleichungen zu arbeiten.
Man fand andere interessante Themen, hauptsächlich die Quantentheorie.
Und eine Zeit lang hörte man in der Welt der Wissenschaft sehr wenig über Einsteins Theorie.
Aber in der jüngsten Zeit, seit dem Krieg, gab es eine Belebung des Interesses an der Einstein'schen Gravitationstheorie
und derzeit gibt eine steigende Zahl von Leuten, die daran arbeiten.
Diese Belebung des Interesses kann erklärt werden, denke ich, oder begründet werden durch zwei Gründe:
Zum Teil, weil neue mathematische Methoden entwickelt wurden, sie zu behandeln.
Und zum Teil, weil man kontinuierlich neue Beobachtungen von sehr weit entfernten Teilen unseres Universums erhält.
Diese Beobachtungen werden mithilfe von sehr großen Teleskopen erzielt, die jetzt verfügbar sind.
Und auch mithilfe der neuen Technologie der Radioastronomie.
Es gibt also diese Wiederbelebung des Interesses an der Einstein'schen Gravitationstheorie.
Und als Konsequenz gibt es nun internationale Konferenzen über die Gravitation, die regelmäßig alle zwei Jahre abgehalten werden.
Die dritte dieser internationalen Konferenzen wurde erst letzte Woche in der Nähe von Paris abgehalten.
Zu diesen Konferenzen kommen Leute, die an der Gravitationstheorie arbeiten, aus allen Ländern und die sich treffen
und Berichte über ihre jüngsten Forschungen präsentieren und die Probleme diskutieren, die man noch lösen muss.
Ich denke, man kann die Leute, die zu diesen Konferenzen kommen, die Leute, die auf dem Gebiet der Gravitation arbeiten,
ganz klar in drei Klassen einteilen: Das sind die Mathematiker, die Physiker und die Kosmologen.
Die Mathematiker beschäftigen sich damit, exakte Lösungen der Einstein'schen Gleichungen zu bekommen.
Sie sind an allen möglichen Arten von exakten Lösungen interessiert, unabhängig davon,
ob diese Lösungen etwas mit unserer wirklichen Welt zu tun haben oder nicht.
Die anderen zwei Klassen beschäftigen sich mit der wirklichen Welt.
Die Physiker beschäftigen sich damit, das Gravitationsfeld als ein physikalisches Feld zu untersuchen
und die physikalischen Effekte der Gravitationskräfte herauszufinden.
Und sie hoffen, dass sie in der Lage sind, diese Effekte mit ihren Instrumenten zu messen.
Die Kosmologen beschäftigen sich mit dem Universum als Ganzes.
Sie beschäftigen sich damit, wie das Universum in extrem großen Entfernungen aussieht und ihr Hauptproblem ist,
ob das Universum geschlossen ist oder ob es ein offenes Universum ist.
Heute möchte ich Ihnen nur über den Gesichtspunkt des Physikers berichten.
Für den Physiker ist es ein glücklicher Umstand, dass man nicht die exakten Gleichungen der Einstein'schen Theorie benutzen muss.
Man kann mit einer bestimmten Näherung arbeiten.
Die Effekte des Gravitationsfeldes werden einer Krümmung der Raumzeit zugeschrieben.
Und als Physiker kann man diese Krümmung als extrem klein ansehen.
Im Raum des Physikers ist diese Krümmung sicher extrem klein und es ist ausreichend,
mit den Näherungen für die Einstein'sche Theorie zu arbeiten, die in dem Fall zutrifft,
wenn die Krümmung der Raumzeit extrem klein ist.
Das würde für Kosmologen nicht zutreffen, weil diese Näherung keine gute Näherung wäre,
wenn man sich mit extrem großen Entfernungen beschäftigt.
Entfernungen, die zum Beispiel mit den Entfernungen zwischen unterschiedlichen astronomischen Nebeln vergleichbar sind.
Aber für die Entfernungen, für die sich der Physiker interessiert, ist diese Näherung sicherlich gültig.
Nun, die exakte Gleichung aus Einsteins Theorie ist die Gleichung (1) in diesen Notizen.
Ich denke, dass recht viele von Ihnen die deutsche Übersetzung dieser Notizen bei sich haben,
so dass ich nicht alle Gleichungen aufschreiben muss, sondern ich muss mich nur auf sie beziehen.
Und ich werde auf der Tafel nur die wichtigeren Gleichungen anschreiben.
Wenn wir die Näherungsform der Einstein'schen Theorie nehmen, wenn sie auf einen Raum angewandt wird, der nahezu eben ist,
dann haben wir dies als unsere Grundgleichung.
Wir haben eine Gleichung, die die Größe h-mü-nü enthält, die in dieser Weise eingeführt wird:
Die exakte Einstein'sche Theorie basiert auf einem bestimmten Tensor, der so geschrieben wird, G mit zwei Suffixen mü und nü.
Und mü und nü kann die vier Werte 0, 1, 2, 3 annehmen.
Dieser Tensor beschreibt das Gravitationsfeld, beschreibt die Krümmung der Raumzeit. Und er bestimmt auch das Koordinatensystem.
Nun, für einen Raum, der nahezu eben ist,
unterscheidet sich dieser Tensor nur um eine kleine Größe von seinem Wert für eine ebene Raumzeit.
Für eine ebene Raumzeit haben diese unterschiedlichen Elemente alle den Wert 1 oder -1 oder 0.
Und die Unterschiede zu einer ebenen Raumzeit beschreiben wir durch h-mü-nü und wir gehen davon aus,
dass h-mü-nü klein ist und vernachlässigen Größen, die in zweiter Ordnung klein sind.
Wir haben dies dann als unsere Grundgleichung der Einstein'schen Theorie.
Der Laplace-Operator, der durch dieses Symbol zum Quadrat bezeichnet wird, wird angewendet auf h-mü-nü.
Zunächst werde ich alle Gleichungen aufschreiben und dann erklären.
dv-mü durch dx-nü plus dv mü durch dx mü gleich 16 pi Gamma Rho-mü-nü.
Dieses Rho-mü-nü wird aus dem Tensor konstruiert, der vorhandene Materie beschreibt.
Und insbesondere verschwindet dieses Rho, wenn es keine Materie gibt.
Gamma ist hier die Gravitationskonstante und gilt in der Näherung, mit der wir arbeiten, als sehr klein.
Dieses v-mü ist eine bestimmte Größe, die aus den ersten Ableitungen von h-mü-nü konstruiert wird.
Und sie werden den Ausdruck für v-mü als Gleichung (3) aufgeschrieben finden. Und darüber muss ich nicht mehr sagen.
Dies ist dann unsere Grundgleichung.
Um diese Gleichung zu verwenden, wählt man üblicherweise ein Koordinatensystem, das diese Größe v-mü zum Verschwinden bringt.
Es ist eine sehr nette Bedingung, die den Koordinaten auferlegt wird.
Und wenn man mit diesen Koordinaten arbeitet, dann arbeitet man mit harmonischen Koordinaten, sagt man.
Diese harmonische Bedingung für die Koordinaten wird sehr oft benutzt
und sie resultiert in einer starken Vereinfachung der Gleichung,
weil diese zwei Terme mit diesen harmonischen Koordinaten einfach verschwinden.
Und diese Gleichung mit nur zwei Termen bleibt übrig.
Wenn wir nun diese Gleichung auf eine Raumzeit-Region anwenden, in der es keine Materie gibt,
verschwindet dieser Term auch und wir behalten nur diese Gleichung über, Quadrat h-mü nü gleich 0.
Und das ist gerade die gutbekannte Gleichung für eine Wellenbewegung, die Gleichung, die wir für alle möglichen Felder haben,
wenn es Wellen gibt, die sich mit der Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Wir können also sagen, dass in dieser Näherung der schwachen Felder,
die Einstein'sche Theorie zu diesen Wellen in der Größe h-mü-nü führt.
In den Regionen von Raum und Zeit, wo es keine Materie gibt.
Nun ist es eine wichtige Eigenschaft von Einsteins Theorie, dass sie für alle Koordinatensysteme gültig ist.
Wir arbeiten an dem Fall, wo die Felder schwach sind.
Und es ist das Natürliche unter diesen Bedingungen mit einem Koordinatensystem zu arbeiten, das annähernd kartesisch ist.
Wir können nicht sagen, dass es exakt kartesisch ist, weil es noch eine kleine Krümmung in unserem Raum gibt, die verhindert,
dass man kartesischen Koordinaten eine präzise Bedeutung gibt.
Aber wir können noch Koordinaten nehmen, die annähernd kartesisch sind, und das ist es, was wir machen,
wenn wir diese Größen h-mü-nü einführen.
Aber sogar mit diesen Koordinaten, die annähernd kartesisch sind und sogar mit der harmonischen Bedingung,
bleibt noch einige Willkürlichkeit in unserem Koordinatensystem übrig.
Und wegen dieser Willkürlichkeit, die noch in unserem Koordinatensystem verbleibt,
können wir bezüglich der Bedeutung dieser Wellen nicht sehr sicher sein, deren Existenz durch diese Gleichung gezeigt wird.
Wir können nicht sicher sein, ob diese Wellen wirklich etwas Physikalisches sind
oder ob sie nur mit unserem Koordinatensystem verbunden sind.
Nun, das ist wirklich immer die Hauptschwierigkeit, wenn man mit der Einstein'schen Theorie arbeitet.
Es ist die Schwierigkeit das, was real und physikalisch ist, von dem zu unterscheiden,
was einfach von unserem Koordinatensystem abhängt. Und das wird unser Hauptproblem der heutigen Diskussion sein.
Nun, um unsere Ideen präziser zu fassen, lassen Sie uns annehmen, wir haben ein tatsächliches physikalisches Problem.
Wir haben einige Massen, die zusammenkommen, vielleicht sogar mit hohen Geschwindigkeiten,
die miteinander in irgendeiner Weise wechselwirken. Und wir haben zwischen ihnen Gravitationskräfte.
Und wir wollen diskutieren, was genau passiert.
Ich sollte nicht sagen, was genau passiert, ich sollte sagen, wir wollen diskutieren,
was in dieser Näherung von schwachen Gravitationsfeldern passiert.
Wir müssen dann eine Lösung dieser ersten Gleichung hier suchen.
Nun, Lösungen für diese Gleichung sind Physikern sehr vertraut, weil diese Gleichung selbst den Gleichungen stark ähnelt,
die wir in der Elektrodynamik haben.
Wir können diese rechte Seite so interpretieren, als ob sie Wellen in dieser Größe h erzeugt, auf dieselbe Art und Weise,
wie elektrische Ladungen und Ströme elektromagnetische Wellen erzeugen.
Und durch unsere Vertrautheit mit einer Lösung der elektromagnetischen Gleichungen
können wir sofort Informationen über die Lösung dieser Gleichung erhalten.
Wir wissen, dass es eine Lösung gibt, wenn uns der Wert von Rho gegeben wird.
Es gibt eine Lösung in Form von retardierten Potentialen.
Und dies wird die Lösung sein, die eine wichtige Lösung ist - physikalisch - wenn es keine einlaufenden Gravitationswellen gibt.
Für die generelle Lösung, die man von dieser retardierten Lösung bekommt,
addiert man zu der retardierten Lösung bestimmte, willkürlich einlaufende Wellen.
Aber es wird hauptsächlich die retardierte Lösung sein, über die ich sprechen möchte.
Mit dieser retardierten Lösung haben wir, dass h-mü-nü bei großen Entfernungen proportional ist zu 1 durch r. r ist der Abstand.
Die h-mü-nü sind fast wie elektromagnetische Potentiale und um etwas zu bekommen,
was dem elektromagnetischen Feld entspricht, etwas, was wir als Gravitationsfeld annehmen können,
müssen wir dieses h-mü-nü einmal differenzieren.
Wenn wir etwas differenzieren, was bei großen Distanzen von der Form 1 durch r ist, dann tauchen zwei Glieder auf:
Ein Term der von 1 durch r^2 abhängt und der andere Term, der von Omega durch r abhängt.
Ich sollte sagen, ein Term von der Ordnung Omega durch r, wo Omega die Frequenz der Schwingungen ist,
die in dieser Materieverteilung auftreten.
Für Entfernungen, die nicht zu groß sind, ist der eins durch r^2-Term der wichtige Term.
Dieser 1 durch r^2-Term gibt Ihnen die Coulombkraft in der Elektrodynamik.
Und es gibt ihnen die Newton'sche Kraft in der Schwerkraft.
Aber für viel größere Entfernungen als das, ist der Omega durch r Term der dominante Term.
Und dieser Term entspricht Wellen. So, dies wird der wichtige Term für unseren Vortrag heute sein.
Dieser Term, der die Lösung bei sehr großen Entfernungen dominiert.
Lassen Sie uns nun unsere Aufmerksamkeit den Wellen widmen, die in eine bestimmte Richtung herauskommen.
Lassen Sie uns sagen, den Wellen, die in der Richtung der x3-Achse herauskommen. Nehmen wir an, dies ist die x3-Achse.
Und dann wollen wir die Lösung unserer Feldgleichung untersuchen, vier Punkte hier draußen,
wo x3 einen großen und positiven Wert hat. Und x1 und x2 sind klein.
In dieser Region hier draußen, werden wir Wellen haben, die sich radial nach außen bewegen.
Und diese werden der dominante Teil unserer Lösung sein.
Um die Lösung in dieser Raumregion zu untersuchen, müssen wir d durch dx1 und d durch dx2 gleich null setzen.
Aber wir müssen auch d durch dx3 und minus d durch dx0 gleichsetzen.
Da gibt es einen Fehler in dem Dokument, das verteilt wurde; dieses Minuszeichen wurde ausgelassen, also tragen Sie es bitte ein.
Wir können nun sehen, was der Effekt ist, wenn wir diese Bedingungen in die Lösung unserer Feldgleichung einsetzen.
Wenn wir die harmonischen Bedingungen in dieser Raumzeit-Region untersuchen, bekommen wir einen Satz von Gleichungen,
der in den Notizen niedergeschrieben ist, Gleichung (6). Nun, wie ich schon vorhin bemerkt habe,
sogar mit den harmonischen Bedingungen gibt es noch einige Willkürlichkeit in unserem Koordinatensystem.
Wir können nun diese Frage stellen, lassen Sie uns eine Änderung in unserem Koordinatensystem machen, eine Änderung,
die die harmonischen Bedingungen erhält.
Ich möchte die Koordinaten nicht generell ändern, was die harmonischen Bedingungen stören würde.
Aber ich führe eine Änderung durch, die die harmonischen Bedingungen erhält.
Und eine solche Änderung ist durch die Gleichung (5) in den Notizen beschrieben.
Wo a-mü eine Feldfunktion ist, die die Änderung bestimmt.
Und a-mü muss die Wellengleichung erfüllen, die unmittelbar nach Gleichung (5) geschrieben steht.
Nun, der Effekt dieser Änderungen ist es, bestimmte Änderungen in all den zehn Größen h-mü-nü zu erzeugen.
Und diese Änderungen sind in den Notizen angegeben.
Ich brauche sie nicht im Detail zu beschreiben, aber ich möchte nur sagen, was das wichtige Resultat ist:
Wenn wir diese Änderung in den Koordinaten durchführen, finden wir, dass sechs der h-mü-nü invariant bleiben
und die anderen vier dieser zehn Größen können geändert werden und man kann sie willkürlich ändern.
Dinge, die man willkürlich ändern kann, wenn wir eine Änderung in unserem Koordinatensystem ausführen,
können keine physikalische Bedeutung haben.
So dass diese vier Komponenten von h-mü-nü, die willkürlich geändert werden, keine physikalische Bedeutung haben werden.
Da gibt es die sechs invarianten Komponenten und von diesen sechs müssen vier null sein,
wegen der harmonischen Bedingungen selbst.
Und es bleiben nur zwei übrig, die invariant sind und die nicht auf null beschränkt sind.
Und das sind die Komponenten h12 und h11 minus h22.
Wir können daher erwarten, dass diese zwei Komponenten eine physikalische Bedeutung haben.
Für Wellen, die sich in die Richtung der x3-Achse ausbreiten.
Diese sind invariant unter allen Transformationen, die wir machen können, die die harmonischen Bedingungen erhalten,
und sie sind nicht auf null beschränkt.
Nun, dies bedeutet dann, dass wir erwarten sollten, dass wir diese Gravitationswellen haben,
die physikalisch sind und dass wir diese zwei Typen der Polarisation für Gravitationswellen haben,
die sich in die Richtung der x3-Achse ausbreiten.
Die Frage bleibt: "Sollten diese Wellen wirklich als etwas Physikalisches zählen?"
Und das ist so ziemlich die Frage: "Transportieren diese Wellen Energie?"
So, das bringt uns zur Diskussion der Frage der Energie des Einstein'schen Gravitationsfeldes.
Für diese Diskussion der Energie kann man einen bestimmten Tensor oder Tensordichte aufstellen, T-mü-nü ,
die die physikalische Bedeutung hat, dass alle ihre Komponenten mit Spannungen und der Energiedichte,
der Impulsdichte verbunden sind.
Und eine ihrer Komponenten, die T-0-0 Komponente, kann als Energiedichte interpretiert werden.
Man stellt fest, wenn dieses T-mü-nü zu einem geeigneten Tensor addiert wird, der die Materie beschreibt,
es das Erhaltungsgesetz erfüllt, das dort in den Notizen aufgeschrieben ist.
So dass wir exakt die Energieerhaltung bekommen, wenn wir die Energiedichte als T-0-0 definieren.
Aber es gibt ein wenig Ärger mit diesem kleinen t.
Ich habe darüber als Tensordichte gesprochen, aber es ist nicht wirklich eine Tensordichte, es ist etwas,
was als Pseudotensordichte bezeichnet wird.
Weil es nicht richtig transformiert, um eine Tensordichte zu sein, wenn wir eine Änderung in den Koordinaten durchführen.
Und das bedeutet, wenn wir dieses T-0-0 als Energiedichte benutzen und wir die Energie in einer bestimmten Region ausrechnen,
dann bekommen wir eine unterschiedliche Energie, wenn wir eine Änderung in unserem Koordinatensystem durchführen.
Nun, Energie sollte etwas sein, das physikalisch ist, wir wollen, dass sie ein echtes physikalisches Ding ist.
Und sie sollte unabhängig sein von unserem Koordinatensystem.
Dieses T-0-0 ist wirklich das Beste, was wir tun können, um die Energiedichte zu diskutieren.
Und hier haben wir eine echte Schwierigkeit. Diese Schwierigkeit hat Leute für sehr viele Jahre gestört.
Und in der Praxis hat es zu einer Prozedur geführt,
wenn Physiker die Energie in Verbindung mit der Einstein'schen Theorie diskutieren wollen,
dann verwenden sie ein schönes Koordinatensystem.
Und sie nehmen an, dass dann, wenn die Energie mit diesem schönen Koordinatensystem berechnet wird,
sie irgendeine physikalische Bedeutung hat.
Aber das ist natürlich kein sehr logischer Prozess, es ist überhaupt nicht logisch und es ist unzuverlässig.
Und deshalb hat es über viele Jahre viele Diskussionen gegeben,
ob diese Gravitationswellen wirklich Energie transportieren oder nicht.
Nun, mit der Entwicklung der Gravitationstheorie, die in den vergangenen Jahren stattfand, wurde diese Frage geklärt.
Eine der Hauptlinien dieser jüngsten Entwicklung war es,
die Gleichungen der Einstein'schen Theorie in der Hamilton'schen Form auszudrücken.
Nun, die Hamilton'sche Form, Gleichungen zu schreiben, ist eine Form,
die eine sehr große mathematische Leistungsfähigkeit besitzt.
Sie wurde durch Hamilton vor über hundert Jahren entdeckt, der sie ausgearbeitet hat, einfach,
weil mit ihr eine große mathematische Schönheit einhergeht.
Und Hamilton selbst realisierte die Wichtigkeit seiner Form der Gleichungen nicht.
Aber wir sehen nun, dass seine Form in der Natur wirklich von fundamentaler Bedeutung ist,
weil seine Form der Gleichungen die Form ist, die sich für den Übergang zur Quantentheorie von Natur aus anbietet.
Wenn man nur von der Newton'schen Form der Bewegungsgleichungen aus arbeitet, hat man keinen guten Weg,
um zur Quantentheorie überzugehen.
Wenn wir mit der Hamilton'schen Form arbeiten, haben wir gut definierte Regeln, die in sehr vielen Fällen angewendet wurden,
um von irgendeiner klassischen Feldtheorie oder klassischen Teilchentheorie zu der entsprechenden Quantentheorie zu kommen.
Ein großer Teil des neuen Interesses an der Gravitationstheorie war damit beschäftigt,
eine Quantentheorie der Gravitation zu erhalten.
Und zu diesem Zweck muss man die klassische Theorie erst in die Hamilton'sche Form bringen.
Nun, bei der Hamilton'schen Form der Gleichungen behandelt man den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt bedeutet den Zustand für alle Werte der Koordinaten x1, x2, x3,
aber für einen bestimmten Wert für die Koordinate x0.
Nun sehen Sie, wenn wir den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt diskutieren,
führen wir eine Asymmetrie zwischen den vier Koordinaten ein.
Eines der großartigen Charakteristika der Einstein'schen Theorie war die Tatsache,
dass es eine Symmetrie zwischen den vier Koordinaten gab, den drei Koordinaten des Raums und der einen Zeitkoordinate.
Und für eine lange Zeit waren Leute nur darin interessiert, die Theorie Einsteins in einer Form zu entwickeln,
die diese Symmetrie erhält.
Erst während der letzten Jahre hat man gefunden, dass man eine Menge neuer Ergebnisse erhalten kann,
wenn man von dieser Symmetrie abweicht und besonders,
wenn man mit diesem Konzept eines Zustandes zu einem bestimmten Zeitpunkt arbeitet.
Wo wir von dieser vierdimensionalen Symmetrie komplett weggehen
und zurück gehen zu der alten Idee einer dreidimensionalen Welt, die sich mit einer Zeitkoordinate ändert.
Mit der Entwicklung der Hamilton'schen Form bekommen wir diese Arbeit, in der wir die vierdimensionale Symmetrie zerstören.
Natürlich ist es irgendwie schade, dass wir die vierdimensionale Symmetrie zerstören, jeder würde da zustimmen.
Aber es gibt diese Entschädigungen, dass man eine große mathematische Leistungsfähigkeit hat
und man einige neue Eigenschaften der Gleichungen findet, die nicht so offensichtlich sind,
wenn man bei der vierdimensionalen Symmetrie bleibt.
Mit der Hamilton'schen Form sind unsere dynamischen Variablen alle gepaart in dynamische Koordinaten und konjugierte Impulse.
Was das Gravitationsfeld betrifft, die G-mü-nü für alle Werte von x1, x2, x3 erscheinen als dynamische Koordinaten.
Und wir haben dann die Impulsvariablen P-mü-nü, die als die Konjugierten dieser dynamischen Koordinaten erscheinen.
Nun, was man als eines der ersten Dinge fand, als die Theorie in die Hamilton'sche Form gebracht wurde, man bekam etwas,
was ziemlich unerwartete war. Von den zehn Größen G-mü-nü und ihren konjugierten Größen P-mü-nü,
vier der G-mü-nü und ihrer konjugierten Größen fallen aus den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen heraus.
Das heißt diese vier: G-mü-0, P-mü-0.
Wenn einer dieser Indizes den Wert Null annimmt, entweder der erste oder der zweite, weil es symmetrisch ist,
dann bekommen wir diese Größen hier.
Und diese Größen fallen aus den Hamilton'schen Gleichungen heraus und wir behalten die Hamilton'schen Gleichungen übrig,
die nur die Variablen G-r-s, P-r-s enthalten.
Nun, diese lateinischen Buchstaben r und s nehmen die Werte 1, 2 und 3 an,
und man muss sie streng von den griechischen Buchstaben unterscheiden, die die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen.
Wir haben hier nur sechs G-r-s und sechs P-r-s anstelle von zehn G-mü-nü und P-mü-nü.
Und das bedeutet, mit der Hamilton-Formulierung beginnen wir damit, für jeden Punkt im Raum zehn Freiheitsgrade zu erwarten.
Aber vier der Freiheitsgrade fallen heraus, und übrig bleiben uns nur sechs Freiheitsgrade für jeden Raumpunkt.
Und das ist eine große Vereinfachung, die die Vorteile des Hamilton'schen Formalismus herausstellt.
Nun diese Vereinfachung sollte uns nicht zu sehr überraschen.
Man hätte das erwarten können, wenn man nur untersucht hätte, was wirklich benötigt wird,
den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt zu beschreiben.
Der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt bedeutet, den Zustand für alle Raumregionen für einen bestimmten Wert von x0.
Und in Raumzeit muss das als eine dreidimensionale Hyperfläche dargestellt werden.
Die Hyperfläche x0 gleich konstant.
Was so dargestellt werden muss, dass es in der vierdimensionalen Raumzeit existiert.
Um solch eine Hyperfläche zu beschreiben, benötigen wir nur die sechs G-r-s.
Sie genügen, um die Geometrie der Hyperfläche und das Koordinatensystem in der Hyperfläche zu beschreiben.
Und diese G-mü-0 werden nur benötigt, um die Beziehung dieser Hyperfläche zu einer benachbarten Hyperfläche zu beschreiben.
Aber wenn man nur daran interessiert ist, den Zustand zu einer bestimmten Zeit zu beschreiben,
dann benötigen wir nur diese sechs G-r-s und wir benötigen dazu ihre dynamischen konjugierten Größen.
So dass wir aus ziemlich allgemeinen Gründen, Gründen von geometrischer und kinematischer Natur, sehen können, dass alles,
was wir brauchen, wirklich diese sechs Freiheitsgrade sind.
Wenn wir diese physikalische Frage stellen, wie sollten wir die Energie zu einer bestimmten Zeit aufstellen,
dann scheint es klar zu sein, dass diese Energie nicht von irgendwelchen Variablen abhängen sollte, die nicht benötigt werden,
um den Zustand zu diesem Zeitpunkt zu beschreiben. Die Energie zu einer bestimmten Zeit
oder die Energiedichte in der Region zu einer bestimmten Zeit sollte nicht von diesen Variablen G-mü-0, P-mü-0 abhängen.
Nun, wenn wir uns die Energiedichte, die durch den Pseudotensor, dieses T-0-0, gegeben wird,
den wir vorhin hatten, ansehen und ihn ausrechnen, dann sieht man, dass T-0-0 von G-mü-0 abhängt.
T-0-0 beinhaltet daher einige Größen, die nicht wirklich relevant dafür sind, den Zustand zu einer bestimmten Zeit zu beschreiben.
Es beinhaltet gewisse Dinge, die nur mit dem Koordinatensystem zu tun haben.
Nun, das ist eine recht schlechte Eigenschaft dieser Energiedichte, dieser Pseudoenergiedichte.
Und wir können diese Eigenschaft verbessern, indem wir einen modifizierten Ausdruck für die Energiedichte nehmen.
Wir bekommen einen modifizierten Ausdruck für die Energiedichte, wenn wir dieses T-0-0 in einer geeigneten Weise ausdrücken
und die G-mü-0, die darin vorkommen, durch ihre Werte für eine ebene Raumzeit ersetzen;
d.h. wir ersetzen die G-0-0 mit dem Wert -1 und G-1-0, G-2-0, G-3-0 durch den Wert 0.
Mit dieser Prozedur können wir einen verbesserten Ausdruck für die Energiedichte bekommen.
Ein verbesserter Ausdruck, den ich W nenne. Nun, W hängt immer noch von unserem Koordinatensystem ab.
Aber nicht so schlecht wie T-0-0. Das bedeutet, wir haben es in Bezug auf diese Schwierigkeit
der Abhängigkeit der Energie von dem Koordinatensystem etwas verbessert.
Aber es sind noch Schwierigkeiten übrig. W ist immer noch abhängig von den drei Koordinaten x1, x2, x3.
Und weiter, wenn wir uns Dinge vom physikalischen Standpunkt aus anschauen wollen,
sollten wir W als definiert auf einer bestimmten Hyperfläche in Raumzeit betrachten.
Und wir können uns fragen: "Was passiert, wenn wir diese Hyperfläche nur etwas deformieren?"
Eine kleine Deformation von der Größenordnung von Gamma oder der Gravitationskonstante.
Was eine wirklich extrem kleine Deformation ist. Aber wir finden, dass mit dieser extrem kleinen Deformation,
W sich ändert um eine Größe von derselben Größenordnung wie es selbst.
Nun, da gibt es noch diese Schwierigkeit, aber es gibt einige nette Eigenschaften dieses Ausdrucks für die Energiedichte W.
Der Schwerkraftteil dieser Energiedichte kann in zwei Terme aufgespalten werden.
Es teilt sich sehr natürlich in zwei Terme auf. Diese sind durch die Gleichungen (8) und (9) gegeben.
Einer dieser Terme, den ich W Suffix K geschrieben habe, kann als kinetische Energie interpretiert werden,
weil er in den Impulskoordinaten p quadratisch ist. Er ist quadratisch und homogen in diesen Impulskoordinaten.
Und er ist so, wie jede normale kinetische Energie in der Physik ist.
So dass er sehr natürlich als kinetische Energie interpretiert werden kann.
Der andere Term beinhaltet überhaupt keine Impulsvariablen. Und den nennen wir die potentielle Energie.
Er ist quadratisch und homogen in den Feldgrößen, die wir erhalten, indem wir die erste Ableitung der hs bilden.
Der Schwerkraftteil der Energiedichte teilt sich in diese zwei Terme auf.
Der erste dieser Terme ist einer Unsicherheit unterworfen, wenn wir die Oberfläche ein wenig deformieren.
Aber er ist keiner Unsicherheit unterworfen, wenn wir die Koordinaten in der Oberfläche ändern.
In Bezug auf die Koordinaten in der Oberfläche hat er die korrekte Tensorform.
Bei dem anderen Teil, der potentiellen Energie, ist es genau anders herum.
Er verhält sich gut, wenn wir die Oberfläche ein wenig deformieren.
Aber er wird gestört, wenn wir die Koordinaten in der Oberfläche ändern.
Nun, das ist die Situation bezüglich dieses verbesserten Ausdrucks für die Energiedichte.
Und das zeigt, dass es in dem verbesserten Ausdruck für die Energiedichte immer noch einige Unsicherheit gibt.
Abhängig von unserem Koordinatensystem. Wir haben aber immer noch Schwierigkeiten in Bezug auf die Frage,
ob unsere Gravitationswellen wirklich Energie transportieren oder nicht.
Es gibt aber ein Beispiel, wo diese Schwierigkeiten eliminiert werden können.
Und das ist in dem Beispielfall, wenn wir Wellen haben, die sich nur in eine Richtung ausbreiten.
Wenn wir diese Ausdrücke für die Energiedichte auf den Fall anwenden, wenn es Wellen gibt,
die sich nur in eine Richtung ausbreiten, der Richtung der x3-Achse, dann bekommen wir die Ausdrücke,
die in den Gleichungen (12) und (13) aufgeschrieben sind.
Das ist sowohl die potentielle wie auch die kinetische Energie ....
